2024-2025学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的化简结果是( )
A. B. C. D.
2.若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是( )
A. B. C. D.
3.某烟花爆竹厂从万件同类产品中随机抽取了件进行质检，发现其中有件不合格，那么请你估计该厂这万件产品中合格产品约有( )
A. 万件 B. 万件 C. 万件 D. 万件
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.“韦神”数学兴趣小组有名男生和名女生，从中任选名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是( )
A. 至少有名男生与全是男生； B. 至少有名男生与全是女生；
C. 恰有名男生与恰有名男生； D. 至少有名男生与至少有名女生．
6.从，，中任取两个不同的数，分别记作，，则使为整数的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数的取值范围是 ．
A. B. C. D.
8.已知是函数的图象上两个不同的点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.学校“校园歌手”唱歌比赛，现场位评委对选手的评分分别为，，，，，，，按比赛规则，计算选手最后得分时，要先去掉评委评分中的最高分和最低分，则( )
A. 剩下的个样本数据与原样本数据的平均数不变
B. 剩下的个样本数据与原样本数据的极差不变
C. 剩下的个样本数据与原样本数据的中位数不变
D. 剩下的个样本数据的分位数大于原样本数据的分位数
10.下列命题中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11.多选定义区间的长度为，记函数其中的定义域的长度为，则下列说法正确的有( )
A.
B. 的值域为
C. 在上单调递增
D. 给定常数，当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某高中高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了人，则 ．
13.函数的单调递增区间为 ．
14.已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数的取值范围为 ，方程解的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若存在正实数，使得“”是“”成立的 充分不必要条件，求正实数的取值范围．
16.本小题分
某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本万元，每生产千个电子仪器，需另投入成本万元，且假设每千个电子仪器售价定为万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．
求出全年的利润万元关于年产量千个的函数关系式利润销售额成本
当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大最大利润是多少万元
17.本小题分
年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了枚金牌，枚银牌，枚铜牌，共枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试根据测试成绩，将所得数据按照，，分成组，其频率分布直方图如图所示．
求值和该样本的第百分位数；
试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；
该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格分以下的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出名同学，再从抽取的这名同学中随机抽取名同学进行情况了解，求这名同学分数在各一人的概率．
18.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求的值．
判断的单调性，并用定义证明．
若存在，使成立，求的取值范围．
19.本小题分
若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
函数是否有“飘移点”？请说明理由；
证明：函数在上有“飘移点”；
若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意得，即，解得，
所以；
当时，，所以．
因为“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，
所以且两个“”不能同时成立，解得．
所以实数的取值范围是．
16.【答案】解：当时，，
当时，
，
；
当时，，
当时，万元；
当时，，
当且仅当时，即时，万元；
因为，
所以全年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
17.【答案】解：由题意可得：，
解得：；
因为，，
所以该样本的第百分位数在区间
所以设该样本的第百分位数为，则可得方程：
，
解得：，
即该样本的第百分位数为．
因为，
故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为．
采用分层抽样从和抽取名同学，
因为，
则应在成绩为的学生中抽取人，记为，；
在成绩为的学生中抽取人，记为，，；
再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下结果，
，，，，，
，，，，共种可能结果；
其中在各一人的共种；
所以所求概率，
则这名同学分数在各一人的概率为．
18.【答案】解：是上的奇函数，
，即，，
又，
故，即，
解得
经验证符合题意．
，
，
在上是减函数，证明如下：
在上任取，，且
，
，
，即，
又，
，即，
在上是减函数．
因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在上是减函数，所以，
所以，令，
由题意可知：问题等价转化为，，
又因为，
所以，
故的取值范围为．
19.【答案】解：函数没有“飘移点”理由如下：
对于，则，整理得，
，则该方程无解，
函数没有“飘移点”．
函数在上有“飘移点”，理由如下：
在上有“飘移点”，
因此有，
即成立，化简，即成立，
记，则在上连续不断，且，
在内存在零点，则方程在内存在实根，
故函数在上有“飘移点”．
对于，则，
即，
，则，
令，则，
，
又，当且仅当，即时等号成立，
则，
，即，
故实数的取值范围为．
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