2024-2025学年人教版七年级上册数学寒假提升训练：动点问题
1．，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．
(1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______；
(2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______；
(3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度．
(4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度．
2．已知数轴上点O表示的数是0，A，B两点表示的数分别是a，b，且满足．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒，点P运动到点B时停止．
(1)填空：① ______， ______．
②点P表示的数为______（用含有t的式子表示）；
③当t的值为______时，点P停止运动．
(2)当点P在线段上运动时，若M为的中点，N为的中点，试判断在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化．如果发生变化，请说明理由，如果不发生变化，请求出线段的值．
(3)当点P运动到点O时，动点Q开始从点A出发，以每秒个单位长度的速度在A，B两点之间往返运动．动点P仍按照原来的速度运动，直至点P停止运动，点Q也停止运动．当两点之间的距离为时，直接写出的t值．
3．如图，点在数轴上（点在点的左侧），表示的数是6，线段．
(1)点表示的数是___________，若点沿数轴移动3个单位长度，得到点，则点表示的数是___________；
(2)若点是数轴上的两个动点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动．两点同时出发，运动时间为秒，问是否存在某个时刻，使得两点之间的距离为4个单位长度？若存在，请你求出此时的值，若不存在，请说明理由．
4．如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”．
(1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）；
(2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______；
(3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值．
5．如图，，线段在线段上，点C在点D的右边，且．动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点B匀速运动；同时线段从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，当点D与点A重合时，停止运动．设点C的运动时间为．
(1)当点P与点A重合时， ．
(2)当点P与点D相遇时，求t的值．
(3)求的长（用含t的代数式表示）．
(4)取的中点E，当时，直接写出t的值．
6．如图，在数轴上，点表示的数是，线段的长为24，点为线段的中点．点、为数轴上的两个动点．点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动，到达点停留2秒后继续保持原速向终点运动，点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，设点的运动时间为秒．
(1)点表示的数是_____________；点表示的数是____________；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当线段的长为10时，求的值；
(4)当点不与点重合时，直接写出时的值．
7．如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒．
(1)用含的式子表示线段的长度为______；
(2)当为何值时，，两点重合？
(3)若点为中点，点为中点．问：为何值时，的长度为5？
8．通过研究发现，数轴上的点A和点B分别表示有理数a和b，那么线段的中点表示的数为，点A、B之间的距离．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数，9，点O为原点，点C在数轴上O，B两点之间，且．
(1)直接写出线段的中点表示的数为 ，线段 ；
(2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒：
①若，求t的值；
②若动点M同时从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回．在此过程中，当t为何值时，点M恰好是线段的中点？
9．如图，已知数轴上有A、B两点，点A表示的数是，点B表示的数是18，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为1个单位长度每秒、2个单位长度每秒，设运动时间为t．
(1)当时，点P对应的数是__________，点Q对应的数是__________；
(2)当t为何值时，P，Q两点之间相距6个单位长度；
(3)当时，若线段和线段同时以1个单位长度每秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出这个时刻；若不存在，请说明理由．
10．如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，且．
(1)填空：_______， _______；
(2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，已知点C为数轴上一动点，且满足，求出点C表示的数；
