2024新人教版七年级数学上册线段与角专项复习练习题
【例1】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长．
【变式1-1】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）如图，点C在线段上，点D是的中点，如果，，求线段的长．
【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图，点B，D都在线段上，，点是线段的中点，，求的长．
【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则是否是定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
【例2】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．
(1)如果，，求的长；
(2)如果，求的长．
【变式2-1】（24-25七年级·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8．
(1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？
(2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由．
(3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，？
【变式2-2】（2024七年级·全国·专题练习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点；
①若点C恰为的中点，则；
②若，则；
（2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；
【变式2-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点．
(1)如图①，点B在线段上，，求的长；
(2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长．
【例3】（23-24七年级·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点．
(1)如果，，，则的长为___________；
(2)如果，，则的长为___________；
(3)如果，，求的长，并说明理由．
【变式3-1】（24-25七年级·广东江门·期中）已知线段，延长至点，使，反向延长线段至，使
(1)按题意画出图形，并求出的长；
(2)若、分别是、的中点，求的长．
【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知，点为线段的中点．
(1)如图1，若，点为线段的中点，则________；
(2)如图2，若点在线段上，且，求的值；
(3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系．
【变式3-3】（2024七年级·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且
(1)若，求的长．
(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．
(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
【例4】（23-24七年级·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分．
(1)若，则______，______．
(2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由．
(3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系．
【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．
(1)当射线都在内部，且时，如图1．
①若，则______；
②若射线平分，则______；
(2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：；
(3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）．
【变式4-2】（23-24七年级·安徽池州·期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；
（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；
（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【变式4-3】（23-24七年级·北京西城·期末）已知：，射线是平面内一条动射线，射线绕点O顺时针旋转得到射线，平分．
图1 图2
(1)如图1，当射线在外部时，若，求的度数；
(2)如图2，当射线、都在内部时，若，则 （用含的式子表示）；
(3)若平分，直接写出度数．
【例5】（23-24七年级·浙江·课后作业）已知∠ABC=∠DBE，射线BD在∠ABC的内部，按要求完成下列各小题．
尝试探究：如图1，已知∠ABC=90°，当BD是∠ABC的平分线时，∠ABE+∠DBC的度数为______；
初步应用：如图2，已知∠ABC=90°，若BD不是∠ABC的平分线，求∠ABE+∠DBC的度数；
拓展提升：如图3，若∠ABC=45°时，试判断∠ABE与∠DBC之间的数量关系，并说明理由．
【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，已知与互补．
(1)若，求的度数；
(2)若为的角平分线，射线在的内部，射线在的内部，且满足，探究与之间有什么样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
【变式5-2】（23-24七年级·广西崇左·期末）如图，一副三角尺与的直角顶点O重合在一起．
(1)_____________；
(2)试判断与的大小关系，并说明理由；
(3)若，为的平分线，求，，的度数．
【变式5-3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠ABC＝∠DBE，射线BD在∠ABC的内部．
（1）如图1，已知∠ABC═90°，当BD是∠ABC的平分线时，求∠ABE的度数．
（2）如图2，已知∠ABE与∠CBE互补，∠DBC：∠CBE＝1：3，求∠ABE的度数；
（3）如图3，若∠ABC＝45°时，直接写出∠ABE与∠DBC之间的数量关系．
【例6】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线．
【问题再现】
（1）若，为的二倍分线，且，求的度数；
【问题推广】
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．
①若，求的度数；
②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数．
【变式6-1】（23-24七年级·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数．
【变式6-2】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，点，，在一条直线上，，平分．
(1)若，求的余角的度数．
(2)若，求的度数（用含的式子表示）．
【变式6-3】（23-24七年级·山东滨州·期末）已知，在内部作射线，使得．
(1)如图，在内部作射线，使得；作射线平分，求的度数；
(2)如果过点作射线，使得，则的度数为______．（不需写演推过程）
【例7】（2024七年级·黑龙江·专题练习）如图，点是直线上的一点，，平分．
(1)试说明；
(2)求的度数．
【变式7-1】（23-24七年级·陕西西安·期末）如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数．
【变式7-2】（23-24七年级·甘肃武威·开学考试）如图，，，平分．求的度数．
【变式7-3】（23-24七年级·吉林·期末）已知，平分．
(1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案）
(2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由．
【例8】（2024七年级·全国·专题练习）已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数．
