2024-2025学年山东省滨州市高二上学期1月期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆的焦点坐标为( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
2.过点且与直线平行的直线的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知点为平行四边形对角线的交点，点为空间任意一点，则( )
A. B. C. D.
4.已知是函数的导函数，且，则( )
A. B. C. D.
5.与圆及圆都内切的圆的圆心在( )
A. 椭圆上 B. 双曲线的左支上 C. 双曲线的右支上 D. 抛物线上
6.按照全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定，我国自年月日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原周岁延迟到周岁对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每个月延迟个月，当不满个月时仍按延迟个月计算男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下：
出生时间 年
月至月 年
月至月 年
月至月 年
月至月
改革后法定
退休年龄 岁个月 岁个月 岁个月 岁个月
那么年月出生的男职工退休年龄为( )
A. 岁个月 B. 岁 C. 岁个月 D. 岁个月
7.在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论不正确的是( )
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为
C. 满足的点共有个 D. 的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是( )
A. B. 数列为等比数列
C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点则下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 若动直线与直线夹角为，且与平面交于点，则点的轨迹构成的图形的面积为．
11.已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是( )
A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增
C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.定义“等方差数列”如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为，，则数列的前项和 ．
14.已知双曲线的两个焦点分别是与，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点．
求直线的方程
求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程．
16.本小题分
如图，和所在平面垂直，且，．
求证：
若，连接，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列数列的前项和为，满足．
求数列，的通项公式
若数列满足求数列的前项和．
18.本小题分
已知抛物线的准线与椭圆相交所得弦长为．
求抛物线的方程
若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦求证：弦的长为定值
过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点，和点，，求四边形面积的最小值．
19.本小题分
已知函数，
当时，求函数的单调区间
若函数在定义域内单调递增，求的取值范围
若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：对于圆，
令，则，解得，所以，
因为圆的圆心坐标为，半径，点是圆上到轴距离最大的点，
所以点的纵坐标为，横坐标为，即，
由直线的两点式方程可得直线的方程为，即．
因为直线的斜率，因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率，
设所求直线方程为，即，
已知圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，则，
解得或，
所以所求直线方程为或．
16.【答案】解：延长，过点作，交延长线于点，
由平面平面，平面平面，平面，
则平面，
因为平面，所以．
由，，
则，
可得，，又，
得，则，
故，
又由，，平面，
则平面，
又平面，则．
由可知，，，三线两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
不妨设，
则，，，，
由，
所以，
设平面的一个法向量，直线与平面所成角为，
可知，，
则，取，得，
所以
，
则直线与平面所成角的正弦值为．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，其通项公式为，
已知，则，，
因为，，成等比数列，则，
即，
解得或舍去，
所以数列的通项公式为．
由 ，
当时，，因为，所以，解得，
当时， ，
得：，
即：，
因为，所以，即，
由，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则．
综上，数列的通项公式为，
数列的通项公式为．
因为，
所以
．
18.【答案】解：由已知，抛物线的准线为直线，与椭圆相交线段的一个端点坐标是，
把代入椭圆方程化简得，解得．
所以抛物线的方程为．
假设在抛物线上运动时弦的长为定值，理由如下：
设在抛物线上，可知到轴距离为，
根据圆的弦长公式可知：，
由已知，，
所以，
则在抛物线上运动时弦的长的定值为．
解：若过点且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直，
则其中与轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设过的的两条直线的方程分别为、，其中，
设直线交抛物线于点、，
由得，
，
由韦达定理可得，则，
同理可得，
所以，四边形的面积
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即四边形的面积的最小值为．
19.【答案】解： 的定义域为，
，
当时，，
当或，即或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
故的增区间为，，减区间为．
由在定义域内单调递增，
得对任意的恒成立，
即恒成立，即恒成立．
因为，所以，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以，
即 的取值范围是；
，因为函数 有两个极值点，
所以方程 有两个不相等的实数根，
故且，
所以，
，
又恒成立，
即恒成立，
，
设，
则，
在上恒成立，故 在上单调递减，
所以，
所以，
即实数 的取值范围为．
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