陕西省榆林市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | > 2}， = { | < 2 6}，则 ∪ ( ) =( )
A. [ 2, +∞) B. (2, +∞) C. ( ∞, 2] D. ( ∞, 3]
2.已知 (√ 1) = 1，则 (2) =( )
A. 9 B. 8 C. 3 D. 1
3.已知函数 ( ) = sin(2 + )，则( )
3
A. ( )在区间[ , ]上单调递增 B. ( )在区间[ , ]上单调递减
6 6 6 6
C. ( )在区间[ , ]上单调递增 D. ( )在区间[ , ]上单调递减
6 2 6 2
4.“ 1 ≥ 2且 2 ≥ 2”是“ 1 + 2 ≥ 4且 1 2 ≥ 4”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
12
5.已知sin ( + ) = ， ∈ ( , )，则cos =( )
4 13 4 2
17√ 2 7√ 2 7√ 2 5√ 2
A. B. C. D.
26 26 13 13
6.已知某种蔬菜的保鲜时间 (单位：小时)与储藏温度 (单位： )近似满足函数关系 = + ( , 为常数，
为自然对数底数)，若该品种蔬菜在5 时的保鲜时间为216小时，在25 时的保鲜时间为24小时，则在15
时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为( )
A. 120小时 B. 96小时 C. 72小时 D. 64小时
7.给定数集 ，若对于任意 , ∈ ，都有 + ∈ ，且 ∈ ，则称集合 为闭集合，则下列说法正
确的是( )
A. 自然数集是闭集合
B. 无理数集是闭集合
C. 集合 = { | = 3 , ∈ }为闭集合
D. 若集合 1， 2为闭集合，则 1 ∪ 2也为闭集合
+
8.已知函数 ( )的定义域为 ，且对任意实数 ， ，都有 ( ) + ( ) = 2 ( ) ( ).若 (1) = 1，则
2 2
3
( ) =( )
2
3 1
A. B. 1 C. D. 0
2 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题正确的是( )
A. 若tan < 0且sin > 0，则 为第二象限角
B. 将分针拨快15分钟，则分针转过的角度为
2
11 13
C. cos < cos
5 7
D. ( ) = sin + cos2 的图象关于直线 = 对称
2
10.已知 > 0， > 0， + 2 = 1，则( )
1 1 4
A. √ + < √ 2 B. + 2 > 1 C. √ ≤ D. + ≥ 9
2 2
11.已知奇函数 ( )与偶函数 ( )的定义域均为 ，在区间( , )上都是增函数，则( )
A. ≥ 0
B. = ( ) ( )在区间( , )上是减函数
C. = ( ) ( )是奇函数，且在区间( , )上是增函数
D. = ( ( ))是偶函数，且在区间( , )上是增函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.请写出一个幂函数 ( )满足以下两个条件：①定义域为(0, +∞)；② ( )为减函数，则 ( ) = ．
tan12 √ 3
13. 3 = ． sin12 2 12
14.已知函数 ( ) = + + 1的零点为 1， ( ) = ln( 1) + 的零点为 2，则 ( 1 + 2) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知________.请从下列两个条件中任选一个作答．
√ 5
条件①：角 的终边与单位圆的交点为 ( , )；
5
条件②：角 满足3 2 2 2 + 1 = 0．
(1)求tan 的值；
(2)求sin cos 2 的值．
注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分．
16.(本小题12分)
已知二次函数 ( ) = 2 2 1．
(1)当 取何值时，不等式 ( ) < 0对一切实数 都成立？
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(2)若 ( )在区间( 2,1)内恰有一个零点，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < < )在一个周期内的图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式；
(2)将 ( )的图象向左平移 个单位长度后得到函数 ( )的图象，设 ( ) = ( ) + ( )，证明： ( )为奇函
3
数．
18.(本小题12分)
4
已知函数 ( ) = + ．
4
(1)若 ( 0) = √ 19，求 0 的值； 0
(2)判断 ( )在(0, +∞)上的单调性并利用定义法证明；
