2025届高考数学二轮复习收官检测卷 新课标Ⅰ卷（一）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则z的虚部为( )
A. B. C. D.3
3.已知，，若，则( )
A.2 B. C. D.
4.若，且，，则( )
A. B. C. D.
5.设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且内切球的半径为1，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在R上的偶函数满足，，，则( )
A.4554 B.4555 C.4556 D.4557
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.如果X服从二项分布，当且时，可以近似的认为X服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生.设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布，下列说法正确的是( )
（参考数据：，）
A.变量X服从正态分布
B.
C.
D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A.
B.函数在上的最大值为4
C.若函数在上的最大值为4，则
D.若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为
11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线l交C于点P，交C的一条渐近线于点Q，则下列说法正确的是( )
A.若以为直径的圆经过点Q，则双曲线的离心率为2
B.若以为直径的圆经过点P，则双曲线的离心率为
C.若，则C的渐近线方程为
D.若点P不在圆外，则C的渐近线的斜率不大于1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知第一象限内的点P，Q分别在双曲线的渐近线与双曲线的渐近线上，若O为坐标原点且，则两双曲线的离心率之积为___________.
13.已知曲线上一点处的切线为l，若曲线上至多存在一条与l垂直的切线，则实数b的取值范围是__________.
14.如图是一个的九宫格，小方格内的数对表示向量坐标，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，角A的平分线交边于点D，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积.
16.（15分）已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1，点在椭圆上
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若（O是坐标原点）的面积，求直线AB的方程
17.（15分）如图，四棱柱的底面ABCD是矩形，，，，M为AB的中点，且.
（1）证明：平面平面.
（2）若二面角的余弦值为，求.
18.（17分）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在正数a，b，且a为函数大于1的零点，b为函数的极值点.
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）证明：.
19.（17分）已知数列，，若对任意的，且，则，为“关联数列”，定义，.
（1）若，为“关联数列”，求；
（2）若，为“关联数列”，且，从，，…，中随机取出3项，记这3项的和为X，求X的分布列与数学期望；
（3）若，为“关联数列”，数列满足，且，求的最大值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，，所以，故选D.
2.答案：C
解析：由题意得，，
的虚部为.故选C.
3.答案：C
解析：依题意，，因为，所以，解得，故选C.
4.答案：D
解析：因为，且，，所以，，所以，所以.故选D.
5.答案：B
解析：过圆锥的顶点作轴截面，的内切圆为，外接圆为，由题知两圆同圆心，则的内心与外心重合，易得为正三角形，又的半径为，的边长为，圆锥的底面半径为，高为3，.
6.答案：C
解析：解法一：，，所以是R上的增函数，则，解得.故选C.
解法二：，，所以是R上的增函数，观察选项，取，则函数，易判断此时是R上的增函数，满足题意，排除选项A，B；取，则函数，易判断此时不是R上的增函数，不满足题意，排除选项D.故选C.
7.答案：D
解析：因为的最小正周期，，所以在处取最小值，所以，，即，.因为，所以.故选D.
8.答案：C
解析：由，得，则，则，所以函数是周期为4的周期函数，又为R上的偶函数，，所以，又，所以由，得，则，，由，得，所以.故选C.
9.答案：ABD
解析：依题意，，，，
对于A，变量X服从正态分布，A正确；
对于B，
，B正确；
对于C，
，C错误；
对于D，
，D正确.
故选：ABD
10.答案：ACD
解析：，，故A正确：，令，得0或，当时，，当时，，当时，，在和上单调递减，在上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，函数在上的最大值为20，故B错误；令，即，又，，即，解得或，函数在上的最大值为4，，故C正确；关于x的方程在上有两个不相等的实数根，即直线与函数的图象有两个不同的交点，，，，结合二次函数的图象知，，故D正确.故选ACD.
