上饶市2025届高三第一次高考模拟考试
座位号
数学试卷
【、本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上、
2、回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效，
3、回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.
4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟，.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
1.已知集合A={xlog2x<1,B={x2<2,则AnB=（)
A.{x<2
B.{x0
D.{x0
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知数列{an}是等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn,且a4=5,S=5,则42=（)
A.3
B.-1
c.1
D.-3
4.设f(x)=
之者侧=+0，奥m=（)
h.
B
9
5.已知向量a,6,c满足aHb=1,c=V5,且a+b+c=0,则a与c的夹角等于（)
A君
B月
5π
6.函数f(x)=sinx+cos2x+3的值域是（)
A受
B.1,4]
c.54
D.l,5]
7.如图，长方体ABCD-A1B1CD1中，AB=BC=3,AA1=2,点P为平面
AB1CD1上一动点，若∠PBC=∠BCC,则P点的轨迹为（)
A.抛物线
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.圆
一模数学第1页共4页
3
21
8.minM表示数集M中最小的数.已知x>0,y>0,且minx,-+2y,二〉=a,则a2的最大值为()
A.5
B.6
C.7
D.8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9.下列结论正确的是（)
A.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23.
B.随机变量X服从二项分布83号Y=2X+1,则D)=3
C.一组样本数据，西“x,的方差=2元【6-+6-++(-3驴]，则这组样本数据的
总和为60.
D.随机变量X服从正态分布N5,o),且P(2
10.除数函数y=d(n),n∈N,的函数值等于n的正因数的个数，例如d0=l,d(4)=3.若n∈W则下
列选项中正确的是（)
A.d36=9
B.d2")=n+l
C.若d(9")≥2024，则n的最小值为1011
D若=1
名d6则<1
11,已知函数f(x)=ln(W1+sin2x+sinx),则下列说法中正确的是（)
A.(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的值域为[0，ln(V2+1]
C.当x>0时，f(x)
(1n(V2+1)+l,+o)
-一模数学第2页共4页上饶市 2025 届第一次高考模拟考试参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D C D A C C BC ABD AC
12. 2 13. 48π 14. 4
3
7.C【详解】：根据平面截圆锥所得截线的定义可知轨迹是双曲线的一支.
8．C
x a,
【详解】由已知可得 3 2
2y a, 由 a，得y
2 3
则 a 2y a 4 ,
x y a x a
2
a，
y
3 3 3 a 4又由 ，所以 ,解得：a2 7
x a a a
故选：C.
9．BC
【详解】对选项 A：数据 13，27，24，12，14，30，15，17，19，23 共 10 个数，
从小到大排列为 12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于10 0.7 7，
23 24
故选择第 7 和第 8 个数的平均数作为第 70 百分位数，即 23.5，
2
所以第 70 百分位数是 23.5，故 A 错误；
D X 3 1 1 1 3对选项 B： ，D Y D 2X 1 4D X
3
4 3 .
2 2 4 4
故 B 正确.
对选项 C：由方差的公式可知，该组数据的平均数是 3，这组样本数据的总和为3 20 60，C 正确；
2
对选项 D：X服从正态分布 N 5, ，P(2 X 5) P(5 X 8) a，
所以 P(X 8)
1
a ，故 D 错误.
2
故选：BC
1
10.ABD
【详解】对选项 A：由6n 2n 3n ,即 n个 2和n个 3的乘积，由分步计数原理可得
d(6n ) (n 1) (n 1) (n 1)2.所以 d (36) (2 1)2 9，所以 A正确.
对选项 B：同理 2n ,即 n个 2的乘积，所以 d (2n ) n 1.所以 B正确.
对选项 C：又由9n 32n ,即 2n个 3的乘积，所以 d(9n ) d(9n ) 2n 1.若d(9n ) 2024,则 n 的最
小值为 1012 ，所以 C不正确.