【变式8-1】（2024七年级·全国·专题练习）线段与角的计算．
(1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长；
(2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数．
【变式8-2】（2024七年级·全国·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
(1)如图①，，则_________；
(2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数．
【变式8-3】（2024七年级·全国·专题练习）将三角板的直角顶点O放置在直线上．
(1)如图，且，射线平分，则的大小为 ；
(2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数；
(3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ．
参考答案
【例1】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，
先根据题意设可设，，，即可表示，再根据中点的定义表示出，进而表示出，再结合的长列出方程，求出解，最后根据得出答案．
【详解】解：由B，C两点把线段分成三部分，可设，，，
所以．
因为M是的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
解得，
所以．
【变式1-1】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）如图，点C在线段上，点D是的中点，如果，，求线段的长．
【答案】
【分析】本题考查了中点的性质及线段的和差，根据图形得出线段之间的关系是解题的关键．
根据线段中点的性质，可求出，再根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴．
【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图，点B，D都在线段上，，点是线段的中点，，求的长．
【答案】21
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，先求出，再结合得出，即可得解．
【详解】解：因为，点是线段的中点，
所以．
因为，
所以，
所以．
【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则是否是定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】是定值，5
【分析】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可．
【详解】解：是定值．理由：设，则，
所以，所以．
因为点M为线段的中点．
所以，
所以，
所以．
【例2】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．
(1)如果，，求的长；
(2)如果，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了线段中点有关的计算．
（1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可；
（2）求出，，把代入求出即可．
【详解】（1）解：∵点M是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，，
∵，
∴．
【变式2-1】（24-25七年级·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8．
(1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？
(2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由．
(3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，？
【答案】(1)当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8
(2)线段的长度不发生变化，其值为5，理由见详解
(3)点所表示的数为或，
【分析】（1）设A、B两点移动的时间为，然后根据题意可分当点B在点A的右侧和左侧进行分类求解即可；
（2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案；
（3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数．
【详解】（1）解：设A、B两点移动的时间为，由题意可知后点A、B在数轴上所表示的数分别为，
当点B在点A的右侧时，则有，解得：；
当点B在点A的左侧时，则有，解得：；
综上所述：当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8；
（2）解：线段的长度不发生变化，其值为5．
∵M为的中点，N为的中点，
∴，
分下面两种情况：
①当点在、两点之间运动时（如图）．
；
②当点在点的左侧运动时（如图）．
．
综上所述，线段的长度不发生变化，其值为5．
（3）解：当点在、两点之间运动时，
∵，
∴，
又，
解得：，此时点所表示的数为；
当点在点的左侧运动时，
同理得：，
，
解得：．
此时点所表示的数为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
【变式2-2】（2024七年级·全国·专题练习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点；
①若点C恰为的中点，则；
②若，则；
（2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；
【答案】（1）①6；② 6；（2）
【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键．
（1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答；
（2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点，
∴,
∵D、E分别是、的中点,
∴,,
∴；
②∵，，
∴,
∵D、E分别是、的中点,
∴,,
∴，
故答案为：6，6；
（2）∵点D、E分别是、的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点．
(1)如图①，点B在线段上，，求的长；
(2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长．
【答案】(1)
(2)3或10
【分析】本题考查与线段中点有关的计算：
（1）根据中点的定义，推出，即可得解；
（2）根据中点的定义和线段的和差关系求出的长，分点在点P的右侧，点C在点A，P之间，点C在点A的左侧，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，，
所以．
因为，
所以．
（2）由题意，得，，
所以，
所以．
当点C在点P的右侧时，，即，解得；
当点C在点A，P之间时，，不符合题意；
当点C在点A的左侧时，，即，解得，
所以．
综上所述，CP的长为3或10．
【例3】（23-24七年级·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点．
(1)如果，，，则的长为___________；
(2)如果，，则的长为___________；
(3)如果，，求的长，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，见解析．
【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案；
（）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案；
（）根据（）的解题过程，即可解答；
此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式3-1】（24-25七年级·广东江门·期中）已知线段，延长至点，使，反向延长线段至，使
(1)按题意画出图形，并求出的长；
(2)若、分别是、的中点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了线段的和与差以及线段中点的意义，结合图形解题会变得形象直观．
（1）根据题意画出图形．可知，且；