(3)求 ( )在[1, ]上的最大值．
19.(本小题12分)
已知函数 ( )和 ( )的定义域分别为 1和 2，若对任意的 0 ∈ 1都恰好存在 个不同的实数
1, 2, 3, , ∈ 2，使得 ( ) = ( 0)(其中 = 1,2,3, , , ∈
)，则称 ( )为 ( )的“ 重覆盖函数”．
(1)若 ( ) = √ 2 + √ 4 2 ，求 ( )的值域并判断 ( ) = 2 + 2是否为 ( )的“2重覆盖函数”，请说明
理由；
1
(2)求证： ( ) = 2| | ln 2是 ( ) = 的“4重覆盖函数”； +1
2 + (2 3) + 1, ≤ 1,
(3)若 ( ) = { 1 为 ( ) = ln( + 1)的“2重覆盖函数”，求实数 的取值范围．
, > 1
1
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】 2(答案不唯一)．
13.【答案】 8
14.【答案】2
15.【答案】(1)
√ 5
条件①：因为角 的终边与单位圆的交点为 ( , )，
5
2
可得 2
√ 5 2√ 5 1
+ ( ) = 1， = ± ，由三角函数的定义可得tan = ±
5 5 2
条件②：因为角 满足3 2 2 2 + 1 = 0，又因为 2 + 2 = 1，
即3 2 2 2 + 2 + 2 = 0，可得4 2 = 2
1
又 2 ≠ 0，∴ 2 = ，
4
1
即tan = ± ．
2
(2)
1
无论选择①还是②均可得到tan = ± ，
2
sin cos 2 tan 2
sin cos 2 = 2 = ， + 2 2 +1
1 1
1 tan 2 2 4 1当tan = 时， = = ；
2 2 +1 1+1 5
4
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1 1
1 tan 2 3
当tan = 时， 2 4
2 2
= 1 = ； +1 +1 5
4
16.【答案】(1)
因为 ( )为二次函数，所以 ≠ 0，
又因为不等式 ( ) < 0对一切实数 都成立，
< 0
所以{ ，解得 < 1．
= 4 + 4 < 0
(2)
当 ( )在 上仅有一个零点时，由 = 4 + 4 = 0，解得 = 1，
2
此时零点为 = 1，符合题意；
2
当 ( )在 上有两个零点时， = 4 + 4 > 0，即 > 1且 ≠ 0，
3 3 2
①当 ( 2) = 0时， = ，则由 ( ) = 2 2 1 = 0解得另一个零点为 ，符合题意；
4 4 3
1
②当 (1) = 0时， = 3，则由 ( ) = 3 2 2 1 = 0解得另一个零点为 ，符合题意；
3
3
③当 ( 2) (1) ≠ 0时，由零点存在定理，则 ( 2) (1) < 0，即(4 + 3)( 3) < 0，解得 ∈ ( , 0) ∪
4
(0,3).
3
综上， ( )在区间( 2,1)内恰有一个零点时，实数 的取值范围为{ 1} ∪ [ , 0) ∪ (0,3].
4
17.【答案】(1)
由最值得 = 2，
2
由相邻两零点距离得 = ( ) = ，则 = = ，即 = 2，
2 6 3 2
此时 ( ) = 2sin(2 + )，
+
3 6 因为 = ，则该函数一个最高点为( , 2)，
2 12 12
代入点( , 2)得：sin ( + ) = 1，
12 6
2
则 + = + 2 ( ∈ )，即 = + 2 ( ∈ )，
6 2 3
2
又因为0 < < ，所以 = 0, = ，
3
2
故 ( ) = 2sin (2 + )．
3
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(2)
2
由题意得 ( ) = 2sin (2 ( + ) + ) = 2sin (2 + )，
3 3 3
2
则 ( ) = 2sin (2 + ) 2sin (2 + )，
3 3
2 2
因为 ( ) = 2sin ( 2 + ) 2sin ( 2 + ) = 2sin ( (2 + ) + ) 2sin [ (2 + ) + ]
3 3 3 3
2
= 2sin (2 + ) 2sin (2 + ) = ( )，且其定义域为 ，关于原点对称，
3 3
所以 ( )为奇函数．
18.【答案】(1)
4 4 2
因为 ( ) = + = √ 19，所以( + ) = 2
16 2 16
0 0 0 0 + 8 + 2 = 19，即 0 + = 11, 0 0 0
2
0
4 2 16 4
因为( 0 ) =
2
0 8 + 2 = 11 8 = 3，所以 0
= ±√ 3．
0 0 0
(2)
( )在 区间(0,2)上单调递减，在区间(2, +∞)上单调递增，证明如下：
任取 1, 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
4 4 4( ) ( )( 4)
