2024 年秋高一(上)期末联合检测试卷
数 学
数学测试卷共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条
形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作
答。若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2． 命题“ x 0， x 1≥1”的否定是
A． x 0，x2 1 1 B 2． x≤0，x 1 1
C 2 2． x 0，x 1 1 D． x≤0，x 1 1
2． 已知集合 A {1， 4， 7， 10}， B {x | x 2k 1， k Z}，则 A B
A．{1， 4， 7} B．{1， 7} C．{4， 7} D．{7}
3 x． 函数 f (x) ln x 2 7的零点所在区间是
A． (1， 2) B． (2， 3) C． (3， 4) D． (4， 5)
7π
4． 在平面直角坐标系中，已知点 P(sin ， cos3) ，则点 P 在
4
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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5． 计算 lg 2 lg50 2log2 3
A． 2 B． 1 C．4 D．5
6． 已知定义在R 上的函数满足 f (3 x) f (x 1) 0，则 f ( 1) f (0) f (1) f (2) f (3)
A．2 B．1 C．0 D． 1
π
7． 已知函数 f (x) a sin x 2cos x的图象关于 x 对称，则 a
3
A．1 B．2 C． 3 D．2 3
8． 已知实数 x ， y ， z ，若 x 2y z 4，则 x y z y xz 的最大值为
A． 2 2 B．4 C． 4 2 D．8
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9． 已知a ，b Z， p ： a b 是奇数；q ： ab 是偶数，则下列命题为真命题的是
A．若 p ，则q B．若q ，则 p C．若 q ，则 p D．若 p ，则 q
π
10．已知函数 f (x) 2sin(2x ) ，则下列结论正确的是
6
A．函数 f (x) π π的初相为 B．函数 f (x) 在[0， ]上单调递增
6 3
π π
C．函数 f (x) 的图象关于 x 对称 D．函数 f (x) 的图象关于点 ( ， 0)对称
6 6
x
2 ，x≥0；
11．已知函数 f (x) 1 x 若方程 f (x) a有三个不同的根 x1，x2，x3，且 xx 1
x2 x3，则下
2 ，x 0且x 1. 1 x
列结论正确的是
A．0 a 1 B． x1 x3 0 2
C． x 21x2x3 1 2 D． x1 x1x2 x1x3 1
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12．函数 f (x) 1 x 的定义域为 ．
x 2
13．将函数 f (x) sin(x π ) 1图象上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 y g(x) 的图象，
6 2
g(π则 ) ．
3
14．已知 f (x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，且 f (x) g(x) ln(ex 1) ，则 f (x) 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
2 2
已知集合 P {x | 2a b 1 x a b 2}．
（1）证明：P ；
2
（2）当b 1时，设集合Q {x | x 3x 4 0}．若“ x P”是“ x Q ”的充分条件，求a 的取值范围．
16．（15 分）
x 2
一般地，函数 y a (a 0 ，且 a 1) 叫做指数函数．已知函数 f (x) (2a 5a 3)ax 是指数函数，且
f (1) f (2)．
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）已知函数 g(x) f (2x) 4 f (x) 3，求 g(x) 在 x [0， 2]上的值域．
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17．（15 分）
π
已知函数 f (x) 2sin( x )( 0， | | )， f (x1)≤ f (x)≤ f (x2 )恒成立，且 | x2 x1 |的最小值为2
π π
， f (x ) 为奇函数．
2 6
（1）求函数 f (x) 的解析式与单调增区间；
π
（2）若函数 y g(x) 的图象与函数 y f (x) 的图象关于原点对称，求 y g(x) 在[0， ]上的最大值和最
2
小值．
18．（17 分）
已知函数 f (x) log2 x ．
（1）若a 1，函数 g(x) f ( x a ) 是奇函数，
x 1
（i）求a 的值；
（ii）判断并证明 g(x) 的单调性；
1 2m
（2）若函数 y 与函数 y f (x) 交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2 )，若x1x2 y1y2 271， f (x) m
求m 的值．
19．（17 分）
已知函数 f (x) a sin(x π ) 2sin 2x（ a R ）．
4
（1）当a 1时，求 f (x) 的值域；
π
（2）若 f (x) 在[0， ]上单调递增，求 a 的取值范围；
4
（3）若 | f (x2 ) f (x1) |≤7 对任意 x1，x2 均成立，求 a 的取值范围．
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数学 参考答案
一、选择题
1~8 ABBC BCDB
8 题提示： (x y z)y xz y(x y) z(x y) (x y)(y z) ( x y y z )2 4
2
当且仅当 x y y z 2，等号成立．
二、选择题
9．AC 10．BC 11．ACD
11 题提示：A 选项：当 x 1时， f (x) 单调递增，且 f (x) (0, ) ；当 1 x 0时， f (x) 单调递增，且
f (x) ( , 0) ；当0 x 1时， f (x) 单调递增，且 f (x) [0, 1) ；当 x 1时， f (x) 单调递减，
2
且 f (x) 1 (0, ]．由条件曲线 y f (x) 与 y a 1有三个不同的交点，故0 a ．A 正确．
2 2
x 2
B 选项：令 2 a ，得 ax
