郑州市中牟高中周测　4.4对数函数 练习（2份打包）（含解析）

郑州市中牟高中周测　对数函数A卷　
测试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
2．已知函数y＝loga(x－2)＋(a>0且a≠1)的图象恒过定点M，则点M的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
3．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司连续5天监测到的数据：
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算
机数量y/台 10 20 39 81 160
则下列函数模型中，能较好地反映y与x之间的关系的是(　　)
A．y＝5×2x B．y＝5x2－5x＋10
C．y＝10log2x＋10 D．y＝10x
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
5．已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝与g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
6．设a＝log0.20.3，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>a>c D．b>c>a
7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20 mg的驾驶员即为酒后驾车，达到80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.8 mg/mL.如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(参考数据：lg 2≈0.30)(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知函数f(x)＝，若f(a)＝f(b)，且aA．－3 B．－ C．－ D．－
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．若0　　　　　　　　　　　　　　　
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．已知f(x)＝logx，g(x)＝log2x，h(x)＝lg x，若f(a)＝g(b)＝h(c)，则a，b，c的大小关系可能是(　　)
A.aC．a>b>c D．b>a>c
11．关于函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)，下列说法正确的是(　　)
A.定义域为(－1，4) B．最大值为2
C.最小值为－2 D．单调递增区间为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________．
13．写出一个同时具有下列性质①②③的对数型函数f(x)＝________．
①f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②f(x)的值域为R；③f(x)为偶函数．
14．已知函数f(x)＝.若a＝2，则f＋f(16)＝________；若函数f(x)在R上单调，则a的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
(13分)已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式与定义域；
(2)函数f(x)的图象怎样由函数y＝log3(2x)的图象得到？
16．(15分)已知函数f(x)＝log3(x＋12)＋log3(6－x).
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(x)的最大值．
17．(15分)已知函数f(x)＝2x2－4x＋a，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，且f(1)＝g(1).
(1)求实数a的值；
(2)设t1＝f(x)，t2＝g(x)，t3＝2x，当x∈(0，1)时，试比较t1，t2，t3大小．
18．(17分)(2024·河北邢台市部分重点高中高一期末)已知函数f(x)＝log为奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)判断函数f(x)在(2，＋∞)上的单调性．
19．(17分)(2024·湖北黄冈中学高一期末)已知函数g(x)＝logx.
(1)若函数y＝g(tx2－(2t－1)x＋1)在(1，＋∞)上单调递减，求实数t的取值范围；
(2)不等式g(a2x)<2g(x＋2a－6)在x∈[4，9]上恒成立，求实数a的取值范围．
郑州市中牟高中周测　对数函数A卷
1．C　[要使函数有意义，则解得x>2且x≠3，故选C.]
2．B　[令loga(x－2)＝0，解得x＝3，此时y＝，故定点坐标为M.故选B.]
3．A　[从题中表格可以看出，变量y随x的增大而增大，且y的增长速度非常快，明显呈指数型增长，故选A.]
4．A　[因为3x>0，所以3x＋1>1，又函数f(x)为增函数，所以log2(3x＋1)>log21＝0，所以函数f(x)的值域为(0，＋∞).]
5．B　[由log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，可得log2(ab)＝0，则ab＝1，则b＝，则g(x)＝logbx＝logx，又f(x)＝，则g(x)与f(x)互为反函数，则g(x)与f(x)单调性一致，且两图象关于直线y＝x对称，故选B.]
6．D　[因为32>23，所以log232>log223，即2log23>3，所以b＝log23>，
因为42<33，所以log342同时c＝log34>1，所以1>c>1>a.故选D.]
7．D　[某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.8 mg/mL，
则100 mL血液中酒精含量达到80 ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，
设他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则80(1－20%)t<20，∴0.8t<，
∴t>log0.8＝－log4＝－＝≈＝6.他至少经过6个小时才能驾驶．故选D.]
