2025年数学寒假知识巩固练习题第12章全等三角形
复习范围：第12章全等三角形；考试时间：60分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题）
1．如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，∠D＝35°，则∠E＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．无法计算
2．如图，△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，且BC＝4，则△DBC的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
（1题图） （2题图） （5题图） （6题图）
3．嘉嘉、淇淇和笑笑在学习全等三角形时，关于“全等形”提出了三种不同的说法．
嘉嘉说：形状、大小相同的图形是全等形．
淇淇说：能够完全重合的图形是全等形．
笑笑说：各边都相等的图形是全等形．
他们的说法中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，已知△ABC的三条边和三个角六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC不全等的图形是（ ）
A．只有甲 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
5．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，点E，F分别为AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED＝FD．立杆在伸缩过程中，总有△AED≌△AFD，其判定依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
6．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝3，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
（7题图） （8题图） （9题图） （10题图）
二．填空题（共4小题）
9．三个全等三角形按如图的形式摆放，若∠1＝85°，则∠2+∠3＝ °．
10．如图，∠C＝∠D＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC．你添加的条件是 ．
11．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝ 度．
（11题图） （12题图）
12．如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 秒．
三．解答题（共10小题）
13．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB．
（1）求证：∠ABD＝∠CBD；
（2）设对角线AC，BD相交于点O．OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．请直接写出图中的所有全等三角形．
14．已知：点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．
15．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，DE⊥BC于点D，DF⊥AB于点F，∠AED＝155°，CE+CD＝BC．
（1）求证：△BFD≌△CDE；
（2）求∠EDF的度数．
16．如图所示，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，
（1）说明BD平分EF；
（2）AB与CD平行吗？若平行请说明理由．
17．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，取BD的中点P，连接OP，请证明AC＝2OP．
18．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
19．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
20．如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E．
（1）如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM．
（3）如图3，若△ABC周长为20，求BE的长．
21．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．
（1）求BO的长；
（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
22．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：∵△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，
∴∠ACB＝∠DCE＝100°，
∵∠D＝35°，∠E+∠DCE+∠D＝180°，
∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠D＝180°﹣100°﹣35°＝45°．
选：B．
2．解：∵△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，
∴△DOC的周长为10，OB＝OC，
∴△DBC的周长＝DO+OB+DC+BC
＝DO+OC+DC+BC
＝△DOC的周长+BC
＝10+4
＝14．
选：C．
3．解：形状、大小相同的图形是全等形，正确；
能够完全重合的图形是全等形，正确；
各边都相等的图形不一定是全等形，原表述错误；
选：C．
4．解：在△ABC中，边a、c的夹角为50°，
∴与乙图中的三角形满足SAS，可知两三角形全等，
在丙图中，由三角形内角和可求得另一个角为58°，且58°角和50°角的夹边为a，
∴△ABC和丙图中的三角形满足ASA，可知两三角形全等，
在甲图中，和△ABC满足的是SSA，可知两三角形不全等，
综上可知能和△ABC全等的是乙、丙，不全等的是甲，
选：A．
5．解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC，
∴AE＝AF，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS）．
选：B．
6．解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAC+∠BAC＝∠FAB+∠BAC，
即∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C，AC＝AB，AE＝AF，
①正确；
∵∠E＝90°，
∴AB＞BE，
∴AC＞BE，
③错误；
如图，连接AD，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∵ED⊥AE，FD⊥AF，
∴ED＝FD，
②正确；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（④正确）；
综上所述，正确的结论是①②④，共有3个．
选：C．
7．解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，
∴DF的长度不可能小于3，
∴DF的长度不可能是2.8，
选：A．
8．解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，AP为∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝1，
∴△ABD的面积为2．
选：A．
二．填空题（共4小题）
9．解：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠3+∠6+∠9+∠2+∠8+∠7＝540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠8＝180°，
∵∠5+∠7+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣85°＝95°．
答案为：95．
10．解：添加的条件是∠DAB＝∠CBA，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（AAS）．
