广东省深圳市龙岗区 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知( 3,√ 3)是直线 的一个方向向量，则直线 的倾斜角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.已知向量 = ( 1,2,1)， = (3, , 1)，且 ⊥ ，那么| |等于( )
A. √ 10 B. 2√ 3 C. √ 11 D. 5
2
3.若双曲线 2 = 1的焦距为4，则其渐近线方程为( )
√ 3 √ 5
A. = ± B. = ±√ 3 C. = ± D. = ±√ 5
3 5
3 + 1, 为奇数,
4.数列{ }满足 1 = 5， +1 = { 则 4 =( ) , 为偶数,2
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5.直线 : + 1 = 0与圆 : 2 + 2 = 4的公共点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
6.已知函数 ( ) = ln 在区间[1,3]上单调递减，则实数 的取值范围为( )
1 1
A. ≥ 1 B. > 1 C. ≥ D. >
3 3
7.已知向量 = (1,0, 1)与平面 垂直，且 经过点 (2,3,1)，则点 (4,3,2)到 的距离为( )
3 √ 2 3√ 2
A. B. C. √ 2 D.
2 2 2
8.设{ }为等比数列，则“对于任意的 ∈
， +2 > ”是“{ }为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }是递增数列，前 项和为 ，且 7 = 3 5，则( )
A. 1 < 0 B. 2 + 7 > 0 C. 3 < 4 D. 8 > 0
1
10.已知函数 ( ) = 2，下列说法正确的是( )
2
A. ( )在 = 0处的切线方程为 + 1 = 0
3
B. < (ln2) < 2
2
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C. 函数 ( )只存在一个极小值，无极大值
D. ( )有唯一零点
11.已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点， 为 的中点，则下列说法正确
的是( )
A. | |的最小值为4 B. | | | |的最大值为4
4 16
C. 当| | = | |时，| | = 8 D. 当| | = 时，| | =
3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 2 ln 的图象在点(1, (1))处的切线方程为 ．
2 2
13.已知 为坐标原点， 为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点，若 上存在一点 ，使得△ 为等边
三角形，则椭圆 的离心率为 ．
14.已知直四棱柱 1 1 1 1, 1 = √ 3，底面 是边长为1的菱形，且∠ = 120
，点 为 1 1
的中点，点 是棱 1 1上的动点.则直线 与直线 所成角的正切值的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆 : 21 +
2 = 1与圆 2:
2 + 2 4 + = 0．
(1)若圆 1与圆 2相内切，求 的值；
(2)在(1)的条件下，直线 = 被圆 2截得的弦长为4√ 2，求实数 的值．
16.(本小题12分)
在正三棱柱 1 1 1中， 1 = ， 为 的中点．
(1)证明： 1//平面 1 ．
(2)求平面 1 与平面 1 1夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
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已知数列{ }的前 项和为 ，且4 = (2 + 1) + 1( ∈
).
(1)求{ }的通项公式;
1
(2)记 = ，求数列{ }的前 项和 ． +1
18.(本小题12分)
2 2 3
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 ，点 (1, )在椭圆 上，且 垂直于 轴． 2
(1)求椭圆 的方程;
(2)直线 交椭圆 于 ， 两点， ， ， 三点不共线，且直线 和直线 关于 对称．
(ⅰ)证明：直线 过定点;
(ⅱ)求△ 面积的最大值．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = · ln 2， ′( )为 ( )的导函数，记 ( ) = ′( )，其中 为常数．
(1)讨论 ( )的单调性;
(2)若函数 ( )有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，
①求 的取值范围;
1
②求证： 1 + 2 > ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = 0
13.【答案】√ 3 1
√ 3
14.【答案】
7
15.【答案】解：(1) ∵ 2 + 2 = 1，∴ 1(0,0)， 1 = 1，
∵ 2 + 2 4 + = 0，∴ 2 + ( 2)2 = 4 ，
∴ 2(0,2)， 2 = √ 4 ， < 4，
∵圆 1与圆 2相内切，∴ | 1 2| = 2 1，∴ 2 = √ 4 1，
∴ = 5．
(2)由(1)得 = 5，圆 2的方程为
2 + ( 2)2 = 9， 2(0,2)， 2 = 3，
2
|2| 4√ 2
故圆心 2到直线 = 的距离 = = √
2
2 ( ) = 1，
√ 2
2
1+
∴ = ±√ 3．
16.【答案】解：(1)证明：
连接 1，与 1 交于点 ，
连接 ，则 为 1的中点，
因为 为 的中点，所以 // 1，
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又 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ；
(2)取 1 1的中点 ，连接 ，
则 // 1， ⊥ ，
又 1 ⊥平面 ，
所以 ⊥底面 ，
底面 ，所以 ⊥ ，
则以 为原点， , , 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
√ 3
令 1 = 1，则 (0,0,0)， ( , 0,0)， 2
1 1 1
1 (0, , 1)， (0, , 0)， (0, , 1)， 2 2 1 2
所以
√ 3 1
= ( , 0,0)， 1 = (0, , 1)， 2 2
√ 3 1 1 = (0,0,1)， = ( , , 0)， 2 2
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 1 = + = 02