（2）根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．
【详解】（1）解：画图如下：
∵，
∴
；
（2）如图：
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴．
【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知，点为线段的中点．
(1)如图1，若，点为线段的中点，则________；
(2)如图2，若点在线段上，且，求的值；
(3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系．
【答案】(1)3
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握中点的定义，数形结合．
（1）根据线段中点定义，数形结合，进行计算即可；
（2）分两种情况进行讨论：当点E在点D的左侧时，当点E在点D的右侧时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）分两种情况进行讨论：当点E在线段的延长线上时，当点E在线段上时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点为线段的中点，，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
故答案为：3．
（2）解：∵点为线段的中点，
∴，
设，则
当点E在点D的左侧时，如图所示：
∴，
∴，
∴；
当点E在点D的右侧时，如图所示：
∴，
∴，
∴；
综上分析可知，或．
（3）解：∵点为线段的中点，，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
当点E在线段的延长线上时，如图所示：
此时；
当点E在线段上时，如图所示：
此时．
综上分析可知，或．
【变式3-3】（2024七年级·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且
(1)若，求的长．
(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．
(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)或
(2)
(3)是，见解析
【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则．
（1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长；
（2）设，则，根据线段中点定义得， ， ，从而得，由此可得的长；
（3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，
，
解得：，
，
若，则有以下两种情况，
①当点C在点B的左侧时，如图1①所示：
，
，
；
②当点C在点B的右侧时，如图1②所示：
，
；
综上所述：线段的长为或．
（2）解：设，如图2所示：
，
∵点分别是线段的中点，
， ，
∴，
∴；
（3）解：为定值，理由如下：
设，
∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，
∴点C在线段上，
又∵点P在线段的延长线上，如图3所示：
∴，
∴，
∴．
∴为定值．
【例4】（23-24七年级·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分．
(1)若，则______，______．
(2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由．
(3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系．
【答案】(1)；
(2)；理由见解析
(3)不存在，此时，满足；理由见解析
【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义．
（1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可；
（2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案；
（3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵且，
∴，
即．
（3）解：不存在，此时，满足；理由如下：
∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，，
，
即，
故．
【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．
(1)当射线都在内部，且时，如图1．
①若，则______；
②若射线平分，则______；
(2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：；
(3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算：
（1）根据角平分线的定义可得，①根据题意可得，从而得到，即可求解；②根据射线平分，可得，进而得到，即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得，从而得到，，即可求证；
（3）根据，可得
，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：射线平分
，
①∵，，
，
，
，
∴，
故答案为：
②射线平分，
，
，
；
故答案为：
（2）解：射线平分，
，
，
∴，
；
（3）解：，
，
，
．
【变式4-2】（23-24七年级·安徽池州·期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；
（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；
（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）没有关系，，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线性质可求，根据即可解答；
（2）由题意可得进而求出；
（3）根据角平分线性质可得，进而求出．
【详解】（1）∵平分， 平分，
∴，，
∴，
；
（2），，，
，
；
（3）与的大小无关．理由：
，，
∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
，
即．
与的大小无关。
【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．
【变式4-3】（23-24七年级·北京西城·期末）已知：，射线是平面内一条动射线，射线绕点O顺时针旋转得到射线，平分．
图1 图2
(1)如图1，当射线在外部时，若，求的度数；
(2)如图2，当射线、都在内部时，若，则 （用含的式子表示）；
(3)若平分，直接写出度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查旋转的性质、角平分线的性质和角度和差的关系，
（1）根据旋转的性质，角平分线的定义以即可计算出结果．
（2）根据角平分线的定义和角的和差关系计算即可．
（3）分类讨论：当位于内部；当或位于内部；当和位于外部，利用旋转的性质、角平分线的性质和角度之间和差的关系即可求得．
【详解】（1）解：∵射线绕点O顺时针旋转得到射线
∴
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）∵
∴，
∵平分，
∴，
∴
（3）①当位于内部时，如图，
设，
∵射线绕点O顺时针旋转得到射线，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
则；
②当或位于内部时，如图，
设，则，，
∵平分，平分，
∴，，
则；
设，则，，
∵平分，平分，
∴，，
则；
③当和位于外部时，如图，
设，则，，
∵平分，平分，
∴，，
则；
故度数或．
【例5】（23-24七年级·浙江·课后作业）已知∠ABC=∠DBE，射线BD在∠ABC的内部，按要求完成下列各小题．
尝试探究：如图1，已知∠ABC=90°，当BD是∠ABC的平分线时，∠ABE+∠DBC的度数为______；
初步应用：如图2，已知∠ABC=90°，若BD不是∠ABC的平分线，求∠ABE+∠DBC的度数；
拓展提升：如图3，若∠ABC=45°时，试判断∠ABE与∠DBC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】180°; 180°; 90°.
