2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，最小正周期为的偶函数是( )
A. B. C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.要得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A. 向左平移单位 B. 向右平移单位 C. 向右平移单位 D. 向左平移单位
6.已知，都是锐角，，，则( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知，，对于，恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 与终边相同的角的集合是
B.
C. 若，则为第一象限角
D. 扇形的半径为，圆心角弧度数为，则扇形面积为
10.已知函数，则( )
A.
B. 的最小正周期为
C. 的对称中心为
D. 在单调递增
11.函数在工程数学中称为正余弦双曲函数，因为它们的某些性质和正余弦函数类似而得名，则下列说法正确的是( )
A. 是奇函数，增函数 B. 是偶函数，最小值为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知，则______．
13.的值为______．
14.定义在上的奇函数，满足，当时，，则 ______，若方程在上有且只有个不同的根，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的定义域；
证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性不需证明；
若，求取值范围．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆的交点为．
求的值及；
求，；
已知，求．
17.本小题分
函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
求函数的最小正周期及单调递增区间；
求不等式的解集．
18.本小题分
已知函数
求函数的对称轴及对称中心；
若方程在上有两个解，求的范围；
将函数的图象上所有点向下平移个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象若，不等式成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
“凸凹性”是函数的重要性质若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数也称凹函数将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意，，恒有，若是下凸函数，则对任意，，恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式．
判断是上凸还是下凸函数？直接写出结论即可；
判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论；
已知锐角，，满足，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，，解得，
故定义域为；
，故为奇函数，
由于为单调递增，为单调递减，故为单调递增函数，
由可得，
由于为定义域内的单调递增函数，
故，解得，
故的范围为．
16.解：因为锐角的终边与单位圆的交点为，，
所以，，
所以，．
，．
因为，
所以，
因为，，
所以，，
又因为，
所以没有意义，
又，
所以．
17.解：由图知，，，
，，，
，
又时，，
，即，
，
解得，
，，
．
，
，
单调递增区间满足，，
即，，
即，，
单调递增区间为，．
，
，即，
，，
即，，
，，
不等式的解集为．
18.解：因为，
对称轴方程满足，解得，
对称中心横坐标满足：，解得，
所以对称中心为；
因为，所以，
因为，
当，即时，单调递增，
当，即，单调递减，
当或时，，
当时，，
所以方程在上有两个解，
所以；
因为函数的图象上所有点向下平移个单位得到曲线，
再将上的各点横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，
所以，
因为，不等式成立，
所以，
因为，所以，
当，即时，，
当时，令，
所以，即，即，
所以实数的取值范围．
19.解：是下凸函数．
在上是上凸函数，证明如下：
，，，
，
显然，，则，
因此，
函数在上是上凸函数．
由知，在上是上凸函数，
根据琴生不等式：，
，
当且仅当即时取到最大值．
第1页，共1页