8．B　[由题可得：f＝
＝，
作出f(x)的图象如图：
由a所以－f(10b)＝－＝1－2lg a＋lg2a－lg b＝lg2a－(lg a2b)＋1.
由ab＝100，则lg2a－(lg a2b)＋1＝lg2a－lg 100a＋1＝lg2a－lg a－1，
所以－f(10b)＝lg2a－lg a－1＝－，故当lg a＝，即a＝时，－f(10b)取最小值为－.故选B]
9．BCD　[∵y＝loga(x＋5)过定点(－4，0)且单调递减，∴此函数图象经过第二、三、四象限．故选BCD.]
10.
ABC　[分别作出三个函数的大致图象，如图所示，当f(a)＝g(b)＝h(c)＝0时，有a＝b＝c＝1，故B有可能；当f(a)＝g(b)＝h(c)>0时，结合图象可知011．ACD　[令－x2＋3x＋4>0，得－1∵－x2＋3x＋4＝－＋，
∴－x2＋3x＋4∈，
∴y＝log0.4(－x2＋3x＋4)∈[－2，＋∞)，故B错误，C正确；令t＝－x2＋3x＋4，则其在上单调递增，在上单调递减，又y＝log0.4t在(0，＋∞)上单调递减，由复合函数的单调性得y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的单调递增区间为，故D正确．故选ACD.]
12．[解析]　y＝2x的反函数为y＝f(x)＝log2x.则f(2)＝log22＝1.
[答案]　1
13．[解析]　取f(x)＝ln |x|＝，则f(x)为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，且值域为R.满足题中条件．
[答案]　ln |x|(答案不唯一)
14．[解析]　若a＝2，则f(x)＝，
f＝2＋2log2＝，f(16)＝4＋4＝8，则f＋f(16)＝＋8＝.若f(x)在R上单调递增，则，解得a∈[2，＋∞)；若f(x)在R上单调递减，则，解得a∈(0，1).综上可得a∈(0，1)∪[2，＋∞).
[答案]　　(0，1)∪[2，＋∞)
15．[解]　(1)将点A(2，1)，B(5，2)的坐标代入f(x)，得得解之得a＝2，b＝－1，
则f(x)＝log3(2x－1)，定义域.
(2)f(x)＝log3(2x－1)＝log32，
∴f(x)的图象由y＝log3(2x)的图象向右平移个单位得到．
16．[解]　(1)由题意，，解得－12(2)函数f(x)＝log3[(x＋12)(6－x)]，其中－121，要求函数f(x)＝log3[(x＋12)(6－x)]的最大值，
所以只需求函数g(x)的最大值，且最大值为正数．
因为g(x)＝(x＋12)(6－x)＝－(x＋3)2 ＋81，－12所以当x＝－3时，g(x)有最大值，g(x)max＝g(－3)＝81，
所以f(x)的最大值为log381＝4.
17．[解]　(1)由f(1)＝g(1)可得－2＋a＝loga1，即－2＋a＝0，
解得a＝2.
(2)由a＝2可得t1＝f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
t2＝g(x) ＝log2x.
当x∈(0，1)时，根据一元二次函数单调性可知，y＝(x－1)2在x∈(0，1)上单调递减，故t1∈(0，1)，由对数函数y＝log2x在x∈(0，1)上单调递增，可知t2∈(－∞，0)，
由指数函数y＝2x在x∈(0，1)上单调递增，可得t3∈(1，2)，
所以可得t218．[解]　(1)∵函数f(x)＝log为奇函数，
∴f(x)＋f(－x)＝0，即log＋log＝0，
∴log＝log1，
则log＝log1，则k2x2－4＝x2－4，解得k＝±1.
当k＝1时，f(x)＝log(舍去)；当k＝－1时，f(x)＝log，满足题意．
故k＝－1.
(2)由(1)，知f(x)＝log，
设h(x)＝(x>2)，
任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1>x2，
h(x1)－h(x2)＝－＝.
