广东省东莞市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.两条平行直线√ 3 1 = 0与√ 3 +3 = 0间的距离为( )
A. 4 B. 2√ 3 C. 2 D. 1
2.已知 是等差数列{ }的前 项和，若 7 = 8，则 13 =( )
A. 52 B. 104 C. 208 D. 416
3.已知{ , , }为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是( )
A. + ， ， B. + ， + 2 ， 2
C. + ， + + ， D. + ， ，
4.已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为( )
2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + 2 = 1 C. + = 1 D. + = 1
8 4 2 2 4 4 2
5.一条光线从点 (0,4)射出，经 轴反射后，与圆 : 2 + 2 6 + 8 = 0相切于点 ，则光线从 到 经过
的路程为( )
A. 4 B. 5 C. 2√ 6 D. 2√ 11
6.在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为2的正方形， 为 的中心，侧棱 1 = 2，
∠ 1 = ∠ 1 = 60
，则 1 与 所成角为( )
A. 90 B. 60 C. 45 D. 30
7.已知圆 1 :
2 + 2 = 2( > 0)与曲线 : 2 + 22 = 2| | + 2| |恰有4个公共点，则 =( )
A. 2 B. 2√ 2 C. 2或2 + √ 2 D. 2或2√ 2
8.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形
垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，
下一层3个球，再下一层6个球， )，现有1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为( )(参
( +1)(2 +1)
考公式：12 + 22 + 32 + + 2 = )
6
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A. 21 B. 20 C. 19 D. 18
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程：( 1) 2 + (5 ) 2 = ( 1)(5 )(其中 为参数)，下列正确的有( )
A. 若 = 1，则方程表示 轴 B. 若 = 3，则方程表示圆
C. 若 < 1，则方程表示椭圆 D. 若 > 5，则方程表示双曲线
10.已知数列{ }各项均为正数，且满足 ( 1 + 2 + 3 + ) = 4，下列正确的有( )
A. 1 = 2 B. 2 < 2 C. { }为等比数列 D. { }为递减数列
11.在棱长为1的正方体 1 1 1 1中，点 满足 = + 1 ( , ∈ [0,1])，下列正确的有( )
A. 当 = 1时， 与 所成角为90
B. 当 = 1时，平面 与平面 所成角的最大值为60
C. 当 2 + 2 = 1时， 与平面 1 1所成角为45
√ 3
D. 当 + = 1时，点 到直线 距离的最小值为
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (2, 1, 3)， = (2, 2, )，且 ⊥ ，则 的值为 ．
13.已知两个等差数列2，6，10， ，118及2，8，14， ，116，将这两个等差数列的公共项按从小到大
的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
2 2 5
14.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过点 2作倾斜角为 的直线 与 的 6
左、右两支分别交于点 ， ，若线段 的垂直平分线经过点 1，则双曲线 的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在等比数列{ }中， 2 3 = 8， 1 + 4 = 9．
(1)求{ }的通项公式;
1
(2)若{ }为递增数列， = log2 + 1，求数列{ }的前 项和 ． +1
16.(本小题12分)
已知圆 经过点 (2,1)， (0, 1)，并且圆心 在 轴上．
(1)求圆 的方程;
(2)记过点 的直线 与圆 的另一个交点为点 ，当△ 的面积为4时，求直线 的方程．
17.(本小题12分)
如图，在四面体 中， ⊥平面 ，∠ = 90 ， = = = 4， 是 的中点， 是 的
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中点，点 在线段 上，且 = 3 ．
(1)证明： //平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系 中，直线 : 2 = 0与抛物线 : 2 = 2 ( > 0)交于 ， 两点．
(1)若| | = 2√ 10，求抛物线 的方程;
(2)已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．
①求 的取值范围;
②证明：以 为直径的圆过 ， 两点．
19.(本小题12分)
若 项数列{ }同时满足∑ ∑
=1 = 0， =1 | | = ( ∈ ).则称{ }为“ 阶0 数列”．
(1)若等比数列{ }为“6阶0 1数列”，写出{ }的各项;
(2)若等差数列{ }为“2 1阶0 数列”( ≥ 2且 ∈
， ∈ )，求{ }的通项公式(用 ， ， 表示);
(3)记“ 阶0 数列”{ }的前 项和为 ( = 1,2,3, , )，若存在 ∈ {1,2,3, , }，使 = ，判断数2
列{ }能否是“ 阶0 数列” 若是，求出所有这样的数列{ };若不是，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】560
14.【答案】√ 2
15.【答案】解：(1)设等比数列{ }的公比为 ，
