浙江省丽水市缙云县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
1．（2024九上·缙云期末）如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，分别从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件的布袋是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2024九上·缙云期末）若函数的图象经过点，则n的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．（2024九上·缙云期末）的半径为，点A在外，则的长可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·缙云期末）已知c是a和b的比例中项，，，则（ ）
A． B．6 C．4 D．
5．（2024九上·缙云期末）已知在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·缙云期末）如图，已知，，，，则的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2024九上·缙云期末）将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象经过的是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移2个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移2个单位
8．（2024九上·缙云期末）如图，是的两条弦，点M，N分别是的中点，连结．若的半径是6，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·缙云期末）如图，在中，，，连结AC交DF于点G．若，则FG的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
10．（2024九上·缙云期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·缙云期末）若
12．（2024九上·缙云期末）小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是 ．
13．（2024九上·缙云期末）半径为，圆心角为的扇形面积是 ．
14．（2024九上·缙云期末）飞机着陆后滑行的距离（米）与滑行时间（秒）的关系满足．当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 秒．
15．（2024九上·缙云期末）如图，已知线段．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，的周长是 ．
16．（2024九上·缙云期末）如图，在中，点D是边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，设，．
（1）当，，时，的长是 ；
（2）当，时，与的面积之比是 ．
17．（2024九上·缙云期末）已知二次函数的图象如图所示．
（1）写出c的值；
（2）求出函数的表达式．
18．（2024九上·缙云期末）如图，在中，是边上的一点，，，，，在上找一点，连结，使与相似．
（1）请画出一种符合题意的图形；
（2）根据你画出的图形，计算的长度．
19．（2024九上·缙云期末）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点C处，，量得面板长，支撑轴长，，支撑轴与底座所成的角．
（1）求端点C到底座的高度；
（2）为了阅读舒适，将绕点D旋转后，点B恰好落在直线上，问：端点C离底座的高度降低了多少？（结果保留2位小数）
（参考数据：，，，）
20．（2024九上·缙云期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y．
（1）计算的结果为0的概率；
（2）甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则．
21．（2024九上·缙云期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题．
（1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
（2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用）
22．（2024九上·缙云期末）在矩形中，点是的中点，连接．是线段上一点，的延长线交于点．
（1）如图，若，且．
求证：点是的中点；
（2）如图，若，当时，求的值（用含的代数式表示）．
23．（2024九上·缙云期末）已知，二次函数（为常数）．
（1）若，判断点是否在此函数的图象上；
（2）若此函数图象经过点，求的值；
（3）若此函数图象经过点，，求证：．
24．（2024九上·缙云期末）小施在复习浙教版教材九上第页第题后，进行变式与探究：
等腰三角形中，点是底边上的动点，以为圆心，为半径作圆，交于点．已知，．
（1）【基础变式】
如图，当点是中点时，交于点，连结．求证：．
（2）【拓展探究】
如图，作点关于直线的对称点，射线交于点，连结，，．
①求的值；
②判断与的位置关系，并说明理由；
③当点在什么位置时，点恰好落在的延长线上？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：①袋中没有红球，摸到红球属于不可能事件；
②袋中有1个红球，2个白球，摸到红球属于随机事件；
③袋中有2个红球，1个白球，摸到红球属于随机事件；
④袋中有3个红球，没有白球，摸到红球属于必然事件.
故答案为：D.
