第七章 图形的变化
第30讲 相似三角形
一、选择题
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若AB＝1，AD＝BC＝2，则的值( )
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
2．(2024·湖南)如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是( )
A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC
3．(2024·舟山市一模)如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm.他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为4 cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为( )
A．60 cm B．65 cm C．70 cm D．75 cm
4．(2024·嘉兴市平湖市模拟)如图，△ABC与△DEF是位似图形，BC，EF都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是(2，3)，点F的横坐标为－1，则点P的坐标为( )
A．(－2，0) B．(0，－2) C．(－1.5，0) D．(0，－1.5)
5．(2024·巴中)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝( )
A． B． C． D．
6．(2024·杭州一模)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α(0°＜α＜90°).点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则＝( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．(2024·深圳)如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S正方形ABCD＝10，S正方形GHIJ＝1，则正方形DEFG的边长可以是____．(写出一个答案即可)
8．(2024·杭州市滨江区三模)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC.已知＝，S△ABC＝a，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为___．
9．(2024·眉山)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°.过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE，分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为____．
三、解答题
10．(2024·台州市模拟)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，已知∠ADB＝2∠ABD.
(1)求证：AB2＝AD·AC.
(2)若DC＝2AD＝2，求∠A的度数．
11．(2024·温州市瑞安市二模)如图，在Rt△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上．将△BDE沿DE翻折至△FDE，使点F落在AC上，延长EF与BC的延长线交于点G.
(1)求证：DE∥AC.
(2)若BC＝10，＝，求AC的长．
12．(2024·杭州四模)如图，已知在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE于点F，连结AC交DF于点G.
(1)若BE＝2，求AE·AF的长．
(2)若＝，求cos ∠FCE的值．
第七章 图形的变化
第30讲 相似三角形
一、选择题
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若AB＝1，AD＝BC＝2，则的值(A)
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
2．(2024·湖南)如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是(D)
A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC
3．(2024·舟山市一模)如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm.他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为4 cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为(D)
A．60 cm B．65 cm C．70 cm D．75 cm
4．(2024·嘉兴市平湖市模拟)如图，△ABC与△DEF是位似图形，BC，EF都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是(2，3)，点F的横坐标为－1，则点P的坐标为(A)
A．(－2，0) B．(0，－2) C．(－1.5，0) D．(0，－1.5)
5．(2024·巴中)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝(C)
A． B． C． D．
6．(2024·杭州一模)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α(0°＜α＜90°).点D，E在AB边上，点F，G分别在BC和AC边上．若四边形DEFG为正方形，则＝(B)
A． B． C． D．
二、填空题
7．(2024·深圳)如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S正方形ABCD＝10，S正方形GHIJ＝1，则正方形DEFG的边长可以是__2(答案不唯一)__．(写出一个答案即可)
8．(2024·杭州市滨江区三模)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC.已知＝，S△ABC＝a，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为__a__．
9．(2024·眉山)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°.过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE，分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为____．
三、解答题
10．(2024·台州市模拟)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，已知∠ADB＝2∠ABD.
(1)求证：AB2＝AD·AC.
(2)若DC＝2AD＝2，求∠A的度数．
(1)证明：由已知，易证△ADB∽△ABC，∴＝，
∴AB2＝AD·AC.
(2)解：∵△ADB∽△ABC，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC.
∵DC＝2AD＝2，∴AD＝1，DB＝DC＝2，
∴AC＝AD＋DC＝1＋2＝3.
∵AB2＝AD·AC＝1×3＝3，AD2＝12＝1，DB2＝22＝4，
∴AB2＋AD2＝DB2＝4，∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°.∴∠A的度数是90°.
11．(2024·温州市瑞安市二模)如图，在Rt△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上．将△BDE沿DE翻折至△FDE，使点F落在AC上，延长EF与BC的延长线交于点G.
(1)求证：DE∥AC.
(2)若BC＝10，＝，求AC的长．
(1)证明：∵△BDE沿DE翻折至△FDE，D是BC的中点，∴∠BDE＝∠EDF，BD＝DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF.
又∵∠BDE＋∠EDF＝∠DFC＋∠DCF，∴∠EDF＝∠DFC，
∴DE∥AC.
(2)解：∵DE∥AC，∴＝＝.
∵BC＝10，∴BD＝DF＝DC＝5，∴CG＝8.
∵∠DFG＝∠DFE＝∠B＝90°，
∴FG＝＝12，∴BE＝BG·tan G＝18×＝.∵DE∥AC，且D是BC的中点，∴＝＝1，∴E是AB的中点，
∴AB＝15，∴AC＝＝5.
12．(2024·杭州四模)如图，已知在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE于点F，连结AC交DF于点G.
(1)若BE＝2，求AE·AF的长．
(2)若＝，求cos ∠FCE的值．
解：(1)∵E是BC的中点，BE＝2，
∴BC＝2BE＝4.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF.
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠B，∴△ABE∽△DFA，
∴AE∶AD＝BE∶AF，
∴AE·AF＝AD·BE＝4×2＝8.
(2)延长DF交CB的延长线于点H，连结DE，AH，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BCD＝90°，
∴△ADG∽△CHG，∴＝＝，
∴AD＝CH，∴BC＝CH，
∴BH＝CH，∴BH＝BC.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BH，
∴EH＝BC＝AD，
∴四边形ADEH是平行四边形．
∵DF⊥AE，∴四边形ADEH是菱形，
∴DF＝HF，∠AEH＝∠AED，
DE＝AD＝EH＝BC，
∴CE＝DE，∴∠CDE＝30°，
∴∠CED＝90°－30°＝60°，
∴∠AEH＝∠AED＝60°.
∵DF⊥AE，
∴∠FDE＝30°＝∠CDE，∴FE＝CE，
∴∠FCE＝∠CFE＝∠AEH＝30°，
∴cos ∠FCE＝.