∵x1>x2，∴x2－x1<0，
又∵x1，x2∈(2，＋∞)，
∴(x1－2)(x2－2)>0，
∴h(x1)∴函数h(x)在(2，＋∞)上单调递减，
又∵函数y＝logx在(2，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增．
19．[解]　(1)y＝g(tx2－(2t－1)x＋1)＝log[tx2－(2t－1)x＋1]在(1，＋∞)上单调递减，
令f(x)＝tx2－(2t－1)x＋1，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(x)>0对x∈(1，＋∞)恒成立．
∴t≥0，且f(1)＝t－(2t －1)＋1≥0，即t≤2.
当t＝0时，f(x)＝x＋1在(1，＋∞)上单调递增，符合题意；
当0f(x)在(1，＋∞)上单调递增，符合题意．
故t的取值范围为[0，2].
(2)依题意有a2x>0，且4＋2a－6>0，∴a>1.
不等式log(a2x)<2log(x＋2a－6)在[4，9]上恒成立，
即a2x>(x＋2a－6)2在[4，9]上恒成立．
由上可知，a>x＋2a－6，
∴a>x－6在[4，9]上恒成立，
当x＝4时不等式成立，
∴只需a>在(4，9]上恒成立．
∴a>.
令－2＝t，t∈(0，1]，＝＝t－＋4，
∵y＝t－＋4在(0，1]上单调递增，
∴＝3，
∴a>3.
综上可得，a的取值范围为(3，＋∞).郑州市中牟高中周测　对数函数B卷
测试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数f(x)＝ln x，则函数y＝的定义域是(　　)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，2)∪(2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞)
2．已知x∈R，则“x>1”是“log2(x－1)<1”的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．(1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝，则f(1－x)的图象是(　　)
5．函数y＝lg [x2＋(m－2)x＋1]的值域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，4)
B．[0，4]
C．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
6．设a＝log0.20.3，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>a>c D．b>c>a
7．已知函数f(x)＝log4(x－2)－log4(a－x)，f(3)＝0，则不等式f(2x－5)≤0的解集为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．(3，4)
C．(2，5) D．
8．已知函数f(x)＝log2(4x＋1)＋ax是偶函数，函数g(x)＝22x＋2－2x＋m·2f(x)的最小值为－3，则实数m的值为(　　)
A．3 B．－ C．－2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是(　　)
A．y ＝lg (x2－1) B．y＝log(1－x2)
C．y＝ln x2 D．y＝log(2x＋1)
10．某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边长ω(cm)和厚度x(cm)满足：n≤log2.根据以上信息，下列说法正确的是(参考数值：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)(　　)
A．当对折4次时，的最小值为64
B．当对折4次时，的最小值为32
C．一张长边长为30 cm，厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折6次
D．一张长边长为30 cm，厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折8次
11．已知实数a，b满足log3a－logb<－，则下列结论正确的是(　　)
A．aC．2a－b<1 D．ln (b－a)>0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数y＝log的单调递增区间是______________．
13．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标为________．若f(x)在[2，4]上的图象始终在直线y＝－x＋8的下方，则a的取值范围为________．(本题第一空2分，第二空3分)
14．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)＝|lg x|.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若存在互不相等的实数a，b，使f(a)＝f(b)，求ab的值．
16．(15分)已知 a>0，a≠1，且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值；
(2)求函数g(x)＝|logax－1|的单调区间．
17．(15分)已知函数f(x)＝(log3x)2－2alog3x－2.
(1)当a＝－时，求不等式f(x)≤0的解集；
(2)当x∈(1，27)时，f(x)的最小值为－3，求实数a的取值范围．
18．(17分)已知函数f＝log2－ax.
(1)若函数f为定义域上的偶函数，求实数a的值；
(2)当a＝1时，对 x∈，不等式f>log2恒成立，求实数m的取值范围．
19．(17分)(2024·山东济宁高一期末)已知函数f＝ln －ln .