2 3 = 8
2 3 = 8
由{ ，得{ 1 ，有 2 9 +8 = 0，解得 = 1 或 = 8，
1 + 4 = 9 3
1 1 1 1
1 + 1 = 9
当 1 = 1 时, = 2，故数列{ }的通项公式为 = 1 × 2
1 = 2 1 ;
1 1
当 1 4 1 = 8 时, = ，故数列{ }的通项公式为 = 8 × ( ) = 2 ; 2 2
(2)因为{ 1 }为递增数列，所以 = 2 ，
由 1 = log22 + 1 = ，
1 1 1 1
有 = = ，
+1 ( +1) +1
1 1 1 1 1 1
可得 = (1 ) + ( ) + + ( ) = 1 = ． 2 2 3 +1 +1 +1
16.【答案】解：(1)方法一：因为 (2,1)， (0, 1)，则 = 1，
且 的中点为(1,0)，
则 的垂直平分线的方程为 = ( 1) = +1，
因为圆心 在 上，令 = 0，得 = 1，即点 (0,1)，
又因为 = | | = 2，
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所以圆 : 2 + ( 1)2 = 4．
方法二：设圆心 (0, )
因为圆 经过点 (2,1)， (0, 1)，
所以| |2 = | |2，即22 + (1 )2 = ( + 1)2，
解得 = 1，即点 (0,1)，
又因为 = | | = 2，
所以圆 ; 2 + ( 1)2 = 4．
(2)1 .当直线 的斜率不存在时，此时 的方程为： = 0，
令 = 0，得( 1)2 = 4，所以 = 3或 1，即 (0,3)，
1
此时| | = 4，而点 (2,1)到 的距离为2，△ 的面积为 × 2 × 4 = 4满足要求，
2
所以 : = 0满足要求：
2 当直线 的斜率存在时，设为 ，则直线 的方程为： = 1．
2| 1|
点 (2,1)到 的距离 = ．
√ 2 1+
2
圆心 (0,1)到直线 的距离为 ，
√ 2 1+
2 4| |
所以| | = 2√ 4 ( )
2 =
√ 2 1+ √
2
1+
1 1 4| | 2| 1|
所以 △ = | | = ． = 4， 2 2 √ 2 √ 2 1+ 1+
化简得 2 +1 = | 2 |，解得 = 1，
所以直线 的方程为： = 1，即 + +1 = 0，
综上，直线 的方程为 = 0或 + + 1 = 0．
17.【答案】解：(1)证明：方法一：取 中点 ，连接 ， ．
因为 、 分别为 、 中点，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为 = = 2 ，所以 = 3 ，又 = 3 ，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，又 ∩ = ， ， 平面 ，所以平面 //平面 ，
又 平面 ，所以 //平面 ．
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方法二：取 中点 ，过点 作 // 交 于点 ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 // ．
1
因为 是 的中点，所以 = ．
4
1
又 = 3 ，所以 = ，
4
所以 // ，且 = ，即四边形 为平行四边形，
所以 // ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
方法三：以 为原点，直线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
依题意可得 (0,0,4)， (0,4,0)， (2,0,1)，
由
3
= ，得 (0,3,1)，所以 = ( 2,3,0)．
4
取平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
所以 = 0，即 ⊥ ．
因为 平面 ，
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所以 //平面 ．
(2)以 为原点，直线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
因为 = = = 4，
则 (4,0,0)， (0,4,0)， (0,0,4)， (0,0,2)， (2,0,1)，
由
3
= ，得 (0,3,1)，
4
设平面 的法向量为 = ( 1 , 1 , 1)，
· = 2 + = 0
则{ 1 1 ,
· = 3 1 + 1 = 0
令 1 = 6，则 1 = 3, 1 = 2，所以 = (3,2, 6)．
设平面 的法向量为 = ( 2, 2 , 2)，
· = 2 = 0
则{ 2 2 ,
· = 3 2 2 = 0
令 2 = 6，则 2 = 3, 2 = 2，所以 = (3,2,6)．
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设平面 与平面 夹角为 ，
| · | 23
则cos = |cos < , >| = =| || | ， 49
23
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
49
2 = 2
18.【答案】解：(1)设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，联立方程{ , 2 = 0
得： 2 2 4 = 0，
> 0
得{ 1 + 2 = 2 ,
1 2 = 4
| | = √ (1 + 12)[( 21 + 2) 4 1 2] = √ 2(4 2 + 16 ) = 2√ 10，
解得 = 1，所以抛物线 的方程为 2 = 2 ．
(2) ①依题意可知直线 垂直平分线段 ，
所以直线 的斜率为 1，设其方程为 = + ，
代入 2 = 2 中消去 可得到： 2 + 2 2 = 0( )，
设 ( 3 , 3)， ( 4 , 4)，
= 4 2 + 8 > 0
所以{ 3 + 4 = 2 ，
3 4 = 2
故 的中点 在直线 上，所以 (2 , )，
又因为 在直线 : = + 上，所以 = 2 2 ，
4
因为方程( )有两个相异实根，所以 = 4 2 +8 > 0，解得0 < < ，
3
4
故所求 的取值范围是(0, ).
