第19章 四边形 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列性质中，平行四边形不一定具有的是（C）
A．内角和为360° B．邻角互补
C．邻边相等 D．对角相等
2．如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2.若S△CEF＝5，则S△ABD的值为（C）
A．2 B．4 C．5 D．10
3．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3.若要使 ABCD为矩形，则OB的长度为（B）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．只用下列图形不能进行平面镶嵌的是（C）
A．全等的三角形 B．全等的四边形
C．全等的正五边形 D．全等的正六边形
5．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC的度数为（C）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（B）
A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF
7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（A）
A．2 B．2 C．3 D．3
8．如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是（A）
A．65° B．55° C．70° D．75°
9．定义：点P是四边形ABCD内一点，若△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，则称点P是四边形ABCD的一个“准中心”．如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，且△PBC为等边三角形，则点P是正方形ABCD的一个“准中心”．通过观察，我们发现正方形的“准中心”不唯一，如图的正方形ABCD的“准中心”的个数为（C）
A．2 B．4 C．5 D．无数
【解析】正方形的中心是它的一个“准中心”，将图中的点P绕正方形的中心旋转90°，旋转三次，可得另外三个准中心．
10．如图，在△BCP 中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（D）
A. B．6 C．6 D．2＋4
【解析】将△ABP绕点B逆时针旋转90°，得△BCE，连接PE，则PE＝BP＝2，EC≤PE＋PC＝2＋4.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，那么图中α的度数是30°.
12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线DP折叠，点A恰好落在对角线BD上的点A′处，若∠BDC＝38°，则∠DPA′＝64°.
13．如图，△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件，使四边形BECF是菱形，这个条件是③(选填序号)．
14．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°.
(1)∠AEB＝60°；
(2)若△AEF的面积为1，则AB的值是.
【解析】△ABE≌△ADF；过点E作EH⊥AF于H，则BE＝EH＝AE＝AF，由面积得BE＝1，AE＝2.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，用三种正多边形A，B，C镶嵌地面，请通过计算求出正多边形B的边数．
解：设正多边形B的内角度数为α°，边数为n，则
解得
∴正多边形B的边数是12.
16．如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB.
∵BE＝AB，∴BE＝CD.∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝90°.∴四边形BECD是矩形．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，在AB上截取BF＝AE，求证：EF＝BD.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠BAD，
∴∠EDA＝∠CAD，∴AE＝DE.
∵BF＝AE，∴BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴EF＝BD.
18．用无刻度的直尺按要求作图(请保留作图痕迹，不写作法)．
(1)如图①，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请在图中画出∠AOB的平分线；
(2)如图②，在8×6的正方形网格中，请画出一个与△ABC面积相等，且以BC为边，各顶点均在格点上的平行四边形．
解：(1)如图①，射线OP即为所求．
(2)如图②，平行四边形BCMN即为所求(答案不唯一)．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积为2，求△CFO的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)解：设△ABE的面积为S1，△AEO的面积为S2，由(1)得
BE＝2OE.∴＝＝2，又∵S1＝2，∴S2＝1.
由(1)知，△CFO的面积等于△AEO的面积，
∴△CFO的面积为1.
20．如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
证明：∵D是AC的中点，∴AD＝DC.
又∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴ AECF是菱形，即四边形AECF是菱形．
(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
解：过点A作AG⊥BC于点G，由(1)知四边形AECF是菱形，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，∴∠AEB＝∠FAE＝60°.
又∵AG⊥BC，∴∠GAE＝30°，∴GE＝AE＝1，
∴AG＝＝＝.
又∵∠B＝45°，∴∠GAB＝45°＝∠B，∴BG＝AG＝，
∴AB＝＝.
六、(本题满分12分)
21．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OB＝OC.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)已知AM为射线，过点C作CP⊥射线AM于点P，连接PO，PD.请补全图形，判断∠OPD与∠ODP的数量关系，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD.
∵OB＝OC，∴AO＝OD＝OC＝OB.
