19.2.3 一次函数与方程、不等式
第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式
一次函数与一元一次方程
1.直线y=kx+b(k≠0)经过点A(-1,0),B(0,2),则关于x的方程kx+b=0的解为 ( )
A.x=-1 B.x=0 C.x=1 D.x=2
2.(2024扬州中考)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为 .
3.如图,正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,3),一次函数的图象经过点B(1,1),与y轴的交点为D,与x轴的交点为C.
(1)求一次函数的解析式.
(2)求点D的坐标.
(3)求△COP的面积.
(4)不解关于x,y的方程,直接写出方程(k+3)x+b=0的解.
一次函数与一元一次不等式
4.(2024潍坊期末)如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点(-2,0)和(0,3),不等式kx+b<0的解集为 ( )
A.x<-2 B.x>-2 C.x<3 D.x>3
5.如图所示,一次函数y=ax+b(a,b为常数,且a>0)的图象经过点A(4,1),则不等式ax+b<1的解集为 .
1.(2024广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是 ( )
A B
C D
2.如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则不等式k(x-1)+b>0的解集是 ( )
A.x>-2 B.x>-1 C.x>0 D.x>1
3.(2024北京中考)在平面直角坐标系中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).
(1)求k,b的值.
(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=
-kx+3的值,直接写出m的取值范围.
4.(2024衡水武邑县月考)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,4)和点B(2,2).
(1)求该一次函数的解析式.
(2)当-4≤x≤2时,求函数y的最大值.
(3)直接写出不等式kx+b<0的解集.
5.(模型观念)如图,阅读与思考:在函数的学习过程中,我们利用描点法画出函数的图象,并借助图象研究该函数的性质,最后运用函数解决问题.现我们对函数y=|x+1|-2(x的取值范围为任意实数)进行探究.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 1 0 a -2 -1 0 1 b 3 …
(1)表中a= ,b= .
(2)请根据上表中的数据,在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出一条该函数图象的性质: .
(3)结合图象,可知不等式|x+1|-2≥0的解集是 .
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.x=-2
3.解:(1)∵正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,3),
∴-3m=3.解得m=-1.
∴点P(-1,3).
把点B(1,1)和P(-1,3)代入一次函数
y=kx+b,
得解得
∴一次函数的解析式是y=-x+2.
(2)由(1)知,一次函数的解析式是y=-x+2,
令x=0,则y=2,
∴点D(0,2).
(3)由(1)知,一次函数的解析式是y=-x+2,
令y=0,得-x+2=0,解得x=2.
∴点C(2,0).
∴OC=2.
∵点P(-1,3),
∴S△COP=OC·|yP|=×2×3=3.
(4)方程(k+3)x+b=0的解为x=-1.
4.A 5.x<4
课后提升
1.B 解析:A.不等式kx+b<0的解集是x>-2,故本选项不符合题意;B.不等式kx+b<0的解集是x<2,故本选项符合题意;C.不等式kx+b<0的解集是x<-2,故本选项不符合题意;D.不等式kx+b<0的解集是x>2,故本选项不符合题意.故选B.
2.C 解析:将一次函数y=kx+b(k>0)的图象向右平移1个单位长度,得直线y=k(x-1)+b.∵一次函数y=kx+b的图象过点(-1,0),∴一次函数y=k(x-1)+b的图象过点(0,0).画出一次函数y=k(x-1)+b的图象如图.
∴不等式k(x-1)+b>0的解集是x>0.故选C.
3.解:(1)∵直线y=-kx+3过点(2,1),
∴-2k+3=1.解得k=1.
将点(2,1)代入y=kx+b,得2×1+b=1.
解得b=-1.
(2)m的取值范围为m≥1.
解法提示:如图,∵当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx (m≠0)的值既大于函数y=x-1的值,也大于函数y=-x+3的值,
∴m的取值范围是m≥1.
4.解:(1)将点A(1,4),B(2,2)代入y=kx+b(k≠0),
得解得
∴该一次函数的解析式为y=-2x+6.
(2)∵y=-2x+6,k=-2<0,
∴y随着x的增大而减小.
∴当x=-4时,y有最大值,
此时y=-2×(-4)+6=14.
∴函数y的最大值为14.
(3)不等式kx+b<0的解集为x>3.