(3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在点A与原点之间，且存在正整数k，使得（n为正整数且是一个定值），求k和m的值．
11．如图，数轴上点A、B表示的数分别为a、b且有．
请解决下列问题：
(1) ， ， （即A、B两点之间的距离）；
(2)若P为数轴上一点，且，求点P所对应的数；
(3)动点P从A点出发沿数轴正方向匀速移动，速度为每秒3个单位长度，P点在移动的过程中，设时间为t秒．
①若，求t的值；
②若，求t的值．
12．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示，点B表示8，点C表示14，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距22个长度单位，动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的四分之一，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原述．设运动的时间为t秒，问：
(1)当动点P在上时，把点P到点A的距离记为，则________（用t的代数式表示）；
(2)当动点P在上时，把点P到点O的距离记为，则________（用t的代数式表示）；
(3)当点Q在上时，Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度与P，O两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为________（直接写出结果）．
13．已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离，如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离_____；
(2)若在数轴上存在一点，使得点到的距离与点到的距离之和为30，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、在线段上运动，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿线段向右运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿线段向左运动．规定一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当时，请直接写出时间的值．
14．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为9，动点B，C在数轴上移动（点C在点B右侧），总保持（n大于0且小于），设点B表示的数为m．
(1)如图1，当动点B，C在线段上移动时，
①若，且B为中点时，则点C表示的数为 ；
②若，求多项式的值；
(2)当线段在射线上移动时，且，用含n的式子表示m．
15．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题：
(1)______，______，______．
(2)动点P从A出发，以每秒2各单位长度的速度向右运动，到C后停止运动，设运动时间为t．求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为7个单位？
(3)已知点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值．
16．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，．
(1)直接写出结果，_______，______；
(2)设点P在数轴上对应的数为x．
①若点P为线段的中点，则；
②若点P为数轴上的一个动点，则的最小值是_______；
(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
17．点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，满足，且a是绝对值最小的有理数．
(1) ， ， ．
(2)数轴上标出点 A，B，C，并写出点 B，C 之间的距离．
(3)已知点P，点Q是数轴上的两个动点，点P从点B出发，以2个单位/秒的速度向右运动，点Q从点C出发，速度为1个单位/秒．
①若在点P出发的同时点Q向左运动，几秒后点P和点Q在数轴上相遇？
②若在点P出发的同时点Q向右运动，几秒后点P和点Q之间的距离为2个单位？（直接写出答案）
18．如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足
(1)求点与点在数轴上对应的数和；
(2)现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒．
①若点和点相遇于点，求点在数轴上表示的数；
②当点和点相距个单位长度时，直接写出的值．
19．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且，点O为原点．
(1)求出a和b的值；
(2)若点C在数轴上O，B两点之间，且，点C所对应的数是________．
(3)在（2）的基础上，若动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒．
①当_______秒时，P与Q相遇，此时P对应的数为________．
②当________秒时，．
20．如图，数轴上、两点所对应的数分别是和，且．
(1)则______，______，、两点之间的距离______；
(2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点所对应的有理数．
(3)在（2）的条件下，点在某次运动时恰好到达某一个位置，使点到点的距离是点到点的距离的2倍？直接写出此时点的位置，并直接写出是第几次运动．
21．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______（用含的式子表示）；
