第1章整式的乘除 单元培优测试卷
一、选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂相乘和相除、幂的乘方等知识，根据相关的法则运算即可得到答案.
【解析】A. 与不能进行合并，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选C
2．神舟十七号载人飞船航天员在空间站进行了一系列科学实验，其中包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．在此研究中，观测到某一蛋白质分子的直径仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【解析】解：用科学记数法表示为．
故选B．
3．的计算结果是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，熟练掌握平方差公式的运算法则是解题的关键；
通过变形将其转化为平方差公式直接解答即可．
【解析】解：
；
故选；D．
4．如果是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的形式，是解题的关键．
根据完全平方公式的结构形式，即可得到答案．
【解析】解：，
，
∴．
故选B．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查积的乘方，零指数幂，解答的关键是积的乘方法则的逆用．
逆用积的乘方法则和零指数幂计算，即可求解．
【解析】解：
，
故选D．
6．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键．
根据题意列出算式，然后化简求解即可．
【解析】解：∵
∴
．
故选A．
7．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方，将三个数全部化成底数为的幂，再进行比较即可得解．
【解析】解：，，，
∴，
故选A．
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
先利用幂的乘方的逆运算法则和同底数幂的除法的逆运算法则将化简为，然后代入即可解答．
【解析】解：，
∵，，
∴，
故选A．
9．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可．
【解析】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选D．
10．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（ ）个
①的展开式中的系数是9
②的展开式为：
③能被28整除
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查数字的变换类规律，解题的关键是读懂题意，找到“杨辉三角”的规律．求出的展开式中的系数即可判定①；由计算规律可判断②正确；将分解为，再将分解成即可判定．
【解析】解：由计算规律可得，的展开式中，字母部分因式依次为，，，…，
∴含的为第二项，
又由“杨辉三角”可知，的展开式中第二项的系数为n，
∴的展开式中含的项为，故①正确；
由计算规律可得，
，故②正确；
∵，
而
，
∴能被28整除，故③正确；
∴正确的有①②③，共3个；
故选D．
二、填空题（共6小题）
11．若，则口内应填的单项式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式除以单项式．注意将求内应填的代数式转化为单项式的除法来解答．
根据乘除是互逆运算，此题实际上求的值，所以根据单项式的除法运算法则进行计算即可．
【解析】解：
，
故答案为：．
12．若，则应满足条件 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了零指数幂，直接利用零指数幂的底数不为零得出答案．
【解析】解：，
则m应满足条件是：，
解得：．
故答案为：．
13．已知，则 ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，根据完全平方和公式及完全平方差公式展开，根据展开式的结构特征相加或者相减即可求出及的值，熟记完全平方公式是解决问题的关键．
【解析】解：，
，
两式相加得，
解得；
两式相减得，
解得；
故答案为：；．
14．若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“＜”连接）．
【答案】
【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等知识．根据相关法则计算后即可得到答案．
【解析】解：，，，
∵，
∴，
故答案为：
15．（1）若，则的值为 ；
（2）已知是一个完全平方式，则 k的值为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运用，完全平方公式，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运用，常数项是一次项系数一半的平方是解题的关键．
（1）由幂的乘方的逆运用，再由同底数幂的乘法法则即可解出．
（2）符合形式的式子叫完全平方，要明确常数项是一次项系数一半的平方，即可解题．
【解析】（1）
即
解得：
故答案为：2．
（2）是一个完全平方式，
故答案为：．
16．如图，把数字填入构成三角形形状的个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于，将每边四个数字的平方和分别记作，，已知．如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据题意求出以及的值是解答本题的关键．
先求数字的和，根据各边上的四个数字的和都等于求出，再求出，根据每边四个数字的平方和满足求出，最后根据得出结果．
【解析】解：数字的和为，
各边上的四个数字的和都等于，
，
，即，
又因为每边四个数字的平方和满足，且，
，
，即，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共7小题）
17．计算：
(1)
(2)；
(3)（m为正整数）．
【分析】此题考查了幂的乘方，同底数的乘法，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算幂的乘方和同底数的乘法，然后合并即可；
（2）首先计算同底数幂的乘法，然后合并即可；
（3）首先计算幂的乘方和积的乘方的逆运算，然后合并即可．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
18．计算：
(1)；
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先根据多项式除以单项式，单项式乘以单项式，再合并即可得出答案；
（2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可得出答案．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
19．求代数式的值：，其中，．
【分析】根据完全平方公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【解析】解：
，
当时，原式．
20．若的计算结果中不含x项和项．
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值
【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题：
（1）先计算多项式乘以多项式，根据结果中不含x项和项，得到x项和项的系数为0，列出方程，求出p、q的值即可；
（2）将代数式化简后，将（1）的结果代入求值即可．
【解析】（1）解：
，
∵计算结果中不含x项和项，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∴
，
．
21．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题：
(1)①若，则________；
②若，则________；
(2)若，求的值．
【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键．
（1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可；
（2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可．
【解析】（1）解：①∵，
∴；
② ，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
当时，；
当时，；
的值为27或．
22．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示的方法即可求解；
（2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解；
（3）根据材料提示，分别计算与的值，再运用整式加减运算即可求解．
【解析】（1）解：根据材料提示，
①．
②．
故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：
．
23．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．
【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键．
（1）根据计算即可；
（2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可；
（3）①根据得出，再结合即可求出；
②根据图象可得，化简后代入，即可求解；
【解析】（1）解：；
（2）解： ；
若是完全平方式，则；
（3）解：①∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
②由题意可知：
，
将，代入可得，原式．
第一章整式的乘除（单元重点综合测试）
一、选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．神舟十七号载人飞船航天员在空间站进行了一系列科学实验，其中包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．在此研究中，观测到某一蛋白质分子的直径仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．的计算结果是( )
A． B． C． D．
4．如果是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C．2 D．3
6．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（ ）
A． B． C． D．1
7．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
10．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（ ）个
①的展开式中的系数是9
②的展开式为：
③能被28整除
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共6小题）
11．若，则口内应填的单项式是 ．
12．若，则应满足条件 ．
13．已知，则 ， ．
14．若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“＜”连接）．
15．（1）若，则的值为 ；
（2）已知是一个完全平方式，则 k的值为 ．
16．如图，把数字填入构成三角形形状的个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于，将每边四个数字的平方和分别记作，，已知．如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为，那么的值为 ．
三、解答题（共7小题）
17．计算：
(1)
(2)；
(3)（m为正整数）．
18．计算：
(1)；
(2)
19．求代数式的值：，其中，．
20．若的计算结果中不含x项和项．
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值
21．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题：
(1)①若，则________；
②若，则________；
(2)若，求的值．
22．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
23．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．