【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直定义得∠CBE=45°，ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC；（2）由∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE可得；（3）由∠DBE=∠ABC=45°，得∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE.
【详解】尝试探究：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
所以∠DBC=45°，
因为∠DBE=∠ABC=90°，∠DBC+∠CBE=∠DBE
所以∠CBE=45°．
所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=90°+45°+45°=180°．
初步应用：因为∠DBE=∠ABC=90°，
所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC
=∠ABC+∠DBE=180°．
答：∠ABE+∠DBC的度数为180°．
拓展提升：∠ABE+∠DBC=90°．
理由：
因为∠DBE=∠ABC=45°，
所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC
=∠ABC+∠DBE=90°．
【点睛】考核知识点：角平分线定义.理解角的关系是关键.
【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，已知与互补．
(1)若，求的度数；
(2)若为的角平分线，射线在的内部，射线在的内部，且满足，探究与之间有什么样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)．理由见解析
【分析】（1）根据与互补，即可求解；
（2）设，，求得，利用角平分线的定义以及角的和差求得，，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵与互补，，
∴；
（2）解：．理由如下，
设，，
∴，，
∵为的角平分线，
∴，
∴，即，
，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，补角的意义，掌握角平分线的定义以及补角的定义是正确解答的前提．
【变式5-2】（23-24七年级·广西崇左·期末）如图，一副三角尺与的直角顶点O重合在一起．
(1)_____________；
(2)试判断与的大小关系，并说明理由；
(3)若，为的平分线，求，，的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)；；
【分析】（1）根据题意可得，从而得到，即可；
（2）根据，可得，即可；
（3）由（1）得：，再由，可得，可求出的度数，再由为的平分线，可得，然后根据；，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴；
故答案为：
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
即；
（3）解：由（1）得：，
∵，
∴，
解得：，
∴；
∵为的平分线，
∴，
∴；．
【点睛】本题考查余角与补角以及角平分线，根据题意得到是正确解答的前提．
【变式5-3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠ABC＝∠DBE，射线BD在∠ABC的内部．
（1）如图1，已知∠ABC═90°，当BD是∠ABC的平分线时，求∠ABE的度数．
（2）如图2，已知∠ABE与∠CBE互补，∠DBC：∠CBE＝1：3，求∠ABE的度数；
（3）如图3，若∠ABC＝45°时，直接写出∠ABE与∠DBC之间的数量关系．
【答案】（1）∠ABE＝135°；（2）∠ABE＝126°；（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由见解析.
