第18章 勾股定理 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．若直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，则另一条直角边长为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．7
2．下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝ B．a＝1，b＝，c＝2
C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝2，b＝2，c＝3
3．直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且三边长满足b2－a2＝c2，则互余的一对角是（ ）
A．∠A与∠B B．∠B与∠C
C．∠A与∠C D．以上都不正确
5．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)到原点的距离是（ ）
A. B. C. D．2
6．如图，直线l同侧有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画圆弧交边AB于点D.若AC＝3，BC＝4，则BD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别在AC，BC上，且DE∥AB.将△ABC沿DE折叠，使点C落在斜边AB上的点F处，则AF的长是（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4
10．如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，斜边BD的长是（ ）
A. B. C．a＋b D．a－b
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．请任意写出两组勾股数： ．
12．如图，OCBD为正方形，OC＝1，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是 .
13．如图，一只蚂蚁从正方体的下底面点A沿着侧面爬到上底面点B，正方体的棱长为3 cm，则蚂蚁所走过的最短路径长是 cm.
14．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AB＝6，CD＝10.
(1)OA2＋OB2＋OC2＋OD2＝ ；
(2)若BC＝8，则AD＝ .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，车高4 m(AC＝4 m)，货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2 m，求弯折点B与地面的距离．
16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知a，b，c满足＋＋(c－2)2＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
18．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港，求A，C两港之间的距离．(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD 1.3 m处，在距离鱼线1.2 m处D点的水下0.8 m的C处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2 m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才可能到达鱼饵处？
20．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：a2＋b2＝c2；
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(a＋b)2的值．
六、(本题满分12分)
21．如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝1，记△OA1A2面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3……，细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
①()2＋1＝2，S1＝；
②()2＋1＝3，S2＝；
③()2＋1＝4，S3＝；
…
(1)请写出第n个等式： ；
(2)根据式子规律，线段OA10＝ ；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S0的值．
七、(本题满分12分)
22．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN 的长．
八、(本题满分14分)
23．【问题背景】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设出发的时间为t(s)．
(1)【初步探究】出发2s后，求PQ的长；
(2)【理解探究】当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB能成为等腰三角形？
(3)【拓展探究】当点Q在边CA上运动时，求使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．第18章 勾股定理 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．若直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，则另一条直角边长为（C）
A．4 B．5 C．2 D．7
2．下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（D）
A．a＝1，b＝1，c＝ B．a＝1，b＝，c＝2
C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝2，b＝2，c＝3
3．直角三角形的三条边如果同时扩大3倍，则得到的三角形是（B）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且三边长满足b2－a2＝c2，则互余的一对角是（C）
A．∠A与∠B B．∠B与∠C
C．∠A与∠C D．以上都不正确
5．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)到原点的距离是（C）
A. B. C. D．2
6．如图，直线l同侧有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（C）
A．4 B．6 C．16 D．55
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画圆弧交边AB于点D.若AC＝3，BC＝4，则BD的长是（A）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的有（C）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别在AC，BC上，且DE∥AB.将△ABC沿DE折叠，使点C落在斜边AB上的点F处，则AF的长是（A）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4
10．如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，斜边BD的长是（B）
A. B. C．a＋b D．a－b
【解析】设直角三角形的短边长为y，长边长为x，则x＋y＝a，x－y＝b，4xy＝a2－b2.∴BD＝＝，即解．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．请任意写出两组勾股数：3，4，5；6，8，10(答案不唯一)．
12．如图，OCBD为正方形，OC＝1，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是－.
13．如图，一只蚂蚁从正方体的下底面点A沿着侧面爬到上底面点B，正方体的棱长为3 cm，则蚂蚁所走过的最短路径长是3cm.
14．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AB＝6，CD＝10.
(1)OA2＋OB2＋OC2＋OD2＝136；
(2)若BC＝8，则AD＝6.
【解析】AD2＋BC2＝AB2＋CD2＝OA2＋OB2＋OC2＋OD2.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，车高4 m(AC＝4 m)，货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2 m，求弯折点B与地面的距离．
解：由题意得AB＝A1B，∠BCA1＝90°，
设BC＝x m，则AB＝A1B＝(4－x)m，
在Rt△A1BC中，A1C2＋BC2＝A1B2，
即22＋x2＝(4－x)2，解得x＝，
答：弯折点B与地面的距离为 m.