2 x a 0 x 1 1 4a x ， 1 ；令 2 a ，得ax
2 x a 0 ，
1 x 2a 1 x
x 1 1 4a
2 2
x x 1 4a 1 4a
2
3 ，所 1 3 0． 2a 2a
B 错误．
1 1 4a2 1 1
C 选项：因为 x2 x3 1，所以 x1x2x3 x1 [ ( )
2 1] 是关于 a 的增函数，
2a 2a 2a
0 a 1由 A 选项知 ，故 x1x2 x3 1 2 ．C 正确．2
x x x 1 1 4a
2 1 1 1 4a2
D 选项：因为 1 2 3 ， 2a a 2a
2 2
所以 x 2
1 1 4a 1 1 4a
1 x1x2 x1x3 x1 (x1 x2 x3 ) 1． 2a 2a
D 正确．
三、填空题
12． x x 1且x 2 1 13． 14． ln 2
2
14 题提示：由 f (x) g(x) ln(ex 1) ，有 f ( x) g( x) ln(e x 1)，因为 f (x) 为偶函数，g(x) 为奇函数，
x
则有 f (x) g(x) ln(e 1)，可得
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f (x) ln(e
x 1) ln(e x 1) 1 ln[(ex 1)(e x 1)] 1
1
ln(ex e x 2) ln 4 ln 22 ． 2 2 2
当且仅当 x 0 时，“＝”成立．所以 f (x)min f (0) ln 2．
四、解答题
15．（13 分）
2 2 2 1 2 7
解：（1）因为a b 2 (2a b 1) (a 1) (b ) 0，所以 P ……5 分
2 4
（2）当b 1时， P {x | 2a x a2 3}，又Q {x | 1 x 4}， ……8 分
2a 1
若 x P x Q 1，则有 2 ，解得 a 1． ……13 分
a 3 4 2
16．（15 分）
1
解：（1）由题意有 2a2 5a 3 1，解得 a 2 或 a ，
2
又因为 f (1) f (2)，所以 a 2 ，则 f (x) 2x ． ……5 分
（2 2x x） g(x) 2 4 2 3，令 t 2x ，则 t [1,4]，
h(t) t 2 4t 3 (t 2)2 1．
h(2) 1， h(4) 3，所以 g(x)的值域为[ 1,3]． ……15 分
17．（15 分）
解：（1 T ）由题意有 ，解得 2． ……2 分
2 2
又由 f (x )为奇函数即 f (x) 关于点 ( ,0) 对称，
6 6
2 所以 k ，又 | | ，解得 ，所以 f (x) 2sin(2x )．
6 2 3 3
……5 分
2k 由 2x 2k ,k Z 5 ，得 k x k ,k Z
2 3 2 12 12
5
所以 f (x) 的单调增区间为[k ,k ](k Z) ． ……8 分
12 12
（2）由题意， g(x) f ( x) 2sin( 2x ) 2sin(2x )
3 3
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当 x [0, ]时，2x [ , 4 ]，
2 3 3 3
g(x) g( ) 2 g(4 的最大值为 ，最小值为 ) 3 ． ……15 分
2 3
18．（17 分）
x a
解：（1）(i)由 g(x) log2 ( ) 为奇函数，则有 g(x) g( x) 0， x 1
2 2
所以 log ( x a ) x a2 log ( ) 0 log
x a
x 1 2 x 1 2
( 2 ) 0 x 1
x2 a2
有 1，解得 a 1． ……4 分
x2 1
(ii) g(x) log x 12 ( )在 ( , 1)、 (1, )是增函数， x 1
x 1 x 1 2(x x )
证明如下，设 x1 x2 1
1 2 1 2
，则 0x ， 1 1 x2 1 (x1 1)(x2 1)
x1 1 x2 1
所以 g(x1) g(x2 ) log2 x 1
log2
1 x2 1
log x1 1 x2 1
log x2 1 x 2
1
2 2 0
x1 1 x2 1 x2 1 x2 1
即有 g(x1) g(x2 )
当 x2 x1 1时，则有 x2 x1 1，则有 g( x2 ) g( x1)
g(x1) g(x2 ) g( x1) g( x2 ) 0
综上， g(x) 在 ( , 1)、 (1, )是增函数． ……10 分
1 2m
（2 2）由题意知 f (x) ，令 y f (x)，则有 y my 2m 1 0有两个解，
f (x) m
2
则m 4(2m 1) 0 且 y1 y2 m， y1y2 2m 1，
所以 x1x y1 y2 m2 y1 y2 2 2 y1 y2 2 2m 1 271，解得m 8．……17 分
19．（17 分）
a 解：（1）当 1时， f (x) sin(x ) 4sin xcos x 2= (sin x cos x) 4sin x cos x ，
4 2
2
令 t sin x cos x ，则 t [ 2, 2]， sin xcos x t 1 ，
2
2 2 33
所以 g(t) 2t 2 t 2 = 2(t )2 ， t [ 2, 2]，
2 8 16
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g(t) [ 3, 33 ]， 即 f (x) 33的值域为[ 3, ]． ……4 分
16 16
（2） f (x) 2 a(sin x cos x) 4sin x cos x ，令 t sin x cos x 2 sin(x ) ，
2 4
2 2 a2
g(t) 2t 2则 at 2 = 2(t a)2 2 ，
2 8 16
当 x [0, ]时， t [1, 2]，且 t 关于 x 单调递增，
4
因为 f (x) 在 x [0, ]是单调递增的，所以 g(t)在 t [1, 2]单调递增，
4
2
则有 a 2 ，解得 a 8 ……10 分 8
（3）对于任意的 x1, x2 ，均有 | f (x2 ) f (x1) | 7，则有 f (x)max f (x)min 7
2 a2
即 g(t) 2(t a)2 2 ， t [ 2, 2]，有 g(t) g(t) 7 ，
8 16 max min
2
①当 a 2 a 8，则有 g( 2) g( 2) 7 a 7 ，无解；
8 2
2
②当 a 2 a 8，则有 g( 2) g( 2) 7 7 a ，无解；
8 2
2 2a
③当 2 a 0，则有 g( ) g( 2) 7 8 4 7 a 0；
8 8
2 2a
④当0 a 2 ，则有 g( ) g( 2) 7 0 a 8 4 7
8 8
综上， a [8 4 7, 8 4 7] ……17 分
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