(2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求：
①当点运动多少秒时，点与点相遇？
②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？
()
()
《2024-2025学年人教版九年级上册数学寒假提升训练：动点问题》参考答案
1．(1)，；
(2)，；
(3)；
(4)点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由见解析．
【分析】（）由题意得，再根据两点间的距离可得点表示的有理数为，得到答案；
（）根据题意列出代数式即可；
（）由（）得，则，然后利用线段中点和线段和差即可求解；
（）分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别求出即可．
【详解】（1）解：∵点表示的有理数为，从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，
∴时，，点表示的有理数为，
故答案为：，；
（2）解：线段的长为，此时点在数轴上对应的有理数是，
故答案为：，；
（3）解：由（）得，
∴，
∵点是线段的中点，点是线段的中点，
∴，，
∴；
（4）解：点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由，
∵点是线段的中点，点是线段的中点，
∴，，
当点在点的左侧时，
，
当点在点的右侧时，，
综上，点在运动过程中，线段的长度保持不变，为．
【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，线段中点和线段和差，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解题的关键．
2．(1)①，15；②；③21
(2)线段的长度不发生变化，线段的值为3
(3)当或20.9时相距
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，非负数的性质．解题的关键是利用分类讨论的思想，不遗漏情况．
（1）①根据非负数的性质求解；②根据向右运动用加法列式表示；③根据“时间=路程速度”计算；
（2）根据两点之间的距离公式求解；
（3）根据两点之间的距离公式求解．
【详解】（1）①
故答案为：，15；
②点表示的数为：，
故答案为：，
③，
故答案为：21；
（2）线段的长度不发生变化为3，
理由：表示的数为：t，
表示的数为：，
；
（3）当时，
，
解得：或（不合题意舍去），
当，
，
解得：或（不合题意舍去），
所以当或时相距．
3．(1)；或
(2)或
【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
（1）由表示的数是6，线段，结合两点之间的距离可得点对应的数为，再进一步解答即可；
（2）由题意可得对应的数为，对应的数为，结合两点之间的距离为4个单位长度，可得，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵点在数轴上（点在点的左侧），表示的数是6，线段．
∴点对应的数为，
∵点沿数轴移动3个单位长度，得到点，
∴对应的数为或；
（2）解：由题意可得：对应的数为，对应的数为，
∵两点之间的距离为4个单位长度，
∴，
即：，
解得：或，
解得：或；
4．(1)是
(2)或或
(3)或或或或
【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，准确理解“智慧点”的概念，利用分类讨论思想解题是关键．
（1）根据“智慧点”的定义即可求解；
（2）分，，，进行讨论求解即可；
（3）秒后，，，然后分当为的“智慧点”时，为的“智慧点”时，列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，
∵点为的中点，
∴点C是线段的“智慧点”，
故答案为：是；
（2）解：∵，点C是线段的“智慧点”，
∴①时，则；
②时，则；
③时，则，
综上所述，点C为线段的“智慧点”，则等于或或，
故答案为：或或；
（3）解：秒后，，，
由题意可知点不可能为的“智慧点”，
则当为的“智慧点”时，
①时，则，
∴，
解得：；
②当时，则，
∴，
解得：；
③当时，
∴，
解得：；
当为的“智慧点”时，
④当时，则，
∴，
解得：（舍）；
⑤当时，则，
∴，
解得：；
⑥当时，
∴，
解得：，
综上所述：t值为或或或或．
5．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）利用线段的和与差即可得解；
（2）根据“路程和”列方程求解即可；
（3）根据“数轴上两点之间的距离公式”列式即可；
（4）根据已知条件“”列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：；
（2）解：由题意可得：
，
解得：；
（3）解：设点A表示原点，则点P表示的数为：，点D表示的数为：，
则；
（4）解：点E表示的数为：，
∴，
解得：或．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题与几何问题），线段的和与差，数轴上两点之间的距离，列代数式等知识点，根据题中的等量关系正确列出方程或代数式是解题的关键．
6．(1)8；；
(2)8；
(3)2或6；
(4)，．
【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）根据A，B两点之间的距离求出点B表示的数，然后根据中点的概念即可求出点M表示的数；
（2）首先求出，根据题意列式求解即可；
（3）根据题意分两种情况，分别列出方程求解即可；
（4）根据题意分两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点表示的数是，线段的长为24，
∴点表示的数是；
∵点为线段的中点
∴点表示的数是；