11.答案：ACD
解析：如图，连接，，由题意知直线l的方程为，即，直线l与双曲线C的渐近线平行，所以，，则，.联立方程解得即.对于A，因为以为直径的圆经过点Q，则.因为，，所以，解得，则C的离心率，所以A正确；对于B，因为以为直径的圆经过点P，则，则，，所以由双曲线的定义知，可得，所以C的离心率，所以B不正确；对于C，若，则P为线段的中点，所以，于是由P在双曲线C上，得，即，解得，所以，则C的渐近线方程为，所以C正确；对于D，因为，所以，由余弦定理的推论得，即，解得.因为点P不在圆外，所以，即，解得，则，所以C的渐近线的斜率不大于1，所以D正确.综上所述，故选ACD.
12.答案：
解析：双曲线的渐近线与双曲线的渐近线关于直线对称，由及，得，
所以两双曲线的离心率之积为.
13.答案：
解析：将代入，解得.对求导得，点处的切线l的斜率，故与l垂直的切线的斜率为.对求导得，若曲线上至多存在一条与l垂直的切线，则令，可得，（也可用至多有一个零点，即）解得.
14.答案：72
解析：首先对的九宫格每个位置标注数字，如图所示，
第一步先排，一共9个位置，因此有种排法，根据对称性知，所在的行和列只能排，，，，不妨设在1位置；
第二步排2位置，则从，，，中选一个，因此有种排法，则3位置的向量可以唯一确定；
第三步排4位置，则从，，，剩余的两个中挑一个，因此有种排法，
接着排7位置，7位置是，，，中剩余的最后一个，此时所在的行和列都确定了，若使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则其他四个位置的向量排法是唯一的，因此按分步乘法计数原理知，不同的填法共有（种），因此共有72种填法.
15.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
由正弦定理可得
，所以，故，.
(2)由题意可知，
即，化简可得，
在中，由余弦定理得，
从而，解得或（舍），
所以.
16.答案：(1)
(2)或
解析：(1)根据题意，设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），
因为椭圆的左焦点为，设椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义知，所以，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为，
(2)设，，
由题可设直线AB的方程为
联立直线与椭圆的方程，，
消去x得
则有，
所以
又由，即，
解得，即.
故直线AB的方程为，
即或.
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由，得.
设，则，
，
则.
为AB的中点，.
又，，平面ABCD，
平面ABCD.
由四棱柱的性质可知，平面平面，
平面.
又平面，
平面平面.
（2）由（1）知，
.
平面，平面ABCD，
.
易知，，两两垂直.
以M为坐标原点，，所在的直线分别为x轴、z轴，过点M且平行于BC的直线为y轴，建立如图的空间直角坐标系.
设，
，，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则即
取，则，，.
设平面的法向量，
则即
取，则，，.
二面角的余弦值为，
，
则.①
由，得.②
由①②解得，
故.
18.答案：（1）函数的单调递减区间为，无单调递增区间
（2）（ⅰ）
（ⅱ）证明见解析
解析：（1）依题意，函数的定义域为，
，
当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）（ⅰ）由（1）可知，
令，，
则.
因为在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
当时，由（1）可知，函数在上单调递减，
所以函数不存在极值点，不符合题意；
当时，，
所以当时，，则，
所以函数在上单调递减.
因为，所以当时，，
所以函数不存在大于1的零点，不符合题意；
当时，，因为，，
所以存在，满足，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数存在极值点.
因为，
，所以，此时，且，
即函数存在大于1的零点，此时实数m的取值范围为.
（ⅱ）证明：依题意即
所以，即.
因为在上恒成立，
且，，即，
所以，
即，
两边取对数得，
则，所以.
19.答案：（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）4
解析：（1）解法一：因为，为“关联数列”，
所以且，所以，
所以.
设，
则，
两式相减得，
所以.
解法二：因为，为“关联数列”，
所以且，所以，
所以
.
（2）因为，为“关联数列”，所以且，则，
若，则，若，则.
因为，所以，
所以，，…，中有4项为1，6项为.
由题意得X的所有可能取值为，，1，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 1 3
P
.
（3）因为，为“关联数列”，所以且，所以，
所以，从而，即，
又，所以，
所以，（）中有3组符号相同，5组符号相反.
因为，符号相反，
所以，有3组符号相反，5组符号相同，
当，符号相反时，，当，符号相同时，，
所以，
所以的最大值为4.
