一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在Rt△ABC中,如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（ ）
A．都扩大2倍 B．都缩小2倍 C．都不变 D．不能确定
2．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知为锐角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，若，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数是关于的二次函数，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．函数与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，先将抛物线作关于x轴的轴对称变换，再将所得的抛物线作关于y轴的轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的二次函数的图象的对称轴经过点，则关于的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．在函数，，，中，其图象是轴对称图形且对称轴是坐标轴的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知为锐角，且，则 ．
12．若，则锐角的余角是 ．
13．已知为锐角，且，则的值为 ．
14．在中，若不等式的解是，则 ．
15．一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是 m．
16．若二次函数的图象与轴相交，则的取值范围是 ．
17．若二次函数有最小值，则的值是 ．
18．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
三、解答题（共66分）
19．计算：．
20．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(x≤90)天的售价与销量的相关信息如右表．已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售价(元件) x+40 90
每天销量(件) 200-2x
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少
21．如图所示，李庄计划在山坡上的处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知到水池处的距离是，山坡的坡角，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程不能超过，否则无法抽取水池中的水，试问水泵站能否建在处？（吸水扬程是指抽水泵将水从低处送到高处的垂直高度，参考数据：）
22．. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为．（如图）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据）
23．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
24．如图，已知二次函数的图象的顶点为点，二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．
(1)求点与点的坐标；
(2)当四边形为菱形时，求函数的表达式．
《阶段综合测试卷(二)（第一章~第二章）-2024~2025学年-九年级全一册数学（北师大版）》参考答案：
1．C
【详解】∵Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，
∴扩大后形成的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的正弦与余弦的比值不变，
故选C．
【点睛】本题产要考查相似及锐角三角函数，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角的边长无关.
2．C
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，首先根据三角形在网格纸中的位置可以得到、、，根据勾股定理可以得到，再根据正弦定义求出即可．
【详解】解：如下图所示，
由网格可知、、，
，
，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向，与轴交点的判定方法是解题的关键．
根据抛物线在轴的下方，则开口向下，抛物线与无交点，即，由此即可求解．
【详解】解：∵抛物线在轴的下方，
∴抛物线的开口向下，且与无交点，
∴，
故选：A ．
4．A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键．
先求出然后计算的值．
【详解】解：，
∴，
∵是锐角，
∴，
∴．
故选：A ．
5．C
【分析】本题考查了解直角三角形，构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是正确解决本题的关键．
作于，在和中，可将和用含的函数式表示出来，再根据的长可将点到的距离即的长求出．
【详解】解：作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选： C．
6．A
【分析】本题主要考查二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握解二次函数的定义是解题关键．由二次函数的定义列出关于的一元二次方程和不等式，解方程与不等式即可．
【详解】解：函数是关于的二次函数，
，且，
解得：，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查的是一次函数、二次函数的图象的知识，掌握一次函数、二次函数的图象与系数的关系是解题的关键，注意分类讨论思想的灵活运用．
由抛物线的图象可知时，直线中，，，时， 直线中，，，再判断一次函数图象的位置．
【详解】解∶当时，抛物线开口向上、顶点为原点，对称轴为y轴，在直线中，，，直线经过第一、三、四象限；
当时，抛物线开口向下、顶点为原点，对称轴为y轴，， 在直线中，，，且直线过点，直线经过第一、二、四象限，
故选∶B．
8．A
【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【详解】解：先将抛物线作关于x轴的轴对称变换，可得新抛物线为；再将所得的抛物线作关于y轴的轴对称变换，可得新抛物线为，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
9．D
【分析】本题考查了二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系．
确定抛物线的对称轴，求出b的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得抛物线的对称轴为直线，
则，
解得：，
关于的方程为，
解得，
故选： D．
10．D
【分析】解决本题的关键是准确掌握各种函数的图象特点．注意本题对称轴是坐标轴．利用轴对称图形的概念，掌握各种函数的图象特点即可解答．
【详解】解：①是轴对称图形，对称轴是这条直线的任意一条垂线；
②是轴对称图形，对称轴是；
③是轴对称图形，对称轴是y轴；
④是轴对称图形，对称轴是直线．
故选D．
11．1
【分析】本题主要考查特殊角三角形函数值，由得，可得．
【详解】解：∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：1．
12．##度
【分析】本题考查了特殊角的锐角三角函数的计算，余角的概念，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
根据可得，由余角的概念即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴锐角的余角是，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查了求锐角的三角函数值的方法，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．
根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可得到答案．
【详解】解：如图，在中，
根据题意得，设，则，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
14．##
【分析】本题考查了求锐角三角函数及解一元一次不等式，熟知锐角三角函数的定义及不等式的解法是正确解决本题的关键．
先根据不等式的解是求出进而可求．
【详解】解：如图，
在中，，
，
，
不等式的解是，，
，，
设，，
则，
，
故答案为：．
15．10
【分析】本题主要考查二次函数的应用，推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，（舍去），
故答案为：．
16．且
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键．根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且．
17．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可以得到且，由可得，再根据可得．
【详解】解：二次函数有最小值，
抛物线开口向上，二次项系数为正数，
，
解得：，
故答案为： ．
18．．
【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位．
∵原抛物线的顶点为（6，4），
∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为（，4），
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．
故答案为：
19．
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式
．
20．（1）；（2）商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
【分析】（1）分成1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用：利润=每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；
（2）结合(1)得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．
【详解】解：（1）当1≤x＜50时，y=(200-2x)(x+40-30)
=-2x2+180x+2000
=-（x-45）2+6050，
当50≤x≤90时，
y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000，
综上所述：；
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，理解利润的计算方法，理解利润=每件的利润×销售的件数是关键．
21．水泵站不能建在A处．理由见解析
【分析】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
本题问泵站是否能建在A处，其实是问的高度，如果就能，反之不能，那么直角三角形中，已知了的度数和的长，即可求出．
【详解】解：，，，
．
，
水泵站不能建在A处．
22．520米
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△PAC、△PBC，应利用其公共边PC构造等量关系，借助AB=AC-CB且PC=450；构造方程关系式，进而可求出答案．
【详解】解：根据题意得：∠A=30°，∠PBC=60°
所以∠APB=60°-30°，所以∠APB=∠A，
所以AB=PB
在Rt△BCP中，∠C=90°，∠PBC=60°，PC=450，
所以PB=＝＝300
所以AB=PB=300≈520（米）
答：A、B两个村庄间的距离520米．
23．（1）y＝；（2）5小时
【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），把D（5，b），则B（10，b－3）代入解方程组即可；
（2）由（1）可求得点B坐标，进而可得拱桥顶O到正常水位AB的距离，进而求出时间．
【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），
由CD＝10m，可设D（5，b），
由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，
则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得：，
；
（2）∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1m，
（小时），
所以再持续5小时到达拱桥顶．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用二次函数的性质解决问题．
24．(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质；
（1）将二次函数化为顶点式求得点的坐标，根据题意得出点和点关于直线对称，即可得出的坐标；
（2）根据菱形的性质可得点和点关于直线对称，求得点的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点．
∵二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．
∴二次函数的对称轴为：直线，
∴点和点关于直线对称，
∴点．
（2）因为四边形是菱形，所以点和点关于直线对称，
因此，点．
因为二次函数的图象经过点，，
所以
解得，
∴
