2024-2025学年广东省江门市高一上学期期末调研测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数，则
A. 是偶函数，且在上是减函数 B. 是偶函数，且在上是增函数
C. 是奇函数，且在上是增函数 D. 是奇函数，且在上是减函数
6.在内函数的定义域是( )
A. B. C. D.
7.已知函数 若方程有个实数解，则的取值范围是
A. B. C. D.
8.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道宽度、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当时，公式中真数里的可以忽略不计按照香农公式，若将带宽变为原来的倍，信噪比从提升到，传递速度变为原来的倍，则约为 其中
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，是相同函数的为( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
10.下列说法正确的是( )
A. 钝角都是第二象限角
B. 第二象限角大于第一象限角
C. 终边落在轴上的角的集合可表示为
D. 若，则
11.对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，，使得，则称函数与具有关系；若任取，存在，使得，则称函数与具有关系．已知，，则下面判断正确的是
A. 函数与具有关系 B. 函数与具有关系
C. 函数与具有关系 D. 函数与具有关系
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则______．
13.若，则的最小值是________
14.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为_________用集合表示
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，解关于的不等式；
若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，且，记．
若，求点的坐标；
若点的坐标为，求的值．
17.本小题分
已知函数．
求的最小正周期及单调递减区间；
求在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品已知该企业日加工处理厨余垃圾吨，最少为吨，最多为吨，日加工处理总成本元与日加工处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为元．
该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？平均成本
为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个补贴方案？为什么？
19.本小题分
已知函数为偶函数．
求的值；
若，判断在上的单调性，并用定义法给出证明；
若在区间上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：当 时，不等式为，
因为方程 的解为 ，或 ，
结合函数 的图像可得 ，
不等式的解集为 ．
当 时， 对于一切的 恒成立，符合题意；
当 时，因为 的解集为 ，
则 ，解得
即，
综上可得：实数的取值范围为 ．
16.解：因为，
所以，
所以点坐标为．
因为，
所以，
所以点坐标为；
所以，两点坐标分别为，．
由点在单位圆上，得，
又点位于第一象限，则．
所以点的坐标为．
即．
所以，
所以．
17.解：的最小正周期为，令，
因为的单调递减区间是，
且由，解得，．
所以函数的单调递减区间为，．
因为，所以，
所以当，即，时，，
当，即，时，．
18.解：由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为
，
当且仅当 ，即 时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，
因为 ，
所以此时该企业处理吨厨余垃圾处于亏损状态
若该企业采用补贴方式，设该企业每日获利为 元，
因为 ， 在 上单调递减，
所以当 吨时，企业获得最大利润，为元．
若该企业采用补贴方式，设该企业每日获利为 元，
因为 ， 在 上单调递增，
所以当 吨时，企业获得最大利润，为元．
结论：选择方案一，当日加工处理量为吨时，可以获得最大利润元；
选择方案二，当日加工处理量为吨时，获得最大利润元；
所以选择方案二进行补贴．
19.解： 定义域为，
，
由于函数为偶函数，
所以，
即，即，
即恒成立，
．
已知函数，
由于函数在上单调递增，
由第问可得，因此，
不妨设，，且，
则
，
因为，所以，
又因为，，
因此，所以，
故，
所以函数在上单调递增．
由题得 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
因为 ，所以 ，
所以 在区间 上恒成立，
令 ，
则，
令，
因为 在 单调递增且 ，
所以函数在 上单调递减，故，
，
对任意的 恒成立，且，
，
实数 的取值范围是 ．
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