【分析】（1）利用角平分线的性质，先求出∠DBC、∠CBE的度数，再计算∠ABE的度数；
（2）由已知条件得到∠ABD=∠CBE，设∠DBC=α，∠CBE=3α，得到∠ABD=3α，∠ABE=3α+α+3α=7α，根据题意列方程即可得到结论；
（3）把∠ABE+∠DBC转化为∠ABC+∠DBE，代入计算得出结论．
【详解】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝45°，
∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴∠CBE＝45°．
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+45°＝135°．
故答案为135°．
（2）∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵∠DBC：∠CBE＝1：3，
∴设∠DBC＝α，∠CBE＝3α，
∴∠ABD＝3α，∠ABE＝3α+α+3α＝7α，
∵∠ABE与∠CBE互补，
∴7α+3α＝180°，
∴α＝18°，
∴∠ABE＝126°；
（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由：
∵∠DBE＝∠ABC＝45°，
∴∠ABE+∠DBC＝∠ABC+∠CBE+∠DBC＝∠ABC+∠DBE＝90°．
【点睛】本题考查角的和差关系及角的相关计算．通过观察图形，把∠ABE+∠DBC转化为∠ABC+∠DBE是解决本题的关键．
【例6】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线．
【问题再现】
（1）若，为的二倍分线，且，求的度数；
【问题推广】
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．
①若，求的度数；
②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数．
【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3）
【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算．
（1）根据题意可得：，，进而得出答案；
（2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可；
②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案；
（3）设，则，根据题意得出，，列出方程，求得，，进而得出答案．
【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且，
所以，，
所以．
所以．
（2）①因为，分别为和的三倍分线（，），
所以，，
因为，
所以，
所以，，
所以，，
所以．
②不变．理由如下：
因为，分别为和的三倍分线，，，
所以，，
所以
；
（3）设，
因为，
所以，
因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以．
【变式6-1】（23-24七年级·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键．
【详解】解：平分，
∴，
又∵三等分，
∴，
∴，
∴．
【变式6-2】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，点，，在一条直线上，，平分．
(1)若，求的余角的度数．
(2)若，求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用与的倍数关系求出的度数，然后利用余角的定义求解即可；
（2）先计算出，的度数，然后利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴的余角的度数为
（2）解：∵，，
∴，，
又平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，余角的定义等知识，正确识图，找准角的有关关系是解题的关键．
【变式6-3】（23-24七年级·山东滨州·期末）已知，在内部作射线，使得．
(1)如图，在内部作射线，使得；作射线平分，求的度数；
(2)如果过点作射线，使得，则的度数为______．（不需写演推过程）
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意可求出．再根据和平分，可求出，，进而可求出；
（2）分类讨论：当在内部时，设，则，由，可列出关于x的方程，解出x的值，即得出的大小，最后由计算即可；②当在外部时，设，则，由，可列出关于y的方程，解出y的值，即得出的大小，最后由计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
（2）分类讨论：①如图，当在内部时，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
∵，
∴；
②如图，当在外部时，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，角的n等分点的有关计算，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
【例7】（2024七年级·黑龙江·专题练习）如图，点是直线上的一点，，平分．
(1)试说明；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查余角、补角，角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示中角度的关系，掌握余角、补角的计算是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等即可求解；
（2）根据角平分线的性质，同角的余角相等可得，，则，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式7-1】（23-24七年级·陕西西安·期末）如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算．先根据角平分线的定义得出，，再根据，算出，根据，得出，根据求出结果即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式7-2】（23-24七年级·甘肃武威·开学考试）如图，，，平分．求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，先根据角平分线定义得出，再根据角度间的数量关系，求出结果即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴．
【变式7-3】（23-24七年级·吉林·期末）已知，平分．
(1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案）
(2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）先根据角之间的关系得到，再由角平分线的定义得到，则；
（2）仿照（1）求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【例8】（2024七年级·全国·专题练习）已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数．
【答案】或
【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质，理解题意作图分析，掌握角平分线的性质计算角度的方法是解题的关键．
根据题意作图，分类讨论：当在外部时，可得，则，，由平分，即可求解；当在内部时，，则，由平分，即可求解．
【详解】解：第一种情况，如答图①，
∵平分，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴；
第二种情况，如答图②，
∵平分，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴；
综上所述，的度数是或．
【变式8-1】（2024七年级·全国·专题练习）线段与角的计算．
(1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长；
(2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义，熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由线段的中点得出，，再由计算即可得解；
（2）设，，，则，由角平分线的定义得出，，求出，结合，得出，求解即可．
【详解】（1）解：因为D，E分别是和的中点，
所以，．
因为，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以．
（2）解：设，，，则．
因为平分，平分，
所以，，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
【变式8-2】（2024七年级·全国·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
(1)如图①，，则_________；
(2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解；
（2）同理（1）即可求得．
【详解】（1）解： 平分，平分，
，
，
，
，
；
（2）解：同理（1）得：，
，
．
【变式8-3】（2024七年级·全国·专题练习）将三角板的直角顶点O放置在直线上．
(1)如图，且，射线平分，则的大小为 ；
(2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数；
(3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角，周角的定义是正确解答的前提，注意分类讨论，避免漏接；
（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案；
（3）分两种情况讨论，射线与线段不相交和射线与线段相交，再根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
平分，
，
；
（3）解：或，理由如下：
当射线与线段不相交时，如图：
射线平分，射线平分，
，
，
当射线与线段相交时，如图：
射线平分，射线平分，
，
，
，
故答案为：或．