(1)求函数f的定义域；
(2)试判断f的单调性，并说明理由；
(3)定义：若函数F在区间上的值域为，则称区间是函数F的“完美区间”．若函数g＝f＋ln b存在“完美区间”，求实数b的取值范围．
郑州市中牟高中周测　对数函数B卷
1．D　[由题意得，解得x≠0且x≠2，
∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞).故选D.]
2．B　[由log2(x－1)<1可得： 0因{x|11}的真子集，故 “x>1”是“log2(x－1)<1”的必要不充分条件．故选B.]
3．A　[因为函数f(x)在R上单调递增．所以，解得14．D　[由f(x)＝，可得f(1－x)＝，当x＝0时，f(1－0)＝2，则f(1－x)的图象过点(0，2)，则排除选项A，B；当x≥0时，f(1－x)＝21－x>0，排除选项C.故选D.]
5．D　[令u＝x2＋ (m－2)x＋1，由于函数y＝lg[x2＋(m－2)x＋1]的值域为R，所以函数u＝x2＋(m－2)x＋1的值域包含(0，＋∞)，所以Δ＝(m－2)2－4≥0，解得m≤0或m≥4.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).故选D.]
6．D　[因为32>23，所以log232>log223，即2log23>3，所以b＝log23>，
因为42<33，所以log342同时c＝log34>1，所以1>c>1>a.故选D.]
7．A　[由题意得，f(3)＝log4(3－2)－log4(a－3)＝0，
解得a＝4，所以f(x)＝log4(x－2)－log4(4－x)，所以f(2x－5)＝log4(2x－7)－log4(9－2x).因为f(2x－5)≤0，所以log4(2x－7)－log4(9－2x)≤0，即log4(2x－7)≤log4(9－2x)，从而，解得8．B　[由题意得f(－x)＝f(x)，即log2(4－x＋1)－ax＝log2(4x＋1)＋ax，所以2ax＋log2(4x＋1)－log2(4－x＋1)＝0，其中log2(4x＋1)－log2(4－x＋1)＝log2＝log2＝log2＝log24x＝2x，所以2ax＋2x＝0，解得a＝－1，所以f(x)＝log2(4x＋1)－x，2f(x)＝2log2(4x＋1)－x＝＝2x＋2－x，故函数g(x)＝22x＋2－2x＋m(2x＋2－x)的最小值为－3.令2x＋2－x＝t，则t≥2，故h(t)＝t2＋mt－2(t≥2)的最小值为－3，等价于或，解得m＝－.故选B.]
9．BC　[因为在区间(0，1)上，x2－1<0，所以A中函数不符合条件；因为在区间(0，1)上，t＝1－x2单调递减，y＝logt单调递减，y＝log(1－x2)在区间(0，1)上单调递增，故B中函数符合条件；因为在区间(0，1))上，m＝x2单调递增，y＝ln m单调递增，所以y＝ln x2在区间(0，1)上单调递增，故C中函数符合条件；因为在区间(0，1)上，n＝2x＋1单调递增，y＝logn单调递减，所以y＝log(2x＋1)在区间(0，1)上单调递减，故D中函数不符合条件．故选BC.]
10．AC　[令n＝4，则log2≥4，则log2≥6，即≥64，即当对折4次时，的最小值为64，故A正确，B错误；当ω＝30，x＝0.05时，n≤log2＝log2600＝×＝×≈×≈6.2，所以该矩形纸最多能对折6次，故C正确，D错误．故选AC.]
11．AC　[因为log3a－log3b<－成立，所以a>0，b>0，由log3a－log3b<－变形得log3a－，故A正确，B错误；因为a－b<0，函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以2a－b<20＝1，故C正确；b－a>0，ln (b－a)的符号可正可负，故D错误．故选AC.]
12．[解析]　函数y＝log，由－x2＋4x＋5>0，解得－1所以函数t＝x2＋4x＋5在(－1，2)上单调递增，在(2，5)上单调递减，又函数y＝logt在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性可知y＝log的单调递增区间为(2，5)(写成[2，5)也正确).
