2024-2025学年河南省郑州市中牟县高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.要得到函数的图象，需( )
A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变
B. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变
C. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度
D. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度
5.设，不等式恒成立的一个充分条件可以是( )
A. B. C. D.
6.已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若，，为自然对数的底数，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D. 若且，，，则
10.如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针做匀速圆周运动点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则( )
A. 在末，点的坐标为
B. 在末，点，在单位圆上第一次重合
C. 在末，扇形的弧长为
D. 面积的最大值为
11.已知是上不恒为零的函数，且，都有，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是奇函数
C. 若，则
D. 若当时，，则在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的最大值为______．
13.在中，已知，则角 ______．
14.设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：；
已知，求的值；
已知，，求，的值．
16.本小题分
对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．
求二次函数的不动点；
若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值；
若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围．
17.本小题分
已知，函数是奇函数．
求实数的值；
当时，判断函数的单调性，并用定义给出证明．
18.本小题分
已知函数．
求在上的单调递增区间；
若，，求的值；
请在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象不要求写作法；并根据图象求曲线和的交点个数．
19.本小题分
已知函数，．
对任意实数，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
求不等式的解集；
当时，求的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：原式．
．
因为，所以，
又，所以，，
则，．
16.解：由题意知，
即，则，
解得，，
所以不动点为和；
依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，
解得，
所以
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为；
由题知：，
所以，
由于函数恒有不动点，
所以，
即，
又因为是任意实数，所以，
即，解得，
所以的取值范围是．
17.解：因为是奇函数，所以，
即，
所以，
所以，
所以，即，解得舍去或；
函数在上单调递增，证明如下：，
令，设，且，
因为，所以，，，
则，
所以，即，所以，所以，
所以函数在上单调递减．
18.解：
，
令，
解得，
分别取，，得，，
所以在上的单调递增区间为，．
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以．
图象如图所示．
由图可知，与的图象在上共有个交点．
19.解：是定值，理由如下：
因为
，
所以为定值；
易知在上为递增函数，
又因为，
所以为奇函数，
所以，
即为，
所以，解得，
即不等式的解集为；
，
令，因为，所以，
则上式即为，，开口向下，对称轴为，
当时，函数在上单调递减，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
；
当时，函数在上单调递增，
；
所以．
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