则 ( 1) ( 2) = ( 1 + ) ( 2 + ) = ( ) +
2 1 = 1 2 1 21 2 ， 1 2 1 2 1 2
因为 1, 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，所以 1 2 > 0, 1 2 < 0，
当0 < 1 < 2 < 2时， 1 2 4 < 0，所以 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
当2 < 1 < 2时， 1 2 4 > 0，所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在区间(0,2)上单调递减，在区间(2, +∞)上单调递增．
(3)
当1 < ≤ 2时，由(2)知 ( )在[1, ]上单调递减，所以 ( )max = (1) = 5；
当 > 2时，由(2)知 ( )在[1,2]上单调递减，在[2, ]上单调递增，
因为 (4) = 5，所以若2 < < 4，则 ( )max = (1) = 5，
4
若 ≥ 4，则 ( )max = ( ) = + ．
5,1 < < 4
综上， ( )max = { 4 + , ≥ 4
19.【答案】(1)
( )不是 ( )的“2重覆盖函数”，理由如下：
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设 = √ 2 , = √ 4 2 ，则 2 + 2 = 4( ≥ 0, ≥ 0)，
令 = 2cos , = 2sin , ∈ [0, ]，
2
则 = ( ) = 2cos + 2sin = 2√ 2sin( + )，
4
3 √ 2
由0 ≤ ≤ ，得 ≤ + ≤ ，所以 ≤ sin( + ) ≤ 1，得 ( ) ∈ [2,2√ 2]．
2 4 4 4 2 4
函数 ( ) = 2 + 2的定义域为 ，且 ( ) ≥ 2，
当 = 2时，函数 ( )与直线 = (2 ≤ ≤ 2√ 2)只有1个交点，
所以 ( ) = 2 + 2不是 ( )的“2重覆盖函数”．
(2)
1 1+
设 = ( ) = ，定义域为 ，则 = ， +1 1
1+
又 > 0，所以 > 0，解得 1 < < 1，即 ( )的值域为( 1,1)；
1
ln22 2 2ln , > 0 ( )的定义域为{ | ≠ 0}，且 ( ) = ln | | ln = {
ln2
,
( ) 2ln( ), < 0
当 > 0时， ( ) = 2 2ln ，令 = ln ，
则 ∈ 且 = ( ) = 2 2 = ( 1)2 1 ≥ 1，
所以函数 = ( 1)2 1与直线 = ( 1 < < 1)有2个交点，
即函数 ( )与直线 = ( 1 < < 1)在{ | ≠ 0}上有2个交点；
同理当 < 0时，函数 ( )与直线 = ( 1 < < 1)在{ | ≠ 0}上亦有2个交点，
1
所以 ( ) = 2| | ln 2是 ( ) = 的“4重覆盖函数”． +1
(3)
函数 ( ) = ln( + 1)的定义域为 ，即 1 = ，
由 + 1 > 1，得ln( + 1) > ln1 = 0，所以 ( )的值域为(0, +∞)；
2 + (2 3) + 1, ≤ 1
函数 ( ) = { 1 的定义域为 = ，
, > 1 2
1
2 + (2 3) + 1, ≤ 1
因为 ( ) = { 1 为 ( ) = ln( + 1)的“2重覆盖函数”，
, > 1
1
所以函数 ( )图象与 = ( > 0)有2个交点．
1
当 > 1时， = > 0，与 = ( > 0)有一个交点，
1
所以当 ≤ 1时，函数 ( )与 = ( > 0)有且只有一个交点，
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下面讨论当 ≤ 1时，函数 ( )情况
若 = 0， ( ) = 3 + 1( ≤ 1)与 = ( > 0)有且只有一个交点，满足题意；
3
若 < 0，函数 ( )开口向下，对称轴为 = 1 + < 1，
2
此时 (0) = 1, (1) = 3 2 < 0, ( 1) = 4 > 0，
此时函数 ( )与 = ( > 0)有2个交点，不满足题意；
3
若 > 0，函数 ( )开口向上，对称轴为 = 1 + > 1，
2
3 3 3
当 = 1 + < 0即 > 时，函数对称轴 = 1 + ∈ ( 1,0)，由于 (0) = 1，
2 2 2
3
故函数 ( )与 = ( > 0)有且只有一个交点，所以 > ；
2
3 3
当 = 1 + ≥ 0即0 < ≤ 时，此时 (0) = 1, ( 1) = 4 < 4，
2 2
要使函数 ( )与 = ( > 0)有且只有一个交点，
2 3
只需 (1) = 3 2 ≤ 0，解得 ≤ ，所以0 < ≤ ．
3 2
综上，实数 的取值范围为[0, +∞)．
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