八年级数学下册期中质量评价（练习卷）
(考试时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1.化简的结果是（ ）
A．2 B．2 C．－2 D．±2
2．下列各式中计算正确的是（ ）
A.＋＝ B．4－3＝1
C.×＝ D.÷2＝
3．若3，4，a为勾股数，则a的值为（ ）
A. B．5 C．5或7 D．5或
4．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，则b的值为（ ）
A．4 B．－4 C．3 D．－3
5．若方程x2－8x＋m＝0可通过配方法写成(x－n)2＝6的形式，那么x2＋8x＋m＝5可配成（ ）
A．(x－n＋5)2＝1 B．(x＋n)2＝1
C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝11
6．一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了．请帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（ ）
A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11
7．某企业2024年1月份产值1千万，2024年第一季度总产值5千万，若该企业2024年第一季度月产值的平均增长率为x，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1＋x＝5 B．(1＋x)2＝5
C．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝5 D．1＋(1＋x)2＝5
8．如图，在平面直角坐标系中，A(－1，0)，B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标介于（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
9．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8＋5 D．14＋
10．若关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，则以a，b，c为三边的三角形是（ ）
A．以b为斜边的直角三角形 B．以c为底边的等腰三角形
C．以b为底边的等腰三角形 D．以a为斜边的直角三角形
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．直角三角形斜边长是6，一直角边的长是5，则此直角三角形的另一个直角边长为 .
12．已知y＝＋＋，则的值为 .
13．如图的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
14．若关于x的一元二次方程x2－2(2－k)x＋k2＋8＝0有实数根α，β.
(1)实数k的取值范围为 ；
(2)设t＝，则t的最小值是 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．(1)计算：－＋；
(2)解方程：5x(x＋1)＝3(x2＋2)．
16．已知关于x的方程2x2＋kx－4＝0，若方程的一个根是－4，求方程y2＋ky－8＝0的根．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每小格的顶点叫格点．
(1)计算：图①中直角三角形斜边上的高；
(2)以格点为顶点，能作出边长分别是3，2，的三角形吗？若能，请在图②中作出来．
18．设关于x的一元二次方程x2＋2px＋1＝0有两个实数根，一个根大于1，另一个根小于1，试求p的取值范围．
两名同学通过探索提出自己的部分想法如下：
甲：求p的取值范围，只需要考虑判别式大于0即可．
乙：设两根为x1，x2，由题意得(x2－1)(x1－1)<0，根据根与系数的关系可得p的取值范围．
请综合参考甲、乙两人的想法，解决上述问题．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元．为了合理定价，现将该工艺品投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过75元．
(1)若销售单价为70元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种工艺品盈利1 350元，每件工艺品的售价应为多少元？
20．写作业时，小明被一道题难住了：“若a＝，求a2＋6a－27的值．”老师给予了必要的方法提示：不宜直接代入计算，需要先化简已知式，如a＝.
∵a＝＝＝2－，
∴a－2＝－…
请根据老师的提示，解决下列问题：
(1)计算：＝ ；
(2)若a＝，求a2＋6a－27的值．
六、(本题满分12分)
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”又到了放风筝的最佳时节．如图，某校八(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15 m；②根据手中剩余线的长计算出风筝线BC的长为25 m；③牵线放风筝的小明的身高为1.6 m.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12 m，那么他应该往回收线多少米？
七、(本题满分12分)
22．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi(a，b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似．
例如：解方程x2＝－1，解得x1＝i，x2＝－i.
同样我们也可以化简＝＝＝2i.
读完这段文字，请解答以下问题：
(1)填空：i3＝ ，i4＝ ，i6＝ ，i2 024＝ ；
(2)在复数范围内解方程：(x－1)2＝－1；
(3)在复数范围内解方程：x2－4x＋8＝0.