n 1 n 1 n 1 1
对选项 D：又 Sn d (6k 1 1, 所以 D正确.k 1 ) k 1（k+1）2 k 1 k（k +1） n+1
故选：ABD
11.AC
【详解】对选项 A：因为 f (x) f ( x) ln( 1 sin2 x sinx) ln( 1 sin2 ( x) sin( x))
ln( 1 sin 2 x sinx) ln( 1 sin 2 x sinx))
ln[( 1 sin 2 x sinx)( 1 sin 2 x sinx)]
ln1 0
所以 A正确；
对选项 B：设 sin x t( 1 t 1)，则 f (x)可表为 g(t) ln( 1 t2 t)，因为 g (t)是增函数，
所以 g( 1) g(t) g(1)，所以 f x 的值域为[ln( 2 1), ln( 2 1)]，所以 B不正确；
2sin x cos x
cos x
对选项 C：设 h(x) f (x) x，则 2h (x) 2 1 sin x 1 cos x 1 0，
1 sin2 x sin x 1 sin2 x
所以 h(x)在 (0, )上递减，所以 h(x) h(0) 0即 f (x) x，所以 C正确；
对选项 D：因为 f ( x) ln( 1 sin2 ( x) sin( x)) ln( 1 sin2 x sin x) f (x)，
所以 f (x) x 关于 对称，又 f x 的图象关于原点对称，故 f x 是周期函数且周期T 2 ，
2
而 f (x)
cos x
，所以 f (x)在 (0, )上递增，可作出 f (x)草图，如下图
1 sin2 x 2
2
设 f x u，则 g (u) u 2 au 1 0，该方程两根u1,u2满足u1 u2 1，显然u1,u2均不为 0且最多
仅有一个属于[ ln( 2 1), ln( 2 1)]，不妨设u1 [ ln( 2 1), ln( 2 1)]
若u1 ln( 2 1)时，方程 f (x)
2 a f (x) 1 0在区间[0, 2025 ]上有 1013个实数根；
若u1 (0, ln( 2 1))时，方程 f (x)
2 a f (x) 1 0在区间[0, 2025 ]上有 2026个实数根；
若u1 ( ln( 2 1),0)时， f (x)
2 a f (x) 1 0在区间[0, 2025 ]上有 2024个实数根；
若u ln( 2 1) f (x) 21 时，方程 a f (x) 1 0在区间[0, 2025 ]上有 1012个实数根；
所以方程 g (u) u 2 au 1 0在区间 ( ln( 2 1),0)仅有一根，
所以 g ( ln( 2 1) 2( ln( 2 1) a ( ln( 2 1) 1 0 ，
所以 a ln( 2 1)
1
，所以 D不正确．
ln( 2 1)
故选：AC
13.48π
【详解】：点M 到点 B1,C,D1的距离相等，即点M 与点 A重合，则正四面体 A B1CD1的外接球与正方
体 ABCD A1B
2
1C1D1的外接球一样， 2R 4 3，外接球的表面积为 S 4 R 48
14．4
【详解】 BD 1 0 , BC
1
4,由余弦定理可得：
cos 20 cos 200
AC 2 BA2 BC 2 2BA BC cosB
0
15 1 8cos 20 8cos
3 200
cos2 200
sin2 200 cos2 200 8cos 20015 (1 cos
2 200 )
cos2 200
2 0
15 sin 20 cos
2 200 8cos 200 sin2 200
cos2 200
16 tan 2 200 8sin 200 tan 200 (16,25)
所以 AC （4，5），即 AC 4
爱好 不爱好 合计
15. 解：（1）填写 2×2列联表为：
男生 40 10 50
女生 20 30 50
...............3分
合计 60 40 100
3
2 100 40 30 10 20
2
根据列联表中的数据 50 16.667 10.828 x ，....................5分
50 50 60 40 3 0.001
依据 0.001的独立性检验，可以推断，有 99.9 0 0 的把握认为该校学生爱好足球与性别有
关........................................6分
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取 6名学生，
40
其中男生人数为 6 4 20 （人）；女生人数为 6 2（人）. ................................7分
40 20 40 20
由题意可得，随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3.
