第六章 基本图形(二)
第24讲 圆的基本性质
一、选择题
1．(2024·长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4.则⊙O的半径长为(B)
A．4 B．4 C．5 D．5
2．如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA.连结BO并延长，交⊙O于点D，连结AC，DC.若∠A＝16°，则∠D的大小为(C)
A．48° B．32° C．58° D．54°
3．(2024·杭州市拱墅区二模)如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E.在下列结论中，不一定成立的是(D)
A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠OBD＝∠ABC D．∠COB＝∠C
4．(2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F.若∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，则∠A的度数为(C)
A．42° B．41°20′ C．41° D．40°20′
5．(2024·台州市路桥区二模)如图，AB是半圆O的直径，C，D是的三等分点，点P在上，点Q在上．若∠APQ＝121°，则点Q在(C)
A．上 B．上 C．上 D．上
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在线段OB上，CD⊥OB交⊙O于点C，连结AC.设∠CAD＝θ，则＝(B)
A． B． C． D．
二、填空题
7．(2024·湖州市南浔区二模)如图，一圆形石拱桥的半径OA为5 m，当水面宽AB为8 m时，拱顶到水面的距离CD是__8__m.
8．(2024·苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠OBC＝28°，则∠A＝__62__°.
9．(2024·嘉兴二模)如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连结AO并延长交线段BD于点E(点E不与点B，D重合).设∠ABC＝m∠DOE，∠ACB＝n∠DOE(m，n为正数)，则m关于n的函数表达式为__m＝n－1__．
三、解答题
10．如图，⊙O半径为2，弦BC＝3.A是弦BC所对优弧上的一个点，连结CO并延长交⊙O于点M，连结AM.过点B作BE⊥AC，垂足为E.
(1)求证：BE∥AM.
(2)过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D.求AH的长．
(1)证明：∵MC是圆的直径，
∴∠MAC＝90°，∴AM⊥AC，
∵BE⊥AC，∴BE∥AM.
(2)连结MB，∵MC是圆的直径，
∴∠MBC＝90°，∴MB⊥BC，
∵AD⊥BC，∴BM∥AD，∵BE∥MA，
∴四边形AMBH是平行四边形，
∴AH＝MB.
∵圆的半径是2，BC＝3，∴MC＝4，
∴MB＝＝，∴AH＝.
11．(2024·安徽)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE.
(1)求证：CD⊥AB.
(2)设FM⊥AB，垂足为M.若OM＝OE＝1，求AC的长．
(1)证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF.
∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝90°，∴CD⊥AB.
(2)解：由(1)知，∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC.
∵AF＝EF，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝2，AE＝4，
∴圆的半径OA＝OB＝AE－OE＝3，
∴BC＝BE＝OB－OE＝2.
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝4.
12．(2024·浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC.
(1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
(2)求证：①EF∥BC；②EF＝BD.
(1)解：∵CD为直径，∴∠CAD＝90°.
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°－60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°.
(2)证明：①如图，延长AB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC，
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，∴EF∥BC；
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连结CG，AG，
则DG∥BC∥EF，∴∠AEF＝∠GDE.
∵DG∥BC，∴＝，∴BD＝CG.
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG＝∠GDE.
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG(AAS)，
∴EF＝CG，∴EF＝BD.第六章 基本图形(二)
第24讲 圆的基本性质
一、选择题
1．(2024·长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4.则⊙O的半径长为( )
A．4 B．4 C．5 D．5
2．如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA.连结BO并延长，交⊙O于点D，连结AC，DC.若∠A＝16°，则∠D的大小为( )
A．48° B．32° C．58° D．54°
3．(2024·杭州市拱墅区二模)如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E.在下列结论中，不一定成立的是( )
A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠OBD＝∠ABC D．∠COB＝∠C
4．(2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F.若∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，则∠A的度数为( )
A．42° B．41°20′ C．41° D．40°20′
5．(2024·台州市路桥区二模)如图，AB是半圆O的直径，C，D是的三等分点，点P在上，点Q在上．若∠APQ＝121°，则点Q在( )
A．上 B．上 C．上 D．上
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在线段OB上，CD⊥OB交⊙O于点C，连结AC.设∠CAD＝θ，则＝( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．(2024·湖州市南浔区二模)如图，一圆形石拱桥的半径OA为5 m，当水面宽AB为8 m时，拱顶到水面的距离CD是____m.
8．(2024·苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠OBC＝28°，则∠A＝____°.
9．(2024·嘉兴二模)如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连结AO并延长交线段BD于点E(点E不与点B，D重合).设∠ABC＝m∠DOE，∠ACB＝n∠DOE(m，n为正数)，则m关于n的函数表达式为____．
三、解答题
10．如图，⊙O半径为2，弦BC＝3.A是弦BC所对优弧上的一个点，连结CO并延长交⊙O于点M，连结AM.过点B作BE⊥AC，垂足为E.
(1)求证：BE∥AM.
(2)过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D.求AH的长．
11．(2024·安徽)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE.
(1)求证：CD⊥AB.
(2)设FM⊥AB，垂足为M.若OM＝OE＝1，求AC的长．
12．(2024·浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC.
(1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
(2)求证：①EF∥BC；②EF＝BD.