【分析】根据事件的分类“在一定的条件下一定发生的事件是必然事件；有可能发生也有可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件”逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入得，，
故答案为：A．
【分析】把代入解析式计算解题．
3．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点A在外时，；
A、B、C选项均不符合；
故答案为：D．
【分析】
设点与圆心的距离为，当点在圆外，则，逐项判断即可．
4．【答案】A
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：根据比例中项的概念，得，，
故答案为：A．
【分析】根据比例中项的定义“两个比例内项相同时，就叫比例中项”，列比例式计算即可．
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：已知在中，∵，，，
∴，
∴
故答案为．
【分析】先根据勾股定理求出长，然后根据正弦的定义解题即可．
6．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由题意：∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值计算即可．
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、平移后，得，图象不经过点，故A不符合题意；
B、平移后，得，图象不经过点，故B不符合题意；
C、平移后，得，图象经过点，故C符合题意；
D、平移后，得，图象不经过点，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”解题即可．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵；
∴所对的圆心角；
∴；
∴；
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到，然后代入弧长公式计算即可．
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：C．
【分析】先证明是菱形，得到，，然后推理得到，即可得到，解题即可．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是，
∴，即，
∵，
∴，
∵二次函数 的图像的顶点在第二象限，
∴且，
将，代入上式得：
，解得．
故答案为：B．
【分析】把代入可得，代入可得，，然后根据二次函数顶点的位置可得且解不等式即可．
11．【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据等式的性质，两边都加上1，
+1=+1，
则=，
故答案为：.
【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案。
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3，
故两人一起做同样手势的概率是的概率为．
故答案为：．
【分析】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解决即可。
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的半径，圆心角为，
∴该扇形面积．
故答案为：.
【分析】利用扇形的面积公式解题即可．
14．【答案】
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：把，代入得，
，
解得
∴，
∴时，最大，即飞机从着陆到停止，滑行的时间是秒，
故答案为：．
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，配方得到顶点坐标即可解题．
15．【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB是直径；
∴；
∵；
∴设；
则；
在中，，由勾股定理得；
；
即；
解得：；
∴；
由题意得PQ是线段AB的线段垂直平分线；
∴；
∴的周长；
故答案为：17．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据，利用勾股定理可得到AC和BC的长，然后利用线段垂直平分线的性质得，求周长即可．
16．【答案】5；
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）当，，时；
得，，；
设，则；
由题意可得；
∴在中，由勾股定理可得；
；
即；
解得：
故；
（2）当，时；
∵；
∴；
又∵；
；
∴；
由题意可得；
∴；
∴
∵；
∴；
∴；
∴设，，；
则
∴；
∴
∴；
整理得：；
解得：（不符合题意，舍去）；
；
∴，；
∴；
故与的面积之比是：．
【分析】（1）设，利用勾股定理计算长即可；
（2）先推理证明，先得到，然后设，，，求出m值，即可得到，，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出面积之比．
17．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点；∴将点代入得；
．
（2）解：设函数的表达式为；
∵函数图象经过点；
∴把点代入得；
；
∴函数的表达式为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把代入解析式即可求出c的值；
（2）利用待定系数法求函数表达式即可．
18．【答案】（1）解：如图所示，与相似，
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴即，
解得．
【知识点】尺规作图-垂线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）作交于点，即可得到．
（）根据两角对应相等的两个三角形相似得到，根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
19．【答案】（1）解：如图设点C到底座的高度为；
∵，；
∴；
∴端点C到底座的高度为：．
（2）如图为旋转后的图形；
∵，；
∴；
∵，；
在中；
；
∵；
∴；
∴旋转后端点C离底座的高度；
∴端点C离底座的高度降低了．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）设点C到底座的高度为，利用所对的直角边等于斜边的一半即可求得h长即可；
（2）在Rt△DCB中先根据正切得到∠CDB的度数，然后根据正弦得到端点C离底座的高度，然后和（1）中结果求差即可解题．
20．【答案】（1）解：画树状图如下，
由树状图得共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果，
∴的结果为0的概率是；
（2）解：由树状图得共有12种的等可能结果，其中共有2种等可能结果，所以甲胜的概率为；共有4种等可能结果，所以乙胜的概率为；∵
∴游戏规则不公平；
公平的游戏规则为：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．
此时甲胜和乙胜的概率都是，
∴此游戏规则公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）画树状图得到所有的等可能结果数，找出符合条件的结果数，利用概率公式解题即可；
（2）分别计算出甲胜和乙胜的概率，然后作比较确定据游戏公平性；然后给出使得甲胜和乙胜概率相同的游戏规则即可．
21．【答案】（1）解：正八边形的外角，
∴正八边形的内角；