1 2 2 1 3 0
P X 1 C 4C2 1 ， P X 2 C C 3 4 2 ， P X 3 C4C2 1 ，.....................................10分
C3 5 C3 36 6 5 C6 5
随机变量 X 的分布列如下：
X 1 2 3
1 3 1
P .............................................11分
5 5 5
则 E X 1 1 3 1 2 3 2 ................................................................13分
5 5 5
2
16. y x
2
【详解】(1) = 1（2） x 2y 2或x 2y 2
2 2
（1）抛物线x2 = 8y的焦点坐标为 0,2 ，所以双曲线中 c=2，
c 2
∵双曲线的离心率为 2，即 e = = = 2 …………………………2 分
a a
∴a = 2，b2 = c2 a2 = 2 …………………………4 分
y2 x2
∴双曲线方程为 = 1 ………………………………………………………5 分
2 2
（2）设直线 l的方程为 x my 2，………………………………6 分
O l d 2所以原点 到直线 的距离 ，……………………………7 分
m2 1
x my 2 2 2
联立 2 2 ，得（m 1)y 4my 6 0，…………………8 分
y x 2
所以 m2≠1 且 =16m2-24(m2-1)=24-8m2>0,
所以 m2<3，且 m2≠1，…………………………………………………9 分
(4m)2 4(m2 1) 6
| AB | 1 m2 1 m2 2 2 3 m
2
所以 2 2 ,…………………11 分|m 1| |m 1|
1 2
所以S OAB | AB | d
1 1 m2 2 2 3 m 2 2 2,
2 2 |m2 1| 1 m2
4
3 m2
所以 2 1,………………………………………………………………13 分|m 1|
解得 m2=2，所以m 2 ，
所以直线 l的方程为 x 2y 2或x 2y 2 .……………………………………………15 分
（其他解法酌情给分）
AD
17.【详解】（1）在 RT△ACD中， tan ACD 3，∴∠ACD＝60°
CD
在△POC中， PO CO2 CP2 2CO CP cos60 3，……………………………………2分
∴ PO2 CO2 4 PC 2∴PO⊥CA…………………………………………………………………4分
又∵平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC，PO 平面 PAC
∴PO⊥平面 ABC……………………………………………………6分
（2）如图，过点 O作 Ox⊥AC，则 Ox、OA、OP两两互相垂直，以 O为坐标
原点，Ox、OA、OP分别为 x、y、z轴建立空间直角坐标系，则
C(0, 1,0),B( 3, 2,0), A(0,3,0),P(0,0, 3) ，
CP (0,1, 3),PA (0,3, 3),CB ( 3,3,0) ，
设 PM PA，则CM CP PM (0,1 3 , 3 3 ) ，……………………………………9分
设平面 MBC的一个法向量为 n1 (x, y, z)，
n1 CM (1 3 )y ( 3 3 )z 0
则 ，令 y 3 3 ，则 x 3 3, z 1 3
n1 CB 3x 3y 0
∴平面 MBC的一个法向量为 n1 (3 3, 3 3 , 1 3 )………………………………11分
易知平面 ABC的一个法向量 n2 (0,0,1)……………………………………………………12分
∵平面MBC 21与平面 ABC夹角的余弦值为
7
cos n n n
1 3 21
∴ 1,n2 1 2 | n | | n | (3 3)21 2 ( 3 3 )2 ( 1 3 )2 7
解得
1
………………………………………………………………………………………………14分
3
PM 1 PA 2 3∴ ………………………………………………………………………………15分
3 3
（其他做法酌情给分）
5
18. 【详解】（1）由题设知 a1 （1，0，0），a2 （0，1，0）a3 （0，0，1）..................1分
a5 a7 a9 = c1 a2 b2 a1 d2 a3 a2 10a1 a3 (10,1, 1) 102 ...........................4分
（2） a4 b1 a1 (b1 ,0,0), a5 c1 a2 (0,c1, 0), a6 d1 a3 (0,0,d1),
a3n 1=bn a1=(bn ,0,0)，a3n 2=cn a2=(0,cn ,0)，a3n 3=dn a1=(0,0,dn )， ..........................5分
设 lim OBn （x，y，z），n
OBn a1 a2 a
则 3n 3
（a1 a4+ a3n 1）+（a2 a5+ a3n 2）+（a3 a6+ a3n 3）
=（1 b1+b2+ +bn,1 c1+c2+ +cn,1 d1+d2+ +dn） ...................................7分
x lim（1 b1+b2+ +bn）n
1 1 （ ）n可得： 5 1 9 ...................................8分=1+ lim 1 1 4 n 1 4
5 5
y 15 z 17同理可得： ，
8 8
故 lim OB 9 15 17n （ ， ， ）. ..................................10分n 4 8 8
设数列 bn 的前 n项的和为 Rn，数列 cn 的前 n项的和为 Sn，数列 dn 的前 n项的和为Tn .
（ⅰ） 当m 1时， a1 a2 a3 3 L, ...................................11分
a1 a2 a3 3 3L
故 a1 a2 a3 3L成立； ...................................12分
（ⅱ）当m 2，m N 时，
a1 a2 a a 3 m 1 3m
（a1 a4+ a3m 2）+（a2 a5+ a3m 1）+（a3 a6+ a3m）
=（1 b1+b2+ +bm 1） a1 （1 c1+c2 + +cm 1） a2 （1 d1 +d2 + +dm 1） a3
=（1 Rm 1） a1 （1 Sm 1） a2 （1 Tm 1） a3
=（1 Rm 1，1 Sm 1，1 Tm 1） ...................................14分
因为 a1 a2 a3m 1 a3m =L，所以 1 Rm 1，1 Sm 1，1 Tm 1 L ,即
6
（1 R 2m 1） （1 S ）
2 （1 T ）2m 1 m 1 L ,所以
a1 a2 a3m 1 + a3m
（1+b1+b2+ bm 1）+（1+c1+c2 + cm 1） （1+d1 +d2 + dm 1）
...................................16分
=(1+Rm 1)+(1+Sm 1) (1+Tm 1)
3 （1 R ）2 m 1 （1 S
2 2
m 1） （1 Tm 1） 3L,
a1 a2 a3m 1 + a3m 3L.
