昆明市第一中学 2025 届高三年级第五次联考
数学试卷
本试卷共 4 页, 19 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 复数 的虚部为
A. B. C. D.
2. 已知集合 ,则
A. B. C.(1, - 1) D.
3. 设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列说法正确的是
A. 若 ,则
B: 若 ,则
若 ,则
D. 若 ,则
4. 已知 ,若 ,则
A. 5 B. 8 C. 9 D. 14
5. (人教 版选择性必修二教材 24 页习题 24 改编) 若 为圆 上两点,且 ,则
A. B. 1 C. 2 D. 4
6. 设函数 ,则使得 成立的 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 设等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则
A. 11 B. 9 C. 8 D. 6
8. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线 与双曲线的左、右两支分别交于 , 两点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则
A. 函数 的最大值为
B. 函数 是奇函数
C. 函数 在区间 单调递减
D. 函数 在 处的切线方程为
10. 对于一元线性回归模型, 下列说法错误的是
A. 对于随机误差 ,在刻画成对变量的相关关系时,需假定
B. 解释变量的取值距离样本数据范围越远, 预报的效果越差
C. 在经验回归方程 中,样本点(1,1.2)的残差为. -0.2
D. 在经验回归方程 中,当解释变量 每增加 1 个单位时,响应变量 平均减少 3 个单位
11. 函数 及其导函数 的定义域均为 是奇函数, ,且对任意 , ,则
A. B. C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,若过原点且斜率不为 0 的直线 与椭圆 相交于 两点,则 _____.
13. 已知正四棱锥 的底面边长为 4,侧棱长为 8,用平行于底面的平面截去一个四棱锥,且截面与底面的面积之比为 ,则剩余几何体的体积为_____.
14. 已知 ,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,其中第 15 题 13 分,第 16、17 题 15 分,第 18、19 题 17 分,共 77分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
某数学建模小组研究挡雨棚(图 1),将它抽象为柱体(图 2),底面 与 全等且所在平面平行, 与 各边表示挡雨棚支架,支架 垂直于平面 . 雨滴下落方向与外墙 (所在平面) 所成角为 (即 ),挡雨棚有效遮挡的区域为矩形 ( 分别在 延长线上).
（1）挡雨板 (曲面 ) 的面积可以视为曲线段 与线段 长的乘积. 已知 米 米, 米,小组成员对曲线段 有两种假设,分别为: ①其为线段且 ; ②其为以 0 为圆心的圆弧. 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积(精确到 0.1 平方米)；
(2) 小组拟自制 部分的支架用于测试 (图 3),其中 米, ,其中 ,求有效遮挡区域高 的最大值.
16. (15 分)
已知函数 .
(1) 求 的单调区间;
(2) 当 时,判断 与 的大小,并说明理由.
17. (15 分)
如图 1,在 中, ,将 沿 折起,使点 到达点 位置,连接 ,得到四棱锥 ,如图 2 .
(1)若平面 平面 ,在线段 上是否存在一点 ,使得 ,如果存在,指出点 的位置; 如果不存在,说明理由;
(2) 如图 3,若平面 平面 ,且点 为 的中点,求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (17 分)
已知圆 , 为圆 与 轴负半轴的交点,过点 作圆 的弦 ,并使弦 的中点 恰好落在 轴上,点 的轨迹为曲线 为直线 上的动点.
(1)求曲线 的方程；
(2) 过点 作曲线 的切线,切点分别为 .
① 求 的值；
② 求 面积的最小值.
19. (17 分)
材料一: 在伯努利试验中,记每次试验中事件 发生的概率为 ,试验进行到事件 第一次发生时停止,此时所进行的试验次数为 ,其分布列为 , 我们称 服从几何分布,记为 .
材料二: 求无穷数列的所有项的和,如求 ,没有办法把所有项真的加完,可以先求数列前 项和 ,再求 时 的极限:
根据以上材料, 我们重复抛掷一颗均匀的骰子, 直到第一次出现“6 点”时停止. 设停止时抛掷骰子的次数为随机变量 .
(1) 证明: ;
(2)求随机变量 的数学期望 ；
(3) 求随机变量 的方差 .
昆明市第一中学 2025 届高三年级第五次联考
数学参考答案
命题、审题组教师 杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 李春宣 吕文芬 蔺书琴 陈泳序 崔锦
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B C C D B
1. 解析: ,所以虚部为 ,选 A.
2. 解析: 由 得 ,所以 ,选 .
3. 解析: 对于 ,平面 相交也成立,所以 错误; 对于 或 ,所以 错误; 对于 , 直线 可以平行,相交或异面,所以 错误,选 C.