八、(本题满分14分)
23．【问题背景】已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
(1)【探究猜想】如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则
Ⅰ)线段PB＝ ，PC＝ ；
Ⅱ)猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；
(2)【探究求证】如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请利用图乙给出证明过程．八年级数学下册期中质量评价（练习卷）
(考试时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1.化简的结果是（B）
A．2 B．2 C．－2 D．±2
2．下列各式中计算正确的是（C）
A.＋＝ B．4－3＝1
C.×＝ D.÷2＝
3．若3，4，a为勾股数，则a的值为（B）
A. B．5 C．5或7 D．5或
4．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，则b的值为（A）
A．4 B．－4 C．3 D．－3
5．若方程x2－8x＋m＝0可通过配方法写成(x－n)2＝6的形式，那么x2＋8x＋m＝5可配成（D）
A．(x－n＋5)2＝1 B．(x＋n)2＝1
C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝11
6．一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了．请帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（B）
A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11
【解析】底边的一半，底边上的高以及腰构成直角三角形．
7．某企业2024年1月份产值1千万，2024年第一季度总产值5千万，若该企业2024年第一季度月产值的平均增长率为x，则下列方程中符合题意的是（C）
A．1＋x＝5 B．(1＋x)2＝5
C．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝5 D．1＋(1＋x)2＝5
8．如图，在平面直角坐标系中，A(－1，0)，B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标介于（B）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
9．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（C）
A．14 B．16 C．8＋5 D．14＋
10．若关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，则以a，b，c为三边的三角形是（D）
A．以b为斜边的直角三角形 B．以c为底边的等腰三角形
C．以b为底边的等腰三角形 D．以a为斜边的直角三角形
【解析】由Δ＝0计算即得.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．直角三角形斜边长是6，一直角边的长是5，则此直角三角形的另一个直角边长为.
12．已知y＝＋＋，则的值为.
13．如图的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.
14．若关于x的一元二次方程x2－2(2－k)x＋k2＋8＝0有实数根α，β.
(1)实数k的取值范围为k≤－1；
(2)设t＝，则t的最小值是－6.
【解析】(1)Δ＝－16k－16≥0；(2)α＋β＝2(2－k)，将其代入t＝中可得出t＝－2，再根据(1)结论，即可求出t的最小值．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．(1)计算：－＋；
解：原式＝－2－＋＋
＝2－1.
(2)解方程：5x(x＋1)＝3(x2＋2)．
解：5x2＋5x＝3x2＋6，2x2＋5x－6＝0，
Δ＝25＋48＝73＞0，x＝，
∴x1＝，x2＝
16．已知关于x的方程2x2＋kx－4＝0，若方程的一个根是－4，求方程y2＋ky－8＝0的根．
解：设另一个根为x.根据根与系数的关系，得
解得
∴方程y2＋7y－8＝0，即(y＋8)(y－1)＝0，
∴y＋8＝0或y－1＝0，∴y1＝－8，y2＝1.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每小格的顶点叫格点．
(1)计算：图①中直角三角形斜边上的高；
(2)以格点为顶点，能作出边长分别是3，2，的三角形吗？若能，请在图②中作出来．
(1)设斜边上的高为h，
根据勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2，
∴AB＝＝
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·h，
∴×3×2＝×h.
解得h＝.
(2)能，作图如图②所示．
18．设关于x的一元二次方程x2＋2px＋1＝0有两个实数根，一个根大于1，另一个根小于1，试求p的取值范围．
两名同学通过探索提出自己的部分想法如下：
甲：求p的取值范围，只需要考虑判别式大于0即可．
乙：设两根为x1，x2，由题意得(x2－1)(x1－1)<0，根据根与系数的关系可得p的取值范围．
请综合参考甲、乙两人的想法，解决上述问题．
解：∵方程x2＋2px＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2p)2－4×1×1＝4p2－4>0，∴p>1或p<－1.
设方程的两根分别为x1，x2.由题意可得(x2－1)·(x1－1)<0.
