2024-2025学年广东省阳江市高新区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.在梯形中，满足，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.圆台的高为，体积为，两底面圆的半径比为：，则母线和轴的夹角的正切值为( )
A. B. C. D.
6.已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 至少有一个实数，使
B. 若的定义域为，则的定义域是
C. 命题：，，则：，
D. “集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件
10.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量记表示事件“
”，表示事件“”，表示事件“”则( )
A. 和互为对立事件 B. 事件和不互斥
C. 事件和相互独立 D. 事件和相互独立
11.已知两定点，，动点满足条件，其轨迹是曲线，过作直线交曲线于，两点，则下列结论正确的是( )
A. 取值范围是
B. 当点，，，不共线时，面积的最大值为
C. 当直线斜率时，平分
D. 最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，若，则的值为______．
13.已知三棱台的上、下底面均为正三角形，且平面平面，，为的中点，则直线与夹角的余弦值为______．
14.点为圆：上一点，过的圆的切线为，且与：平行，则与之间的距离是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求．
16.本小题分
已知圆过，两点，且圆心在直线上．
求圆的方程．
若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程．
17.本小题分
课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长单位：分钟，得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过分钟．
时长
学生人数
Ⅰ估计这名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
Ⅱ若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取人进行问卷调查，并从人中随机选取人进行座谈，求这人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率．
18.本小题分
如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知为圆：上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为．
求的方程；
过点作直线与轴不重合与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程．
参考答案
1.
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14.
15.解：由题意，，
则由正弦定理可得，
又，所以，
所以，则，
因为，所以，
又因为，所以；
由得：，
则由余弦定理可得，
整理得，又，
所以，即，
所以，即，
则．
16.解：方法一设圆的方程为，依题意有，
解得，
故所求圆的方程为．
如图所示，，设是线段的中点，
则 ，
，．
在中，可得．
当直线的斜率不存在时，满足题意，
此时方程为
当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为：，
即由点到直线的距离公式：
，得，此时直线的方程为
所求直线的方程为或．
17.解：Ⅰ估计平均数为；
Ⅱ寒假期间每天课外阅读平均时长在和的人数之比为：，
所以抽取的人中，寒假期间每天课外阅读平均时长在内的有人，记为，，
寒假期间每天课外阅读平均时长在内的有人，记为，，，，
从人中随机选取人，所有可能有：，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
其中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的有：，，，，，，，，，共种情况，
所以所求概率为．
18.证明：连接，由为中点，为中点，得，
又平面，平面，
所以平面；
解：设，
由平面，，平面，
得，，
则，取中点，则，
又，，平面，则平面，
又平面，于是平面平面，
又平面面，过点在平面内作于，
于是平面，则，连，
则为直线与平面所成的角，
在中，由，
可得，，
则，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：由题意可知：：的圆心为，半径为，且，
则，
可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
则，所以的方程为；
因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，
设直线：，，，则，
联立方程，消去可得，
则，
又因为，
若，则，即，
可得，解得，
所以的方程为，即．
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