4. 解析: 由题有 ,所以 ,所以 ,选 B.
5. 解析: 取 的中点 ,连接 ,则 ,又 , ,所以 ,选 .
6. 解析: 因为 ,所以 在 上是增函数,又因为 ,所以 是奇函数,由 得 ,即 ,解得 ,选 C.
7. 解析: 因为 是等差数列,所以 ,由 ,得: ,所以 或 ,又因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,解得 ,选 D.
8. 解析: 由题,有 ,设 ,有 ,所以 , 因为 ,所以 ,
所以 ,所以 . 当 平行于渐近线时, 取最大值,此时 ,有 ; 当 与 轴重合时, 取最小值,此时 ,所以 , 所以 ,选 B.
二、多选题
题号 9 10 11
答案 AD CD ACD
9. 解析: 由 ,所以 的最大值为 , A 正确; 因为
,所以函数 不是奇函数, 错误; ,令 ,
在区间 单调递增,即 在区间 单调递增, 错误; 因为 ,
,所以 在 处的切线方程为 正确; 选 .
10. 解析: 对于 ,在一元线性回归模型刻画成对变量的相关关系时,需假定 正确; 对于 , 一般解释变量的取值在样本数据范围内, 经验回归方程的预报效果会比较好, 超出这个范围越远, 预报的效果越差, B 正确; 对于 ,当解释变量 时,预报值 ,所以残差为 0.2, 错误; 对于 D,当解释变量 每增加 1 个单位时,响应变量 平均减少 2 个单位, 错误. 选 .
11. 解析: 因为 的定义域为 ,且 是奇函数,所以 正确; 令 ,得
,因为 ,所以 错误; 令 ,得
,即 ,
因为 是奇函数,即 ,所以 ,即 是偶函数,
所以 ②,由①②得 ,
即 ,即 ,
所以 是周期为 3 的函数, ,且 ,所以 ,
, C 正确; 因为 ,所以 ,即
是周期为 3 的函数,且 是偶函数,所以 ,令 得
,所以 ,即 ,所以
正确,选 ACD.
三、填空题
12. 解析: 连接 ,由对称性,知四边形 为平行四边形,所以 .
13. 解析: 由题意知截面是边长为 2 的正方形,又因为正四棱锥 的高 ,
所以 .
14. 解析: 由 得 ,即
,即
,所以 ,即 ,即
,因为 ,所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立, 取得最大值 .
四、解答题
15. 解: (1) ① 其为直线段且 时, 米,
所以在 Rt 中, ,即 (米).
所以 (平方米); 3 分
② 其为以 为圆心的圆弧时,此时圆的半径为 (米),
圆心角 ,所以圆弧 的长 ,
所以 (平方米) 6 分
(2)由题意, ,
由正弦定理可得: , 9 分
即
,其中 , 12 分
当 ,即 时, (米).
即有效遮挡区域高 的最大值为 0.3 米. 13 分
16. 解: (1)函数 的定义域为 ,
且 , 3 分
当 时, ,当 或 时, ,
所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为(-1,0)和 . 6 分
(2)当 时, ,证明如下:
令 , 9 分
令 , 12 分
函数 在 上单调递增,则 ,即 ,
函数 在 上为增函数,当 时, ,
所以 . 15 分
17. (1) 证明: 在线段 上存在一点 ,使得 ,理由如下:
作 ,连接 ,则有 ,且 ,
又 ,且 ,所以 ,且 ,
所以四边形 是平行四边形,所以 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,且平面 ,所以 ,
所以在线段 上存在一点 ,使得 ,
且点 是 的一个三等分点靠近点 ; 7 分
(2)取 的中点 的中点 ,连接 ,
由平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,又因为 ,如图所示,
以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 轴, 轴,如图建立空间直角坐标系 ,
由题知 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
所以 ,可取 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18. 解: (1) 设 ,由题知 的中点 ,则 ,
由圆的性质知: ,所以 ,即
所以曲线 的方程为 . 5 分
(2)① 设 ,
求导得 ,则切线 的方程为: ,又 ,
所以切线 的方程为: ,同理,切线 的方程为: ,
又两条切线都过点 ,所以 ,则直线 的方程为 ,
由 消去 得: ,故 ,则 ,
所以 11 分
② 由 ①知,直线 恒过定点 , 由抛物线定义得: ,
所以 的面积: ,
当 时, 面积取得最小值 4 . 17 分
19. 解: (1) 可知 ,且 ,
所以 ,
则 . 6 分
( 2 )设 ,
所以 ,
两式相减得 ,
所以 ,
则随机变量 的数学期望 . .12 分
(3)因为
而 ,
两式相减:
从而 ,
那么 . 19 分