5.解:(1)-1 2
(2)结合表格,画出函数图象如下:
该函数图象关于直线x=-1对称(答案不唯一)
(3)x≥1或x≤-3第2课时 一次函数与二元一次方程组
一次函数与二元一次方程(组)的关系
1.如图,直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x-y=2的解的图象是 ( )
A B
C D
2.如图,在同一平面直角坐标系中作出一次函数y=k1x与y=k2x+b的图象,则二元一次方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
3.已知是关于x,y的二元一次方程-3x+y=b的一组解,求一次函数y=3x+b与y轴的交点坐标.
利用二元一次方程组求点的坐标
4.若关于x,y的二元一次方程组的解是则一次函数y=3x+1与y=kx(k是常数,k≠0)的图象的交点坐标是 .
根据两个一次函数图象的交点求不等式的解集
5.(2024沧州南皮县期末)一次函数y=kx+4与y=-3x+b的图象如图所示,已知二元一次方程组的解为则不等式kx+4>-3x+b的解集为 .
1.用图象法解某二元一次方程组时,在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是 ( )
A. B.
C. D.
2.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+m的图象和一次函数y=nx+1的图象交于点(-1,3),一次函数y=x+m的图象向下平移3个单位长度得到一次函数y=x+m-3,则关于x,y的二元一次方程组的解为 .
3.如图,一次函数y=kx+b(k≠0,k和b是常数)的图象分别交x轴和y轴于点B和点A,一次函数y=
mx+n(m≠0,m和n是常数)的图象分别交x轴和y轴于点D和点C,直线AB与CD交于点P(2,-1).
(1)①关于x的不等式kx+b≥mx+n的解集为 .
②关于x,y的二元一次方程组的解为 .
(2)若OC=OD,求直线CD的解析式.
4.(模型观念)类比探究题:
(1)【旧知复习】一次函数和方程(组)以及不等式之间有着密切的联系,通过一次函数图象可以求得一元一次方程的解、一元一次不等式的解集、二元一次方程组的解等.如图1,方程kx+b=0的解为 ;不等式kx+b>0的解集为 ;如图2,二元一次方程组的解为 ,不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集为 .
(2)【类比应用】类比一次函数的学习,可以延伸到其他函数,通过图象解决方程及不等式的问题.
如图3,函数y=-x2-3x+4的图象与x轴的交点为A(-4,0),B(1,0),则方程-x2-3x+4=0的解为 ;不等式-x2-3x+4>0的解集为 .
(3)【拓展拔高】如图4,函数y=-x2-3x+4的图象与过点(0,4)且平行于x轴的直线交于C(-3,4),D(0,4)两点.根据图象求:
①方程-x2-3x+4=4的解.
②不等式-x2-3x+4≤4的解集.
图1 图2 图3 图4
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.B
3.解:∵是关于x,y的二元一次方程-3x+y=b的一组解,
∴-3×3+7=b.
∴b=-2.
∴一次函数的解析式为y=3x-2.
∵当x=0时,y=-2,
∴一次函数y=3x+b与y轴的交点坐标为(0,-2).
4.(1,4) 5.x>2
课后提升
1.A 解析:设图中斜向下的一次函数解析式为
y=k1x+b1(k1≠0).
由图象可以看出,该函数图象经过(0,2),(2,0)两点,代入y=k1x+b1,
得解得
∴此函数的解析式为y=-x+2.
设图中斜向上的一次函数解析式为y=k2x+b2(k2≠0).
由图象可以看出,该函数图象经过(0,-1),(1,1)两点,代入y=k2x+b2,
得解得
∴此函数的解析式为y=2x-1.
故所解的二元一次方程组是
即故选A.
2. 解析:∵一次函数y=x+m的图象和一次函数y=nx+1的图象交于点(-1,3),
∴3=-1+m,3=-n+1,∴m=4,n=-2.∵一次函数y=x+4的图象向下平移3个单位长度得到一次函数y=x+1,∴一次函数y=x+1与y轴的交点坐标为(0,1).∵一次函数y=nx+1与y轴的交点坐标也是(0,1),∴一次函数y=x+m-3与一次函数y=nx+1的交点坐标为(0,1).∴关于x,y的二元一次方程组的解为
3.解:(1)①x≤2
②
(2)设点C(0,-t).
∵OC=OD,
∴点D(t,0).
把点C(0,-t),D(t,0)代入y=mx+n,
得解得
∴直线CD:y=x-t.
将点P(2,-1)代入,得2-t=-1.
解得t=3.
∴直线CD的解析式为y=x-3.
4.解:(1)x=2 x>2 x≤2
(2)x=-4或1 -4
①方程-x2-3x+4=4的解为x=-3或0.
②不等式-x2-3x+4≤4的解集为x≥0或x≤-3.