[答案]　(2，5)
13．[解析]　令x＝2，则f(2)＝loga1＋2＝2，所以P的坐标为(2，2).对于y＝－x＋8，当x＝2时，y＝6，当x＝4时，y＝4.当a>1时，f(x)在[2，4]上单调递增，则f(4)＝loga3＋2<4，得a>.当0[答案]　(2，2)　(0，1)∪(，＋∞)
14．[解析]　
根据函数f(x)＝|log2x|的图象(如图)，得0[答案]　
15.
[解]　(1)f(x)＝
函数图象如图所示．
(2)由图可知，要使f(a)＝f(b)且a≠b，则a，b一个比1小，一个比1大，不妨设0则f(a)＝－lg a，f(b)＝lg b，
所以－lg a＝lg b，即lg (ab)＝0，所以ab＝1.
故ab的值为1.
16．[解]　(1)∵loga3>loga2.
∴a>1，
∴y＝logax在[a，2a]上单调递增，
∴loga(2a)－logaa＝loga2＝1，
∴a＝2.
(2)g(x)＝|log2x－1|，
∴当x＝2时，g(x)＝0，
则g(x)＝
∴函数g(x)在(0，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
∴g(x)的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为(2，＋∞).
17．[解]　(1)当a＝－时，f(x)＝(log3x)2＋log3x－2，
由f(x)≤0 (log3x)2＋log3x－2≤0 (log3x＋2)·(log3x－1)≤0 －2≤log3x≤1 3－2≤x≤3 ≤x≤3，
所以不等式f(x)≤0的解集为.
(2)令log3x＝t，因为x∈(1，27)，所以t∈(0，3)，
f(x)≥－3 t2－2at－2≥－3 t2＋1≥2at.
因为t∈(0，3)，
所以由t2＋1≥2at，可得2a≤t＋.
又t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1时取等号．
所以只需2a≤2，即a≤1，所以实数a的取值范围为(－∞，1].
18．[解]　(1)f定义域为x∈R，由题知f＝f，即log2＋ax＝log2－ax，化简得2ax＝log2＝log22x，即2ax＝x对任意x∈R恒成立，得a＝.
(2)当a＝1时，f＝log2.因为不等式log2>log2对 x∈恒成立，
所以m>0　①，且>m·　②，由①②得m<0且m>对 x∈(－∞，1)恒成立．令t＝2x＋1∈，
则g＝＝＝≤－1，当且仅当t＝2时g(t)max＝g＝－1，所以m>－1，
综上：m的取值范围是.
19．[解]　(1)要使函数f的表达式有意义，须使ex－1>0，解得x>0，所以函数f的定义域是.
(2)f＝ln －ln 在上单调递增．理由如下：
法一：因为f＝ln －ln ＝ln ＝ln ，
又y＝ex＋1在上为增函数，y＝在上为减函数，
y＝1－在上为增函数，y＝ln 在上为增函数，
故f＝ln －ln 在上单调递增．
法二：因为f＝ln －ln ＝ln ，
对任意x1，x2∈，且x1ex1>1，则
f－f＝ln －ln ＝ln ，
又－＝2<
0，
可知0<<1，所以ln <0，
即f(3)由(2)可知g＝f＋ln b在上单调递增，
设区间是函数g＝f＋ln b的“完美区间”．则g＝m，g＝n.
可知方程g＝x在上至少存在两个不同的实数解，
即b＝在上至少存在两个不同的实数解，
所以y＝b与y＝在上至少存在两个不同的交点．
令t＝ex－1，则t>0，所以b＝＝＝t＋＋3≥3＋2，
当且仅当t＝时取等号．又y＝t＋＋3在上单调递减，在上单调递增，
且当t→0时，y→＋∞；当t→＋∞时，y→＋∞.
所以b>3＋2.故实数b的取值范围为.