3
②设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3 , 3)， ( 4 , 4)，
方法一： = ( 1 3 , 1 3)， = ( 2 3 , 2 3)，
则 = ( 1 3)( 2 3)+ ( 1 3)( 2 3)
= 23 (
2
1 + 2) 3 + 1 2 + 3 ( 1 + 2) 3 + 1 2，
因为 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 4 ，
2 2
所以 1 + 2 = 1 + 2 + 4 = 2 + 4，
1 2
1 2 = = 4， 4 2
则 = 23 +
2
3 (4 + 2 ) 3 2 3 4 +4，
又因为 3 = 3 + 2 2 ，
2 2
3 = 2 3即( 3 +2 2 ) = 2 3，
所以 = 2 23 + 2 3 (4 +2 ) 3 2 ( 3 + 2 2 ) 4 +4 =
2
3 + (2 4)
2
3 + 4( 1)
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= 23 + 4( 1) 3 + 4( 1)
2 2 3
= [ 3 + 2( 1)]
2 2 3 = 0，
所以 ⊥ ，即以 为直径的圆过点 ，同理可得以 为直径的圆过点 ，
方法二：以 为直径的圆为：( 1)( 2)+ ( 1)( 2) = 0，
即 2 ( 21 + 2) + 1 2 + ( 1 + 2) + 1 2 = 0，
+
由(1) { 1 2
= 2 + = 4 + 2
，因为 : 2 = 0，得{ 1 2 ，
1 2 = 4 1 2 = 4
所以代入方程 2 ( 21 + 2) + 1 2+ ( 1 + 2) + 1 2 = 0，
可化为： 2 + 2 (4 +2 ) 2 4 + 4 = 0，
即[ (2 + )]2 + ( )2 = 2 2 +8 ，
由线段 的中点 (2 , )，记以 为直径的圆的圆心为 (2+ , )，
所以| | = √ 4 2 + 4 2 = 2√ 2 ，
而| | = √ 1 + ( 1)2√ 4 2 +8 = 2√ 2√ 2 +2 (2 2 ) = 2√ 2√ 3 2 + 4 ，
| 2 |
所以| | = √ | |2 + ( ) = √ 8 2 + 8 6 2 = √ 2 2 +8 ，
2
所以以 为直径的圆过点 ，
由圆的对称性可知：以 为直径的圆过点 ．
19.【答案】解：(1)设 1， 2， 3， 4， 5， 6是公比为 的等比数列，由题意 ≠ 1，
(1 6)
则有 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0，即
1 = 0，解得 = 1，
1
1
又因为| 1| + | 2| + | 3|+ | 4| + | 5| + | 6| = 1，所以6| 1| = 1，解得 1 = ± ， 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以数列的各项为 ， ， ， ， ， 或 ， ， ， ， ， ．
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
(2)设等差数列 1， 2， 3， ， 2 1( ≥ 2)的公差为 ，
∵ 1 + 2 + 3 + + 2 1 = 0，
(2 2)(2 1)
∴ (2 1) 1 + = 0，即 + ( 1) = 0，∴ = 0， 2 1
∴ +1 = ，若 = 0，则与∑
2 1
=1 | | = 矛盾，
当 > 0时， +1 + +2 + +3 + + 2 1 = = ( 2 1 + 2 + + 1)，
( 1)( 2)
∴ ( 1) + = ，即 = ，
2 2 ( 1)
由 = 0，即 1 + ( 1) = 0，解得 = ， ( 1) 1
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( )
∴ = + ( 1) = ( ∈
, ∈ , ≤ 2 1)，
( 1) ( 1)
( 1)( 2)
当 < 0时，同理可得( 1) + = ， = ，
2 2 ( 1)
由 = 0，即 1 ( 1) = 0，解得 = ， ( 1) 1
( )
∴ = ( 1) = ( ∈ , ∈ ≤ 2 1)， ( 1) ( 1)
( )
综上，当 > 0时， = ( ∈ , ∈ , ≤ 2 1)， ( 1)
( )
当 < 0时， = ( ∈
, ∈ , ≤ 2 1)．
( 1)
(3)记 1， 2， ， 中非负项和为 ，负项和为 ，则 + = 0， = ，
解得 = ， = ，
2 2
所以 = ≤ ≤ = ，即| | ≤ ( = 1,2,3, , )， 2 2 2
若存在 ∈ {1,2,3, , }，使 = ， 2
可知 1 ≥ 0， 2 ≥ 0， ， ≥ 0， +1 ≤ 0， +2 ≤ 0， ， ≤ 0且 +1 + +2 + + = ．∴ 1 ≤2
≤ 时， ≥ 0， ≥ 0; + 1 ≤ ≤ 时， < 0， ≥ = 0．
∴ | 1| + | 2|+ | 3| + + | | = 1 + 2 + 3 + + ，
又 1 + 2 + 3 + + = 0与| 1| + | 2| + | 3|+ + | | = ( ∈ )不能同时成立，
所以数列{ }不为“ 阶0 数列”．
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