（2）解：如图中，连接，，过点作于点．
∵，，
∴，，由题意得，
∴（，
∵，
∴这个托盘适用于此八角花盆．
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；垂径定理的实际应用；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）求出正八边形的外角，根据内角和外角互补解题即可；
（）连接，，过点作于点，求出正八边形的所在圆的半径OA长，和托盘的半径作比较解题即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴即，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到是正方形，即可得到，，再推导出，可得，即可解题；
（2）延长交的延长线于点，根据，可得，即可得到，进而求出，然后得到，同理可得，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
23．【答案】（1）解：把代入二次函数（是常数）得，当时，，
∴时，点在此函数的图象上；
（2）解：把代入得
，
解得或；
（3）解：点，在上，∴对称轴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
即．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（）把代入解析式得，直接把x=-1代入求出函数值判断即可；
（）把代入函数关系式，解关于的方程即可解题．
（）利用对称轴公式得到对称轴为直线，根据对称性得到，把代入二次函数，得到c关于m的二次函数，利用二次函数的最值解题即可．
24．【答案】（1）解：∵等腰三角形中，点是底边上的动点，点是中点
∴，，
∴，
∴点在上，
∴四边形内接于，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①过点作于点，
∵，
∴，
由设，，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵点关于直线的对称是点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
③连接，过点作于点，
∵，，
∴，
∵点关于直线的对称是点，点恰好落在的延长线上．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，点恰好落在的延长线上．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到，，然后根据圆内接四边形的对角互补可得，即可得到，再根据等角的补角相等解题；
（2）①过点作于点，可得，然后根据，设，，利用勾股定理可得，进而求出，，然后推导得到，即可解题；
②得到，即可得到结论；
③连接，过点作于点，根据三角函数得到，然后证明，即可得到，即可求出，根据勾股定理可以得到，
进而得到，解题即可．
浙江省丽水市缙云县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
1．（2024九上·缙云期末）如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，分别从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件的布袋是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：①袋中没有红球，摸到红球属于不可能事件；
②袋中有1个红球，2个白球，摸到红球属于随机事件；
③袋中有2个红球，1个白球，摸到红球属于随机事件；
④袋中有3个红球，没有白球，摸到红球属于必然事件.
故答案为：D.
【分析】根据事件的分类“在一定的条件下一定发生的事件是必然事件；有可能发生也有可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件”逐一判断即可.
2．（2024九上·缙云期末）若函数的图象经过点，则n的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入得，，
故答案为：A．
【分析】把代入解析式计算解题．
3．（2024九上·缙云期末）的半径为，点A在外，则的长可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点A在外时，；
A、B、C选项均不符合；
故答案为：D．
【分析】
设点与圆心的距离为，当点在圆外，则，逐项判断即可．
4．（2024九上·缙云期末）已知c是a和b的比例中项，，，则（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】A
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：根据比例中项的概念，得，，
故答案为：A．
【分析】根据比例中项的定义“两个比例内项相同时，就叫比例中项”，列比例式计算即可．
5．（2024九上·缙云期末）已知在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：已知在中，∵，，，
∴，
∴
故答案为．
【分析】先根据勾股定理求出长，然后根据正弦的定义解题即可．
6．（2024九上·缙云期末）如图，已知，，，，则的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由题意：∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值计算即可．
7．（2024九上·缙云期末）将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象经过的是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移2个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移2个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、平移后，得，图象不经过点，故A不符合题意；
B、平移后，得，图象不经过点，故B不符合题意；
C、平移后，得，图象经过点，故C符合题意；
D、平移后，得，图象不经过点，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”解题即可．
8．（2024九上·缙云期末）如图，是的两条弦，点M，N分别是的中点，连结．若的半径是6，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵；
∴所对的圆心角；
∴；
∴；
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到，然后代入弧长公式计算即可．
9．（2024九上·缙云期末）如图，在中，，，连结AC交DF于点G．若，则FG的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：C．
【分析】先证明是菱形，得到，，然后推理得到，即可得到，解题即可．
10．（2024九上·缙云期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是，
∴，即，
∵，
∴，
∵二次函数 的图像的顶点在第二象限，
∴且，
将，代入上式得：
，解得．
故答案为：B．
【分析】把代入可得，代入可得，，然后根据二次函数顶点的位置可得且解不等式即可．
11．（2024九上·缙云期末）若
【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据等式的性质，两边都加上1，
+1=+1，
则=，
故答案为：.