（2）解：∵点表示的数是，点表示的数是8，点表示的数是
∴，
∵点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动，到达点停留2秒后继续保持原速向终点运动，
∴当点与点重合时，（秒）；
（3）解：根题意得，当点P在点Q左边时，
解得；
当点P在点Q右边时，
解得；
（4）解：∵，点为线段的中点
∴，
∵
∴当点P在点M左边时，
解得；
∴当点P在点M右边时，
解得
综上所述，时的值或．
7．(1)
(2)当时，、两点重合
(3)当或50时，的长度为5
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，
（1）由路程＝速度×时间即得答案；
（2）根据题意得，即可解得答案；
（3）由已知得，根据长度为5得或，即可解得答案；
熟练掌握其性质并能灵活运用含t的代数式表示相关线段的长度是解决此题的关键．
【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，
∴长度是，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得，
答：当t为20时，M、N两点重合；
（3）解：∵点P为中点，
∴，
∵点Q为中点，
∴，
∴，
由长度为5得：或，
解得：或，
经检验，或都符合题意，
∴或．
8．(1)3，7
(2)3或；3或
【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的实际应用：
（1）根据数轴上两点间的距离，中点公式，求解线段的中点对应的数以及点C所对应的数即可得到答案；
（2）①根据两点间的距离公式，结合，列出绝对值方程进行求解即可；②分点跟点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵A，B两点在数轴上分别表示有理数，9，
∴，
∴线段的中点表示的数为，
∵点C在数轴上O，B两点之间，且，
∴点表示的数为：2；
∴；
（2）解：①由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：，
由题意，得：，
解得：或；
②当点M恰好是线段的中点时，未相遇，
当点与点相遇时所用时间为：秒，
∵点表示的数为：，点表示的数为：，
∴当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上：或时，点M恰好是线段的中点．
9．(1)，16；
(2)当或8时，P，Q两点之间相距6个单位长度．
(3)存在，当线段和线段同时以1个单位长度每秒的速度同时相向匀速运动运动10或17秒时，．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴上表示数、数轴两点间的距离、列代数式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）由题意得：点P沿数轴正方向移动，点Q沿数轴负方向移动，然后然后据此列式计算即可；
（2）根据题意得点P对应的数是，点Q对应的数是，再根据P、Q两点之间相距6个单位长度列出绝对值方程求解即可；
（3）由题意知点A对应的数是，点B对应的数是18，设再运动m秒后，则得出平移后P的对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，然后分①当线段和线段相遇前，②当线段和线段相遇后两种情况，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：点P沿数轴正方向移动，点Q沿数轴负方向移动，
当时，点P对应的数是，点Q对应的数是．
故答案为：，16．3
（2）解：由题意得：点P沿数轴正方向移动，点Q沿数轴负方向移动，
∴点P对应的数是，点Q对应的数是，
∵P、Q两点之间相距6个单位长度，
∴，整理得：，
∴或，解得：或8，
∴当或8时，P，Q两点之间相距6个单位长度．
（3）解：存在，理由如下：
当时，点P对应的数是，点Q对应的数是，
由题意知点A对应的数是，点B对应的数是18，
设再运动m秒后，
∴平移后对应点表示的数，对应点A′表示的数，对应点表示的数，对应点B′表示的数，
①当线段和线段相遇前，
，
∵，
∴，解得：；
∴当线段和线段同时以1个单位长度每秒的速度同时相向匀速运动运动10秒时，；
②当线段和线段相遇后，
，
∵，
∴，解得：；
∴当线段和线段同时以1个单位长度每秒的速度同时相向匀速运动运动17秒时，；
综上可知：当线段和线段同时以1个单位长度每秒的速度同时相向匀速运动运动10或17秒时，．
10．(1)，16
(2)点表示的数为9或37；
(3)当时，；当时，；当时，．
【分析】本题主要考查了数轴，非负数的意义．
（1）利用非负数的意义即可求得结论；
（2）分三种情况讨论解答：①点在点和点的之间，②点在点的右侧；③点在点的左侧；
（3）根据题意求得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，依据题意列出的式子，整理后使得的系数为0，再分类计算即可求得结论．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，，
故答案为：，16；
（2）解：设点在数轴上表示的数为，
①点在点和点的之间，
，，，
．
解得：；
②点在点的右侧时，
，，，
．
解得：．
③点在点的左侧时，，不存在，此情况不合题意；
综上，点表示的数为9或37；
（3）解：由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵的值始终是一个定值，
∴，即，
∵k是正整数，
∴，
∴，
∵n是正整数，为定值，
∴，
∴，
∵k是正整数，
∴k的值为1，2，3，
当时，；
当时，；
当时，；
综上，当时，；当时，；当时，．
11．(1)，，
(2)或
(3)①或；②或
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的和等；
（1）由非负数的和可求，，再由数轴上两点之间的距离，即可求解；