则{ ,
√ 3
= = 0
2
取 = 2，得 = 0, = 1，
故平面 1 的一个法向量为 = (0,2,1)，
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
1 = = 0
则{ ,
√ 3 1
= + = 0
2 2
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取 = 1，得 = √ 3, = 0，
故平面 1 1的一个法向量为 = (1,√ 3, 0)，
| | 2√ 3 √ 15
则|cos , | = = = ，
| |·| | √ 5×2 5
√ 15
即平面 1 与平面 1 1夹角的余弦值为 ． 5
17.【答案】解：(1)令 = 1，得4 1 = 3 1 + 1，解得 1 = 1，
由4 = (2 + 1) + 1，得4 1 = (2 1) 1 + 1( ≥ 2)，
两式相减得，4 = (2 + 1) (2 1) 1，
即(2 3) = (2 1) 1，
即 = 1
= … = 1 = 1，
2 1 2 3 1
所以 = 2 1( ≥ 2)，
当 = 1时， 1 = 1，满足上式，
所以 = 2 1．
1 1 1 1
(2)由(1)知 = = ( )， (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1
∴ = (1 + + + ) = ． 2 3 3 5 2 1 2 +1 2 +1
18.【答案】解：(1)设椭圆 的焦距为2 ( > 0)，依题意 = 1，
3
因为点 (1, )在椭圆 上，
2
1 9 1 9
所以
2
+ 2 = + = 1，
4 2 4( 2 1)
解得 = 2，
所以 2 = 2 2 = 4 1 = 3，
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1；
4 3
(2)( )证明：依题意，直线 斜率存在，
设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
则{ 2 2 ，
+ = 1
4 3
消去 ，整理得(3 + 4 2) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
因为 交椭圆 于 ， 两点，
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所以 > 0，
8 4 2 12
所以 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，
3+4 3+4
因为直线 和直线 关于 对称，
所以 1 2 + = + 1 1 2 1
1 + 2 +
= +
1 1 2 1
2 1 2+( )( = 1
+ 2) 2 = 0，
( 1 1)( 2 1)
所以2 1 2 + ( )( 1 + 2) 2
4 2 12 8
= 2 × 2 + ( ) × 2 2 = 0，
3+4 3+4
所以8 2 24 8 2 + 8 2 8 2 6 = 0，
所以 = 4 ，
所以直线 的方程为 = 4 = ( 4)，
所以直线 过定点(4,0);
( )设直线 的方程为 = + 4，
= + 4
则{ 2 2 ，
+ = 1
4 3
消去 ，整理得(3 2 + 4) 2 + 24 + 36 = 0，
因为 交椭圆 于 ， 两点，
所以 = (24 )2 144(3 2 + 4) = 144( 2 4) > 0，
解得 2 > 4，
12√ 2 4
所以| 1 2| = 3 2 ． +4
1 3 12√ 2 4 2 4
所以 △ = × 3| 2 1 2| = × 2 = 18 × √ 2 3 +4 2 2， (3 +4)
令 2 4 = ，( > 0)，
1 3√ 3
则 △ = 18 × √ 2 = 18 × ≤ ，
(3 +16) 4√ 256 9 + +96
16 2√ 21
当且仅当 = 时即 = ± 时取等号．
3 3
3√ 3
所以△ 面积的最大值为 ．
4
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19.【答案】解：(1) ∵ ( ) = · ln 2，定义域为(0,+∞)，，
∴ ( ) = ′( ) = ln + 1 2 ，
′ 1 1 2 ∵ ( ) = 2 = ，
当 0时：
′( ) > 0恒成立， ( )在(0,+∞)上单调递增，
当 > 0时：
令 ′
1
( ) > 0，则1 2 > 0，解得： < ，
2
′ 1令 ( ) < 0，则1 2 < 0，解得 > ，
2
1 1
∴ ( )在(0, )上单调递增，在( ,+∞)上单调递减，
2 2
综上所述：当 0时， ( )在(0,+∞)上单调递增;
1 1
当 > 0时， ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减．
2 2
(2) ①由(1)知： 0时， ( )在(0,+∞)上单调递增，
则 ′( ) = 0最多一个根，不符合题意，故 > 0．
∵函数 ( )有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，
1 1
∴ ( ) = 0在(0,+∞)有两个不同零点的必要条件是 ( ) = ln > 0，
2 2
1
解得：0 < < ．
2
1 1 1
当0 < < 时， ( )在(0, )上单调递增，在( ,+∞)上单调递减，
2 2 2
1 1 1 2
( ) = ln > 0， ( ) = < 0，且当 趋于+∞时， ( )趋近于 ∞，
2 2
1 1 1
∴由零点存在性定理得： ( )在( , )，( , +∞)各有1个零点．
2 2
1 1 1
即 ′( )在( , )，( , +∞)各有1个零点，
2 2
即 ( )有两个极值点，
1
∴ 的取值范围是(0, );
2
②证明：∵函数 ( )有两个极值点 1， 2( 1 < 2)，
∴ ln 1 + 1 2 1 = 0 ①，ln 2 + 1 2 2 = 0 ②，
ln 1 ln 1 ① ②得： = 2，要证 + > ，
2( ) 1 21 2
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2( )
即证 1 +
1 2
2 > ， ln 1 ln 2
2( )
即证ln 1 21 ln 2 < ， 1+ 2
1 2( ) 即证ln < 1 2 ，令 = 1 (0 < < 1)，
2 1+ 2 2
2( 1) 2( 1)
则ln < ，令 ( ) = ln ，
+1 +1
2
1 4 ( 1)
则 ′( ) = 2 = 2 > 0． ( +1) ( +1)
∴ = ( )在(0,1)上单调递增，
∴ ( ) < (1) = 0，
2( 1)
所以ln < 0在(0,1)上成立，
+1
1
∴ 1 + 2 > ，得证．
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