【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案。
12．（2024九上·缙云期末）小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3，
故两人一起做同样手势的概率是的概率为．
故答案为：．
【分析】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解决即可。
13．（2024九上·缙云期末）半径为，圆心角为的扇形面积是 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的半径，圆心角为，
∴该扇形面积．
故答案为：.
【分析】利用扇形的面积公式解题即可．
14．（2024九上·缙云期末）飞机着陆后滑行的距离（米）与滑行时间（秒）的关系满足．当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 秒．
【答案】
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：把，代入得，
，
解得
∴，
∴时，最大，即飞机从着陆到停止，滑行的时间是秒，
故答案为：．
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，配方得到顶点坐标即可解题．
15．（2024九上·缙云期末）如图，已知线段．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，的周长是 ．
【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB是直径；
∴；
∵；
∴设；
则；
在中，，由勾股定理得；
；
即；
解得：；
∴；
由题意得PQ是线段AB的线段垂直平分线；
∴；
∴的周长；
故答案为：17．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据，利用勾股定理可得到AC和BC的长，然后利用线段垂直平分线的性质得，求周长即可．
16．（2024九上·缙云期末）如图，在中，点D是边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，设，．
（1）当，，时，的长是 ；
（2）当，时，与的面积之比是 ．
【答案】5；
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）当，，时；
得，，；
设，则；
由题意可得；
∴在中，由勾股定理可得；
；
即；
解得：
故；
（2）当，时；
∵；
∴；
又∵；
；
∴；
由题意可得；
∴；
∴
∵；
∴；
∴；
∴设，，；
则
∴；
∴
∴；
整理得：；
解得：（不符合题意，舍去）；
；
∴，；
∴；
故与的面积之比是：．
【分析】（1）设，利用勾股定理计算长即可；
（2）先推理证明，先得到，然后设，，，求出m值，即可得到，，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出面积之比．
17．（2024九上·缙云期末）已知二次函数的图象如图所示．
（1）写出c的值；
（2）求出函数的表达式．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点；∴将点代入得；
．
（2）解：设函数的表达式为；
∵函数图象经过点；
∴把点代入得；
；
∴函数的表达式为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把代入解析式即可求出c的值；
（2）利用待定系数法求函数表达式即可．
18．（2024九上·缙云期末）如图，在中，是边上的一点，，，，，在上找一点，连结，使与相似．
（1）请画出一种符合题意的图形；
（2）根据你画出的图形，计算的长度．
【答案】（1）解：如图所示，与相似，
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴即，
解得．
【知识点】尺规作图-垂线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）作交于点，即可得到．
（）根据两角对应相等的两个三角形相似得到，根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
19．（2024九上·缙云期末）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点C处，，量得面板长，支撑轴长，，支撑轴与底座所成的角．
（1）求端点C到底座的高度；
（2）为了阅读舒适，将绕点D旋转后，点B恰好落在直线上，问：端点C离底座的高度降低了多少？（结果保留2位小数）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图设点C到底座的高度为；
∵，；
∴；
∴端点C到底座的高度为：．
（2）如图为旋转后的图形；
∵，；
∴；
∵，；
在中；
；
∵；
∴；
∴旋转后端点C离底座的高度；
∴端点C离底座的高度降低了．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）设点C到底座的高度为，利用所对的直角边等于斜边的一半即可求得h长即可；
（2）在Rt△DCB中先根据正切得到∠CDB的度数，然后根据正弦得到端点C离底座的高度，然后和（1）中结果求差即可解题．