（2）设在轴上表示的数为，①当在的左边时，由数轴上两点之间的距离得，，解一元一次方程，即可求解； ②当在、之间时，，即可求解；③当在的右边时，由数轴上两点之间的距离得，，解一元一次方程，即可求解；
（3）①当在、之间时，由数轴上两点之间的距离得表示的数为，
，，解一元一次方程，即可求解；当在的右边时，同理可求；②当在、之间时，当在的右边时，同理可求；
掌握数轴上两点之间的距离，并能据此列出一元一次方程进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，，
，
故答案：，，；
（2）解：设在轴上表示的数为，
①当在的左边时，
，
，
，
，
解得：，
点P所对应的数为；
②当在、之间时，
，
此种情况不存在；
③当在的右边时，
，
，
，
，
解得：，
点P所对应的数为；
综上所述：点P所对应的数为或；
（3）解：①当在、之间时，
表示的数为，
，
，
，
，
解得：；
当在的右边时，
，
，
，
，
解得：；
综上所述：或；
②当在、之间时，
，
，
解得：，
当在的右边时，
，
，
解得：，
综上所述：或．
12．(1)；
(2)；
(3)1或 ．
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系并列出方程是正确解答本题的关键．
（1）根据路程、速度和时间的关系列式即可解答；
（2）根据路程、速度和时间的关系列式即可解答；
（3）由Q在上可判定时间t的取值范围，然后根据点P的位置分类讨论，再根据P、O 两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）由题意可得：当动点P在上时，运动时间，点P到点A的距离，
故答案为：；
（2）当动点P在上时，运动时间，则点P到点O的距离．
故答案为：；
（3）由点Q在上时，则时间，所以，
当点P在上时，，由题意可得：
，
解得：；
当点P在 上时，，由题意可得：
，
解得：，
综上，t的值为1或 ，
故答案为：1或 ．
13．(1)18
(2)或12
(3)（秒）或（秒）
【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题，数轴的动点问题，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据、两点在数轴上对应的数分别为和6．进行列式计算，即可作答．
（2）依题意，列式，然后进行分类讨论，即可作答．
（3）分别表示点表示的数为，点表示的数为，再依题意，列式，然后化简绝对值，即可作答．
【详解】（1）解：∵、两点在数轴上对应的数分别为和6．
∴，
∴、两点之间的距离为；
（2）解：设点表示的数为，
∵点到的距离与点到的距离之和为30，
∴，
整理得
当时，则
∴；
当时，则，故舍去；
当时，则，
∴．
∴点表示的数为或12．
（3）解：∵点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿线段向右运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿线段向左运动．
∴点表示的数为，点表示的数为，
由（1）得、两点之间的距离为；
∵规定一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．
∴（秒）
∵，
∴，
整理得，
当时，解得（秒）；
当时，解得（秒）；
综上：当满足题意时，则（秒）或（秒）．
14．(1)①；②
(2)或
【分析】本题主要考查了列代数式和数轴．
（1）①运用两点间的距离公式求解；②根据得到，然后整体代入求值；
（2）分类讨论：点C在线段上和点C在线段上两种情况．
【详解】（1）解：①∵点A表示的数为9，B为中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴；
（2）解：如图1，
，
当点B位于原点左侧时，由题意，得：
，
解得：；
如图2，
，
当点B位于原点右侧时，由题意，得：
，
解得：，
综上可知∶或．
15．(1)，1，5
(2)或时，点到、、三点的距离之和为7个单位
(3)的值不随时间的变化而变化，其值恒为2．
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴等知识，根据两点间距离公式列出方程是解决此题的关键．
（1）根据和的值都是非负数可得答案；
（2）点运动秒时，运动到的点对应的数点表示的数．点到点的距离点对应的数点对应的数．列出方程并求解即可；
（3）由题意可得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，再求解即可．
【详解】（1）解：b是最小的正整数，
．
，
，，
，，
，，．
故答案为：，1，5；
（2）解：点运动秒时，运动到的点对应的数是．
点到、、三点的距离之和为7个单位，
．
当时，，
解得．
当时，，
解得．
综上所述，或时，点到、、三点的距离之和为7个单位．
（3）解：不变．理由如下：
点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点每秒1个单位长度向右运动，
．
点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，
，
，
的值不随时间的变化而变化，其值恒为2．
16．(1)，
(2)①1；②
(3)存在，，，7或
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案；
（2）①根据想断中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案；
②若点P为线段上的一个动点，则的最小值可以看作是点P到和点P到12之间的距离． 即，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案；
（3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案．
【详解】（1）（1），，