答案为：∠DAB＝∠CBA（答案不唯一）．
11．解：如图所示：
∵∠BAC＝∠DAE，
∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4，
∴∠1＝∠4，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，
又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝115°，
∴∠ADB＝115°，
又∠ADB+∠3＝180°，
∴∠3＝65°，
答案为65．
12．解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8﹣4＝4，
∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8+4＝12，
∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；
③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，
点E的运动时间为16÷2＝8（秒），
答案为：2，6，8．
三．解答题（共10小题）
13．（1）证明：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD；
（2）∵AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BO＝BO，
∴△ABO≌△CBO（SAS）；
∴OA＝OC，
∵AD＝CD，OD＝OD，
∴△OAD≌△OCD（SSS）；
∵OE⊥AB，OF⊥CB，∠ABD＝∠CBD，
∴OE＝OF，∠AEO＝∠BEO＝∠BFO＝∠CFO＝90°，
∵OA＝OC，OB＝OB，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），Rt△BOE≌Rt△BOF（HL），
∴图中的所有全等三角形有：△ABO≌△CBO（SAS），△OAD≌△OCD（SSS），△OAE≌△OCF（HL），△EBO≌△FBO（HL）．
14．证明：∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠CFD＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）．
15．（1）证明：∵BD+CD＝BC，CE+CD＝BC，
∴BD＝CE，
∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠DFB＝∠EDC＝90°，
在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（AAS）；
（2）解：∵∠AED+∠CED＝180°，∠AED＝155°，
∴∠CED＝180°﹣∠AED＝25°，
∵△BFD≌△CDE，
∴∠BDF＝∠CED＝25°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∴∠EDF+∠BDF＝90°，
∴∠EDF＝90°﹣∠BDF＝65°．
16．解：（1）∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠DEC＝90°，
∵在Rt△BFA和Rt△DEC中，，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF＝DE，
∴在△BFG和△DEG中，，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG＝FG，
∴BD平分EF；
（2）AB与CD平行，
∵Rt△BFA≌Rt△DEC，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD．
17．证明：延长OP至E，使PE＝OP，
∵P为BD的中点，
∴BP＝PD，
在△BPE和△DPO中，
，
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE＝OD，∠E＝∠DOP，
∴BE∥OD，
∴∠EBO+∠BOD＝180°，
又∵∠BOD+∠AOC＝180°，
∴∠EBO＝∠AOC，
∵BE＝OD，OD＝OC，
∴BE＝OC，
在△EBO和△COA中，
，
∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE＝AC，
又∵OE＝2OP，
∴AC＝2OP．
18．证明：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足，
∵CF是∠BCE的平分线，
∴FP＝FM．
同理：FM＝FN．
∴FP＝FN．
∴点F在∠DAE的平分线上．
19．（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图：
∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠FAE＝∠CAD＝40°，
即CA为∠DAF的平分线，
又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∴点E在∠ADC的平分线上，
∴DE平分∠ADC；
（2）解：设EG＝x，
由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，
∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8，
∴AD EGCD EH＝15，
即：4x+8x＝30，
解得：x＝2.5，
∴EF＝x＝2.5，
∴S△ABEAB EF7×2.5．
20．（1）解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN，
∵∠BAC＝68°，
∴∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC＝68°，
∴∠DCN﹣∠CBD∠BAC68°＝34°，
∵∠BDC＝∠DCN﹣∠CBD，
∴∠BDC＝34°；
（2）证明：如图2，过点P作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴DP＝DE，DQ＝DE，
∴DP＝DQ，
∴AD平分∠CAM；
（3）解：如图2，由（2）知：DP＝DQ，
在Rt△ADQ和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL），
∴AP＝AQ，
同理得：BP＝BE，CQ＝CE，
∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝20，
∴AB+BC+AP+CE＝20，
∵AB+AP＝BC+CE，
∴BC+CE＝10，
即BE＝10．
21．解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，
∴∠ACD＝∠AOE，
∴∠BOD＝∠ACD．
又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，AD＝BD，
∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），
∴BO＝AC＝6．
（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，
∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．
②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，
∴t＝4t﹣6，解得t＝2．
综上，t＝1.2或2．
22．解：（1）△BPE与△CQP全等，
理由是：∵AB＝10厘米，点E为AB的中点，
∴BE＝5厘米，
∵根据题意知BP＝3，CQ＝3，CP＝8﹣3＝5，
即BP＝CQ，CP＝BE，
在△BPE和△CQP中，
，
∴△BPE≌△CQP（SAS）．
（2）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴要使△BPE与△CQP全等，只能CQ＝BE＝5，BP＝CPBC8＝4（厘米），
即运动的时间是4÷3（秒），
设Q运动的速度是x厘米/秒，
则x＝5，
x
即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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