20．（2024九上·缙云期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y．
（1）计算的结果为0的概率；
（2）甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则．
【答案】（1）解：画树状图如下，
由树状图得共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果，
∴的结果为0的概率是；
（2）解：由树状图得共有12种的等可能结果，其中共有2种等可能结果，所以甲胜的概率为；共有4种等可能结果，所以乙胜的概率为；∵
∴游戏规则不公平；
公平的游戏规则为：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．
此时甲胜和乙胜的概率都是，
∴此游戏规则公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）画树状图得到所有的等可能结果数，找出符合条件的结果数，利用概率公式解题即可；
（2）分别计算出甲胜和乙胜的概率，然后作比较确定据游戏公平性；然后给出使得甲胜和乙胜概率相同的游戏规则即可．
21．（2024九上·缙云期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题．
（1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
（2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用）
【答案】（1）解：正八边形的外角，
∴正八边形的内角；
（2）解：如图中，连接，，过点作于点．
∵，，
∴，，由题意得，
∴（，
∵，
∴这个托盘适用于此八角花盆．
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；垂径定理的实际应用；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）求出正八边形的外角，根据内角和外角互补解题即可；
（）连接，，过点作于点，求出正八边形的所在圆的半径OA长，和托盘的半径作比较解题即可．
22．（2024九上·缙云期末）在矩形中，点是的中点，连接．是线段上一点，的延长线交于点．
（1）如图，若，且．
求证：点是的中点；
（2）如图，若，当时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴即，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到是正方形，即可得到，，再推导出，可得，即可解题；
（2）延长交的延长线于点，根据，可得，即可得到，进而求出，然后得到，同理可得，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
23．（2024九上·缙云期末）已知，二次函数（为常数）．
（1）若，判断点是否在此函数的图象上；
（2）若此函数图象经过点，求的值；
（3）若此函数图象经过点，，求证：．
【答案】（1）解：把代入二次函数（是常数）得，当时，，
∴时，点在此函数的图象上；
（2）解：把代入得
，
解得或；
（3）解：点，在上，∴对称轴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
即．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（）把代入解析式得，直接把x=-1代入求出函数值判断即可；
（）把代入函数关系式，解关于的方程即可解题．
（）利用对称轴公式得到对称轴为直线，根据对称性得到，把代入二次函数，得到c关于m的二次函数，利用二次函数的最值解题即可．
24．（2024九上·缙云期末）小施在复习浙教版教材九上第页第题后，进行变式与探究：
等腰三角形中，点是底边上的动点，以为圆心，为半径作圆，交于点．已知，．
（1）【基础变式】
如图，当点是中点时，交于点，连结．求证：．
（2）【拓展探究】
如图，作点关于直线的对称点，射线交于点，连结，，．
①求的值；
②判断与的位置关系，并说明理由；
③当点在什么位置时，点恰好落在的延长线上？
【答案】（1）解：∵等腰三角形中，点是底边上的动点，点是中点
∴，，
∴，
∴点在上，
∴四边形内接于，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①过点作于点，
∵，
∴，
由设，，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵点关于直线的对称是点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
③连接，过点作于点，
∵，，
∴，
∵点关于直线的对称是点，点恰好落在的延长线上．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，点恰好落在的延长线上．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到，，然后根据圆内接四边形的对角互补可得，即可得到，再根据等角的补角相等解题；
（2）①过点作于点，可得，然后根据，设，，利用勾股定理可得，进而求出，，然后推导得到，即可解题；
②得到，即可得到结论；
③连接，过点作于点，根据三角函数得到，然后证明，即可得到，即可求出，根据勾股定理可以得到，
进而得到，解题即可．
