北京市房山区2024-2025学年高一（上）期末数学试题
本试卷共4页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则
（A）， （B），
（C） （D）
（3）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是
（A） （B） （C） （D）
（4）函数的零点个数是
（A） （B） （C） （D）
（5）供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是
（A）在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人
（B）在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人
（C）在这位居民中，月份人均用电量为度
（D）从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到居民人均用电量在一组的概率为
（6）已知向量，，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则
（A） （B）
（C） （D）
（8）若函数满足：对定义域内任意的，都有，则称函数具有性质.下列函数中不具有性质的是
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知函数且，那么下列命题中的假命题是
（A）若，则或
（B）若，且，则
（C）存在正数，使得函数恰有个零点
（D）不存在实数，使得函数恰有个零点
（10）已知函数且，给出下列四个结论:
①函数在其定义域内单调递减；
②函数的值域为；
③函数的图象是中心对称图形；
④函数的图象过定点.
其中正确结论的个数是
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）函数的定义域为_______.
（12）某单位共有名职工，其中岁以下的有人，—岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为_______.
（13）向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若 ，则=_______.
（14）若幂函数同时具有以下三个性质：①的定义域为；②是奇函数；③当时，.则的一个解析式是_______．
（16）已知函数 若，则_______；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是_______．
（16）据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘的第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到第个格子，国王欣然同意.通过计算，该发明者所要求的麦粒数为.你认为，，，四个数中与最接近的是_______．（参考数据：）
三、解答题共5小题，每小题14分，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题分）
甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目概率是，乙解出这道题目的概率是.
（Ⅰ）求甲、乙两人都解出这道题目的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率；
（Ⅲ）求这道题目被甲、乙两人解出的概率.
（18）（本小题分）
已知向量，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若向量满足，求向量；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求实数的值.
（19）（本小题分）
已知函数的定义域是．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）解关于的不等式．
（20）（本小题分）
随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）：
青年人 中年人 老年人
满意
一般
不满意
（Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率；
（Ⅱ）若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率；
（Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由．
（21）（本小题分）
已知函数的定义域为，对任意实数，都有，且当时，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）当时，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 （D） （B） （C） （D） （C） （A） （A） （B） （D） （B）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（11） （12） （13）
（14） （答案不唯一） （15）；
（16）填写或，得分；填写得分；填写，得分.
三、解答题（共5小题， 共70分）
解：（Ⅰ）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”，则
. ............4分
（Ⅱ）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”，则
. ............9分
（Ⅲ）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”，则
. ............14分
（18）（本小题满分分）
解：（Ⅰ）因为向量，，
所以.
所以. ............5分
（Ⅱ）因为，所以.
所以. ............9分
（Ⅲ）因为，由（Ⅱ）知，.
所以.
所以即 ............14分
（19）（本小题满分分）
解：（Ⅰ）因为函数的定义域是，
所以恒成立.
所以.
所以.
所以实数的取值范围为． ............7分
（Ⅱ）因为，
所以.
由（Ⅰ）知，，
所以，即，解得.
不等式的解集为. ............14分
(20) （本小题满分分）
解:（Ⅰ）所有参与调研的人共有人，不满意的人数是.
记事件“从所有参与调研的人中随机选取人，此人不满意”，则所求概率为
. ............4分
（Ⅱ）参与调研的青年人共有人，满意的是人.
记事件“从使用该款的青年人中随机选取人，此人满意”，
则的估计值为.
参与调研的中年人共有人，满意的是人.
记事件“从使用该款的中年人中随机选取人，此人满意”，
则的估计值为.
则从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，恰有人“满意”的概率估计为
............9分
（Ⅲ）这种抽样不合理.
理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为，满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各选取人不合理.合理的抽样方法是采用分层抽样，根据，，的具体数值来确定抽样数值. ............14分
(21)（本小题满分分）
解:（Ⅰ）因为函数的定义域为,对任意实数都有，
且当时，.
所以当，时，，即.
所以. ............4分
（Ⅱ）证明：因为当时，，所以.
即，由（Ⅰ）知，.
所以.
所以.
因为，所以.
所以. ............9分
（Ⅲ）任取，且，则
由已知条件及（Ⅰ），（Ⅱ）可知，.
又因为，所以.所以.
所以.所以.
所以.
所以函数的是上的减函数.
当时，不等式转化为.
因为函数的是上的减函数，
所以不等式转化为
即即
所以实数的取值范围是或. ............14分