综上可得： a1 a2 a3m 1 + a3m 3L. ...................................17分
19．【详解】（1） f (x) px p 1 1，……………………………………………………1分
1 1
由 f (x) 0得 x p1 p ，由 f (x) 0得0 x p1 p ；
1 1
1 p 1 p
所以 f (x)在区间 0, p 递减，在区间 p , 递增；
1 p 1
所以 f (x) f (p1 p ) p1 p p1 p ………………………………………………3分min
1 1 1 1 p
（2）（ⅰ） g (x) a x p a 1 x p
p p
①当 a 0时， g (x) 0， g(x)在区间 (0, )递减， g(x)无最小值，不符；……………4分
p p
②当 a 0时，由 g (x) 0得 x ( pa)1 p ，由 g (x) 0得0 x ( pa)1 p ；
p p
g(x) 0, ( pa)1 p 1 p所以 在区间 递减，在区间 ( pa) , 递增；
1
p p p p p 1 1
故 g(x) g ( pa)1 p ) a ( pa)1 p 1 p 1 p 1 p 1 pmin ( pa) p p a
………………………………………………6分
因为 f (x)和 g(x)有相同的最小值，
p 1 1 p 1 p 1 1
p1 p p1 p a1 p p1 p p1 p p1 p p1 p a1 p所以 即 1 0
所以 a 1…………………………………………………………………………9分
1 1
（ⅱ）由上可知 f (x)在 0, p1 p p
1 p
递减，在 , 递增；
p p
g(x) 0, p1 p p1 p
p 1
在 递减，在 , 递增；且 f (x) g(x) p 1 pmin min p
1 p ．
p 1
①当b p1 p p1 p 时， y b与 y f (x), y g(x)均无交点，不符；…………10分
p 1
②当b p1 p p1 p 时， y b与 y f (x), y g(x)均只有 1个点，共 2个交点，不符；…11分
7
1 1
③当b 0时， f (x)在区间 0, p
1 p 1 p 递减，所以 x 0, p 时， f (x) f (0) 0，
所以 y b与 y f (x)最多 1个交点；
同理 y b与 y g(x)最多 1个交点；
故 y b与 y f (x), y g(x)一共最多 2个交点，不符；……………………12分
p 1
④当 p1 p p1 p b 0时， y b与 y f (x), y g(x)各有 2个交点，设其横坐标分
别为 x1, x2 , x3, x4且 f (x1) f (x2 ) g(x3) g(x4 ) b，
因为 y b与 y f (x), y g(x)共有 3个交点，
所以 x1, x2 , x3 , x4 中必存在两个相等，不妨设 x2 x3 x0 ，
则 f (x0 ) g(x0 )即 f (x0 ) g(x0 ) 0，
1 1
所以 (x ) p (x ) p 2x 即 p p …………………………14分0 0 0 0 (x0 ) (x0 ) 2x0
p 1
1 p 1 p
下面证明存在 x0 p , p 使得 f (x0 ) g(x0 )．
设 h(x) f (x) g(x)，
p p p p
因为 h( p1 p ) f ( p1 p ) g( p1 p ) f( p 1 p ) g(x) min 0
1 1 1 1
且 h( p1 p ) f ( p1 p ) g( p1 p ) f(x) min g( p
1 p ) 0 ，
p 1
h(x) f (x) g(x) p1 p , p1 p所以 在区间 至少有 1个零点 x0．
结合 y b与 y f (x), y g(x)各有 2个交点及它们的单调性知 x1 x2 x3 x4，
所以存在b f (x0 )，使得直线 y b与 y f (x), y g(x)共有 3个交点 x1, x0 , x4 ．
1 1
p
1 1
因为 g(x) x (x) p (x)
p
(x)
p f (x)
p ，
1 1 1 1
所以 g(x3) g(x4 ) f
(x
p p p p
3) f (x4 ) b ，所以 x1, x2 (x3) , (x4 ) ，
1 1
x p1 (x3) x1 (x )
p 1
0
所以 即 ，所以 x1 x4 (x0 )
p (x ) p0 2x0．……………17分1 1
x (x ) p 2 4 x0 (x4 )
p
8