故答案为：，．
（2）①点P为线段的中点，
，
，
解得；
故答案为：1．
②点P为线段上的一个动点，
则的最小值可以看作是点P到和点P到12之间的距离．
；
故答案为：．
（3）点M表示的数为，，
当时，点N表示的数为，，
当时，点N表示的数为，，
当时，|解得或；
当时，，解得或；．
存在t值，，，7或，使得．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
17．(1)0，，5
(2)见解析；8
(3)①秒；② 6秒或10秒
【分析】（1）利用非负性质求出b，c，利用绝对值最小的有理数是0，求出a即可；
（2）①设时点P和点Q相遇，根据题意列出方程求解即可；
②设P点运动时，这两点之间的距离为2个单位，分点P追上点Q前或点P超过点Q后两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，，
，，
是绝对值最小的有理数，
，
（2）解：数轴，如图所示：
；
（3）解：①设时点P和点Q相遇，
根据题意得：，
解得；
故秒后点P和点Q在数轴上相遇；
②设P点运动时，这两点之间的距离为2个单位，点P表示的数为，点Q表示的数为，
在点P追上点Q前，两点之间的距离为2个单位，
得：，
解得，
在点P追上点Q后，两点之间的距离为2个单位，
得：，
解得，
故P运动秒或秒后这两点之间的距离为2个单位．
【点睛】本题主要考查的是绝对值，绝对值的非负性，数轴上两点间距离，偶次方的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论
18．(1)为，为
(2)①；②秒或秒
【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性，
（1）利用绝对值的非负性，即可求出，的值；
（2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为．①由点，相遇，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出点在数轴上表示的数；
②由，即可得出关于的一元一次方程，解之可得结论；
解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出，的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∴点与点在数轴上对应的数为，为；
（2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，
①依题意得：，
解得：，
∴，
∴点在数轴上表示的数为；
②∵，
∴-或，
解得：或，
∴当点和点相距个单位长度时，的值为秒或秒．
19．(1)，
(2)
(3)①，；②2或11
【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据非负数的性质计算即可得解；
（2）先求出，结合题意求出，再由数轴上两点间的距离公式计算即可得解；
（3）①由题意得：，，根据P与Q相遇，列出一元一次方程，解方程即可得解；②分两种情况：当点在的右侧时，当点在的左侧时，分别列出一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，；
（2）解：由（1）可得：点表示的数为，点表示的数为，
∴，
∵点C在数轴上O，B两点之间，且，，
∴，
∴点C所对应的数是；
（3）解：①由题意得：，，
∵P与Q相遇，
∴，
解得：，
∴，
此时P对应的数为；
②由题意得：，，，
当点在的右侧时，，，
则，
解得：；
当点在的左侧时，，，
则，
解得：；
综上所述， 当或秒时，．
20．(1)，，12
(2)点P所对应的有理数为
(3)和分别是点运动了第23次和第8次到达的位置
【分析】本题考查绝对值的非负性，数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用。读懂题意，正确的列出算式和方程，是解题的关键．
（1）根据非负性，求出a，b的值，两点间的距离公式求出A、B两点之间的距离即可；
（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可；
（3）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴A、B两点之间的距离为；
故答案为：，7，12；
（2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数，
依题意得：，
，
．
（3）解：设点P对应的数为x，
①当点P在点A的左侧时：
依题意得：
解得：
②当点P在点A和点B之间时：，依题意得：
解得：
③当点P在点B的右侧时：，依题意得：
解得：，
这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去，
综上所述，点P所对应的有理数分别是和且是P点分别运动到第23次和第8次的位置．
21．(1)；
(2)①1；②或
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离即可解答；
（2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解．
【详解】（1）解：∵A，B两点间的距离为10，点A表示的数为6，
∴，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点表示的数是，
故答案为：；．
（2）解：①∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点表示的数是，
∵点与点相遇，
∴，
解得，
答：当点运动1秒时，点与点相遇．
②根据题意得，，
解得或，
答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度．
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