16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，.
解：如图，△ABC即为所求．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知a，b，c满足＋＋(c－2)2＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
解：(1)∵a，b，c满足＋＋(c－2)2＝0，
∴a－2＝0，b－6＝0，c－2＝0，
∴a＝2，b＝6，c＝2.
(2)能，∵a＝2，b＝6，c＝2，
∴a2＝20，b2＝36，c2＝56，
∵20＋36＝56，
∴a，b，c为边能构成三角形，此三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为ab＝×2×6＝6.
18．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港，求A，C两港之间的距离．(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414)
解：由题意可得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，
∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，
∴∠ABQ＝30°，∴∠ABC＝90°.
∵AB＝BC＝10 km，
∴AC＝＝10≈14.1(km)．
答：A，C两港之间的距离为14.1 km.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD 1.3 m处，在距离鱼线1.2 m处D点的水下0.8 m的C处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2 m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才可能到达鱼饵处？
解：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC.
∵AB＝1.3 m，CD＝0.8 m，∴AE＝0.5 m.
∵BD＝1.2 m，∴CE＝1.2 m.
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，根据勾股定理得AC2＝CE2＋AE2，
∴AC＝1.3 m，1.3÷0.2＝6.5(s)．
答：这条鱼至少6.5 s后才可能到达鱼饵处．
20．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：a2＋b2＝c2；
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(a＋b)2的值．
解：(1)∵大正方形的面积为c2，
直角三角形的面积为ab，
小正方形的面积为(b－a)2，
∴c2＝4×ab＋(b－a)2＝2ab＋b2－2ab＋a2，即a2＋b2＝c2.
(2)由图可知(b－a)2＝3，4×ab＝13－3＝10，∴2ab＝10，
∴(a＋b)2＝(b－a)2＋4ab＝3＋2×10＝23.
六、(本题满分12分)
21．如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝1，记△OA1A2面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3……，细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
①()2＋1＝2，S1＝；
②()2＋1＝3，S2＝；
③()2＋1＝4，S3＝；
…
(1)请写出第n个等式：()2＋1＝n＋1，Sn＝；
(2)根据式子规律，线段OA10＝；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S0的值．
解：(3)由(1)中规律可得
S＋S＋S＋…＋S0＝×(1＋2＋…＋10)＝.
七、(本题满分12分)
22．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN 的长．
解：(1)是．
理由：∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．
(2)设BN＝x，则MN＝AB－AM－BN＝18－x.
①当MN为最长线段时，依题意得MN2＝AM2＋NB2，
即(18－x)2＝36＋x2，解得x＝8；
②当BN为最长线段时，依题意得BN2＝AM2＋MN2，
即x2＝36＋(18－x)2，解得x＝10.
综上所述，BN的长为8或10.
八、(本题满分14分)
23．【问题背景】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设出发的时间为t(s)．
(1)【初步探究】出发2s后，求PQ的长；
(2)【理解探究】当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB能成为等腰三角形？
(3)【拓展探究】当点Q在边CA上运动时，求使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
解：(1)根据题意，得BQ＝2×2＝4(cm)，
BP＝AB－AP＝16－2×1＝14(cm)．
∴在Rt△PBQ中，由勾股定理，得
PQ＝＝＝2(cm)．
(2)根据题意，得BQ＝2t cm，BP＝(16－t) cm.
∵△PBQ为等腰三角形，
∴BP＝BQ，即16－t＝2t，解得t＝.
故出发 s后，△PQB能成为等腰三角形．
(3)分三种情况：①当CQ＝BQ时，如答图①，则∠C＝∠CBQ.
∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ.
∴CQ＝AQ＝×＝10(cm)，
∴BC＋CQ＝12＋10＝22(cm)，
∴t＝22÷2＝11(s)；
②当CQ＝BC时，如答图②.
则BC＋CQ＝12＋12＝24(cm)，
∴t＝24÷2＝12(s)；
③当BC＝BQ时，如答图③.
过点B作BE⊥AC于点E，则CE＝EQ，
BE＝＝＝(cm)．
∴CE＝＝＝(cm)，
∴CQ＝2CE＝14.4(cm)．
∴BC＋CQ＝12＋14.4＝26.4(cm)，
∴t＝26.4÷2＝13.2(s)．
综上所述，使△BCQ为等腰三角形的运动时间为11 s，12 s或13.2 s.
