寒假知识巩固第13章分类讨论思想在等腰三角形中的应用练习题
底角或顶角不确定时的分类讨论
1．如果等腰三角形的一个外角是110°，那么它的顶角的度数为 ．
2．已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30°，点C在直线l上，若△ABC是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是 ．
底和腰不确定时的分类讨论
3．已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长．
4．用一条长为24cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？为什么？
三．遇到中线分周长时的分类讨论
5．如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长．
6．等腰三角形一腰上的中线把周长分为15厘米和6厘米两部分，求等腰三角形的底边长．
四．高的位置不确定时分类讨论
7．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，求该等腰三角形的顶角的度数．
五．与边的垂直平分线有关的分类讨论
8．如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
9．已知等腰△ABC中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为 ．
六．遇到动点、动线时的分类讨论
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形．
11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．
参考答案
1．解：∵一个外角为110°，
∴三角形的一个内角为70°，
当70°为顶角时，顶角为70°，
当70°为底角时，顶角为40°，
所以等腰三角形的顶角为70°或40°．
故答案为：70°或40°．
2．解：如图：
分三种情况：
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线l于点C1，C2，
∵∠BAC1＝30°，
∴∠BAC2＝180°﹣∠BAC1＝150°，
当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线l于点C3，
∴∠BAC3＝∠BC3A＝30°，
∴∠ABC3＝180°﹣∠BAC3﹣∠BC3A＝120°，
当C4A＝C4B时，作AB的垂直平分线，交直线l于点C4，
∴∠BAC4＝∠ABC4＝30°，
∴∠AC4B＝180°﹣∠BAC4﹣∠ABC4＝120°，
综上所述：若△ABC是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数是30°或150°或120°，
故答案为：30°或150°或120°．
3．解：①当8cm是腰长时，
∵另一边长为：9cm，
∴三角形的三条边分别为：8cm，8cm，9cm，
∵8+8＞9，
∴能组成三角形，
∴周长＝8+8+9＝25cm，
②当8cm为底边时，
三角形的三边分别为8cm，9cm，9cm，
∵8+9＞9，
∴能组成三角形，
∴周长＝8+9+9＝26cm，
综上所述，周长为25cm或者26cm．
4．解：（1）设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm，
由题意得：x+2x+2x＝24，
解得：x，
当x时，2x，
∴等腰三角形的各边长分别为：cm，cm，cm；
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形，
理由：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为5cm时，
∵等腰三角形的周长为24cm，
∴等腰三角形的底边长＝24﹣5﹣5＝14（cm），
∵5+5＝10＜14，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的底边长为5cm时，
∵等腰三角形的周长为24cm，
∴等腰三角形的腰长（cm），
∴等腰三角形的各边长分别为cm，cm，5cm；
综上所述：能围成有一边的长是5cm的等腰三角形．
5．解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，
∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴有两种情况：
1、当3x＝15，且x+y＝12，解得x＝5，y＝7，
∴三边长分别为10，10，7；
2、当x+y＝15且3x＝12时，解得x＝4，y＝11，
此时腰为8，
∴三边长分别为8，8，11；
故△ABC的三边的长为10，10，7或8，8，11．
6．解：设等腰三角形的腰长为2x，底边长为y．
第一种情况是：2x+x＝15，x+y＝6，
2x+x＝15，解得x＝5，
将x＝5代入x+y＝6，得5+y＝6，解得y＝1．
此时，三角形的三边长分别为10厘米、10厘米、1厘米．
第二种情况是：2x+x＝6，x+y＝15，
2x+x＝6，解得x＝2．
将x＝2代入x+y＝15，得2+y＝15，解得y＝13．
此时，三角形的三边长分别为4厘米、4厘米、13厘米．但是，由于4+4＜13，不满足三角形两边之和大于第三边，所以这种情况要舍去．
综上所述，等腰三角形的底边长为1厘米．
7．解：当为钝角三角形时．
①当为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝48°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°﹣48°＝42°，
∴三角形的顶角为42°；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝48°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°﹣48°＝42°，
∵∠BAD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝138°
∴三角形的顶角为138°，
∴该等腰三角形的顶角的度数为42°或138°．
8．解：分三种情况：如图：
当AP＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1，P2，
当CA＝CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，
当PA＝PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，
∵直线l是边AB的垂直平分线，
∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，
∴满足条件的点P的个数共有5个，
故选：C．
9．解：分两种情况：
当P在△ABC的内部，连接AP，如图1，
∵两腰的垂直平分线交于点P，
∴AP＝BP＝CP，
∴∠CAP＝∠ACP，∠BAP＝∠ABP，
∵∠BAC＝∠BAP+∠CAP，∠BPC＝100°，
∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠ABP＝2∠BAC，
∵∠BPC＝100°，
∴∠BPA+∠CPA＝360°﹣100°＝260°，
∵∠BPA+∠CPA+2∠BAC＝360°，
∴∠BAC＝50°；
当P在△ABC的外部，连接AP，如图2，
由题意得：AP＝BP＝CP，
∴∠PAC＝∠PCA，∠PBA＝∠PAB，
∴∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC＝2∠BAC，
∵∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC+∠BPC＝360°，
∵∠BPC＝100°，
∴2∠BAC＝360°﹣100°＝260°，
∴∠BAC＝130°，
则等腰三角形的顶角为50°或130°，
故答案为：50°或130°．
10．解：分两种情况：
当CQ＝CB时，如图：
∵CB＝CQ＝12cm，
∴t24（秒）；
当QC＝QB时，如图：
∵QC＝QB，
∴∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C+∠A＝90°，∠CBQ+∠QBA＝90°，
∴∠QBA＝∠A，
∴BQ＝QA，
∴CQ＝QAAC＝10（cm），
∴t22（秒）；
综上所述：当点Q在边CA上运动时，出发22或24秒后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形，
故答案为：22或24．
11．解：（1）△AOB为直角三角形，理由如下：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠OAC＝∠AOD＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
（2）△AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①DA＝DO时，∠OAD＝∠AOD＝30°，
∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；
②OA＝OD时，∠ODA＝∠OAD（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDO＝180°﹣75°＝105°；
③AD＝AO时，∠ADO＝∠AOD＝30°，
∴∠OAD＝120°＝∠BAC，点O与C重合，不合题意；
综上所述，∠BDO的度数为60°或105°．
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