∴AO＋OC＝OB＋OD.∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：补全图形如图所示，∠OPD＝∠ODP.
理由：∵CP⊥AM，∴∠CPA＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝OD.
∴OP＝AC＝AO.∴OP＝OD.∴∠OPD＝∠ODP.
七、(本题满分12分)
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：四边形DECF为正方形；
证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，∴DF∥EC，
∴∠FDC＝∠ECD，
∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠ECD，∴∠FDC＝∠FCD，
∴DF＝CF，∴四边形DECF是正方形．
(2)若AC＝6，BC＝8，求四边形DECF的边长．
解：用面积法易得DF＝FC＝CE＝DE＝.
八、(本题满分14分)
23．【问题背景】如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，DE⊥AF.
【证明探究】
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，判断△AHF的形状，并说明理由．
【类比迁移】如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【证明探究】(1)证明：设DE⊥AF于点G，∵四边形是ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BAF＋∠DAF＝90°.
又∵DE⊥AF，
∴∠AGD＝90°，∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.
又∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF(AAS)，∴AD＝AB，
∴矩形ABCD是正方形．
(2)解：△AHF是等腰三角形，
理由：由(1)知△ADE≌△BAF，∴BF＝AE＝BH.
又∵∠ABF＝90°，∴AB垂直平分线段HF，∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形．
【类比迁移】延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD，∴∠ABH＝∠BAD.
又∵BH＝AE，∴△DAE≌△ABH(SAS)，
∴AH＝DE＝AF，∠AHB＝∠DEA＝60°，∴△AHF是等边三角形，
∴DE＝AH＝HF＝HB＋BF＝6＋2＝8.第19章 四边形 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．内角和为360° B．邻角互补
C．邻边相等 D．对角相等
2．如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2.若S△CEF＝5，则S△ABD的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
3．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3.若要使 ABCD为矩形，则OB的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．只用下列图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．全等的三角形 B．全等的四边形
C．全等的正五边形 D．全等的正六边形
5．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF
7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
8．如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是（ ）
A．65° B．55° C．70° D．75°
9．定义：点P是四边形ABCD内一点，若△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，则称点P是四边形ABCD的一个“准中心”．如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，且△PBC为等边三角形，则点P是正方形ABCD的一个“准中心”．通过观察，我们发现正方形的“准中心”不唯一，如图的正方形ABCD的“准中心”的个数为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．无数
10．如图，在△BCP 中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（ ）
A. B．6 C．6 D．2＋4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，那么图中α的度数是 .
12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线DP折叠，点A恰好落在对角线BD上的点A′处，若∠BDC＝38°，则∠DPA′＝ .
13．如图，△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件，使四边形BECF是菱形，这个条件是 (选填序号)．
14．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°.
(1)∠AEB＝ ；
(2)若△AEF的面积为1，则AB的值是 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，用三种正多边形A，B，C镶嵌地面，请通过计算求出正多边形B的边数．
16．如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，在AB上截取BF＝AE，求证：EF＝BD.
18．用无刻度的直尺按要求作图(请保留作图痕迹，不写作法)．
(1)如图①，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请在图中画出∠AOB的平分线；
(2)如图②，在8×6的正方形网格中，请画出一个与△ABC面积相等，且以BC为边，各顶点均在格点上的平行四边形．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积为2，求△CFO的面积．
20．如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
六、(本题满分12分)
21．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OB＝OC.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)已知AM为射线，过点C作CP⊥射线AM于点P，连接PO，PD.请补全图形，判断∠OPD与∠ODP的数量关系，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
(2)解：补全图形如图所示，∠OPD＝∠ODP.
七、(本题满分12分)
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：四边形DECF为正方形；
(2)若AC＝6，BC＝8，求四边形DECF的边长．
八、(本题满分14分)
23．【问题背景】如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，DE⊥AF.
【证明探究】
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，判断△AHF的形状，并说明理由．
【类比迁移】如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