∵x1＋x2＝－2p，x1·x2＝1，
∴(x2－1)(x1－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝2＋2p<0，解得p<－1.
综上所述，p的取值范围为p<－1.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元．为了合理定价，现将该工艺品投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过75元．
(1)若销售单价为70元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种工艺品盈利1 350元，每件工艺品的售价应为多少元？
解：(1)(70－40)×[100－2×(70－50)]＝1 800(元)．
答：当销售单价为每件70元时，每天的销售利润为1 800元．
(2)设每件工艺品的售价应为x元，则每件工艺品的销售利润为(x－40)元，每天的销售量为100－2(x－50)＝(200－2x)件，依题意得
(x－40)(200－2x)＝1 350，
整理得x2－140x＋4 675＝0，解得x1＝55，x2＝85(不合题意，舍去)．
答：每件工艺品的售价应为55元．
20．写作业时，小明被一道题难住了：“若a＝，求a2＋6a－27的值．”老师给予了必要的方法提示：不宜直接代入计算，需要先化简已知式，如a＝.
∵a＝＝＝2－，
∴a－2＝－…
请根据老师的提示，解决下列问题：
(1)计算：＝；
(2)若a＝，求a2＋6a－27的值．
解：(2)∵a＝＝＝－3，
∴a＋3＝，
∴a2＋6a－27＝(a＋3)2－36＝()2－36＝－26.
六、(本题满分12分)
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”又到了放风筝的最佳时节．如图，某校八(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15 m；②根据手中剩余线的长计算出风筝线BC的长为25 m；③牵线放风筝的小明的身高为1.6 m.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12 m，那么他应该往回收线多少米？
解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，得
CD2＝BC2－BD2＝252－152＝400，
∴CD＝20(负值已舍去)．∴CE＝21.6.
答：风筝的垂直高度CE为21.6 m.
(2)设风筝沿CD方向下降后到达M处，由题意知CM＝12，
∴DM＝8，∴BM＝＝＝17，
∴BC－BM＝25－17＝8(m)．
答：他应该往回收线8 m.
七、(本题满分12分)
22．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi(a，b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似．
例如：解方程x2＝－1，解得x1＝i，x2＝－i.
同样我们也可以化简＝＝＝2i.
读完这段文字，请解答以下问题：
(1)填空：i3＝－i，i4＝1，i6＝－1，i2 024＝1；
(2)在复数范围内解方程：(x－1)2＝－1；
(3)在复数范围内解方程：x2－4x＋8＝0.
解：(2)∵(x－1)2＝－1，∴(x－1)2＝i2，∴x－1＝±i，
∴x1＝1＋i，x2＝1－i.
(3)x2－4x＋8＝0，x2－4x＝－8，
x2－4x＋4＝－4，(x－2)2＝4i2，
∴x－2＝±2i，
解得x1＝2＋2i，x2＝2－2i.
八、(本题满分14分)
23．【问题背景】已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
(1)【探究猜想】如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则
Ⅰ)线段PB＝，PC＝2；
Ⅱ)猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为PA2＋PB2＝PQ2；
(2)【探究求证】如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请利用图乙给出证明过程．
(1)Ⅰ)解：如图①，连接BQ，易证
△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴BQ＝AP＝，∠CBQ＝45°，∠PBQ＝90°，
由勾股定理得AB＝＋，
∴PB＝，PQ＝2.∴PC＝2.
(2)解；成立．证明：过点C作CD⊥AB于点D.
∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB.
∵PA2＝(AD＋PD)2＝(DC＋PD)2＝DC2＋2DC·PD＋PD2，
PB2＝(PD－BD)2＝(PD－DC)2＝DC2－2DC·PD＋PD2，
∴PA2＋PB2＝2DC2＋2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2＝DC2＋PD2，
∴PA2＋PB2＝2PC2.
∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2＝PQ2.∴PA2＋PB2＝PQ2.
