题型1 几何体的归类 6
题型2 从不同方向看立体图形 7
题型3 由三视图猜想几何体 9
题型4 多个小正方体搭建的几何体 10
题型5 几何体的展开图 12
题型6 与立体图形有关的计算 14
◆ 知 识 清 单 ◆
1．立体图形 （1）棱柱、棱锥、棱台 （2）圆柱、圆锥、圆台、球 2．平面图形 （1）线段 （2）角 （3）三角形、长方形、圆…… 3．从不同方向看几何体 （1）从前面看（也叫主视图、正视图） （2）从左面看（也叫侧视图） （3）从上面看（也叫俯视图） 4．立体图形的展开图 5．点、线、面、体 （1）点、线、面、体的概念 （2）点、线、面、体之间的关系
1．几何图形
（1）几何图形：几何图形是从物体外形中抽象出的各种图形，分为立体
注意：物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容．物体的颜色、质量、材质等性质不是几何研究的内容．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分都不在同一平面内，它们是立体图形．
（3）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．
（4）立体图形与平面图形的区别与联系
立体图形 平面图形
区别 各部分都不在同一平面内 各部分都在同一平面内
联系 立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形
2．从不同方向看立体图形
从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．为了研究立体图形，一般从三个方向看：从前面看，从左面看，从上面看．
3．立体图形的展开图
（1）有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形．这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
（2）不是所有的立体图形都可以展开为平面图形．如球的表面就不能展开为平面图形．
（3）同一个立体图形，按不同方式展开，可以得到不同的展开图．
（4）正方体展开图，共11种图形．
记忆口诀：
中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河现；
中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三三连一线．
①“141”型（6种）
②“231”型（3种）
③“222”型（1种）
④“33”型（1种）
4．点、线、面、体
（1）点、线、面、体的概念
①体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体．几何体也简称体．
②面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种．
如下图的圆锥体有2个面，一个是平面，另一个是曲面．
如下图的六棱柱有8个面，它们都是平面．
如下图的圆柱有3个面，2个是平面，另一个是曲面．
③线：面与面相交的地方形成线．
线分为直线和曲线两种．如圆锥体的两个面相交形成曲线．
④点：线与线相交的地方形成点．
（2）点、线、面、体之间的关系
1．对于棱柱（棱锥），底面是几边形，就叫几棱柱（棱锥），如正方体、长方体、都是四棱柱，金字塔底面是四边形，其形状是四棱锥． 2．根据展开图判断立体图形形状的方法 （1）展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正方体； （2）展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥；
（3）展开图中有长方形（或正方形）和圆时，要考虑圆柱； （4）展开图中有扇形时，要考虑圆锥． 3．从不同方向看小正方体组合体的方法 （1）从前面看，所得的形状图反映几何体的左右列数和每一列的上下层数． （2）从左面看，所得的形状图反映几何体的前后行数和每一行的上下层数． （3）从上面看，所得的形状图反映几何体的前后行数和每一行的左右列数．
拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V－E=2，这就是欧拉定理，它于1640年由笛卡尔首先给出证明，后来欧拉于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为笛卡尔定理．
简单多面体中的欧拉公式：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式为V+F－E=2．
题型1 几何体的归类
【典例1】 （2024秋 淄博期中）如图，下列五个几何体中，柱体有 个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解答】解：左边第一个图是四棱锥；左边第二个图是圆柱；左边第三个图是圆锥；左边第四个图是三棱柱；左边第五个图是球；
综上分析可知，柱体有2个，故正确．
故选：．
【典例2】 （2024秋 保定期中）下列图形中，形状为圆锥的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：、图形是四棱锥，不符合题意；
、图形是三棱柱，不符合题意；
、图形是圆锥，符合题意；
、图形是球，不符合题意；
故选：．
【典例3】 （2024秋 濂溪区校级期中）下面的几何体中，属于棱柱的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：，选项中的图形是一个三棱柱，故选项符合题意；
，图形是一个球，故选项不符合题意；
，图形是一个圆柱，故选项不符合题意；
，图形是一个棱锥，故选项不符合题意．
故选：．
题型2 从不同方向看立体图形
【典例4】 （2024秋 金水区校级月考）如图所示，该几何体的左视图是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：该几何体的左视图为一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：．
【典例5】 （2023秋 绵阳期末）如图，分别从前面、左面、上面观察下列几何体，得到的平面图形相同的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：球从前面、左面、上面观察得到的平面图形都是圆，
故选：．
【典例6】 （2024 沙坪坝区模拟）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：从正面看到的图形为：
；
故选：．
题型3 由三视图猜想几何体
【典例7】 （2024秋 朝阳区期末）如图是一个几何体的三视图，则该几何体为下列选项中的
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【答案】
【解答】解：主视图和俯视图是长方形，左视图是三角形，
该几何体是三棱柱．
故选：．
【典例8】 （2024 安徽三模）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体不可能是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：由主视图和左视图得，下方立体图形可能为长方体或者圆柱，上方立体图形可能为圆柱或者正方体，且下方的立体图形比上方的大，故、、不符合题意，选项符合题意，
故选：．
【典例9】 （2024秋 大东区期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状为
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：根据俯视图发现该几何体为圆锥，、不符合题意，
根据主视图和左视图发现该几何体为圆柱和圆锥的结合体，符合题意，
故选：．
题型4 多个小正方体搭建的几何体
【典例10】 （2024秋 北镇市期中）用若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体至少需要小立方块的个数为
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】
【解答】解：在从上面看到的图形的相应位置标注所摆放的小正方体的个数如图所示：
所以最少需要个小正方体，
故选：．
【典例11】 （2024秋 薛城区期中）有一个立体图形，从左面看是，从正面和上面看都是，这个立体图形是下面的图形
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：从正面看到是，
和不符合题意，
从上面看到是，
不符合题意，
从左面看到的图形是，
这个立体图形的形状是．
故选：．
【典例12】 （2024秋 宽甸县月考）如图是某几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体从左面看到的形状图是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：从左面看去，一共看到有两列，左边一列有2个小正方形，右边一列有3个小正方形，
从左面看到的形状图（左视图）是
．
故选：．
题型5 几何体的展开图
【典例13】 （2024秋 海淀区期末）如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：根据正方体的表面展开图，可知该正方体可能为：
．
故选：．
【典例14】 （2024秋 北镇市期中）下面的图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，相对两个面上所标注的数互为相反数，则的值为
A．8 B． C． D．
【答案】
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，
“2”与“”，“ ”与“”是对面，
由于相对两个面上所标注的数互为相反数，
，，
即，，
，
故选：．
【典例15】 （2024秋 晋中期中）下列图形中可以作为一个三棱柱的表面展开图的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：根据题意可知，在三棱柱的表面展开图中，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形，
是三棱柱的展开图，符合题意．
故选：．
题型6 与立体图形有关的计算
【典例16】 （2024 齐齐哈尔）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
【解答】解：左视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故左视图的面积为3；
俯视图的底层是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图的面积为4；
所以该几何体左视图与俯视图的面积和是7．
故选：．
【典例17】 （2024秋 清流县期中）【提出问题】
有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，，，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：
【探究结论】
（1）请计算图1，图2，图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充如表：
长 宽 高 表面积
图1 16 6
图2 6 2
图3 16 2
完成上表，根据上表可知，表面积最小的是 所示的长方体．（填“图1”，“图2”，“图3” ．
【解决问题】
（2）现在有4个小长方体盒纸盒，每个的长、宽、高分别是、、，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 ．
【实践应用】
（3）元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张．请你帮忙商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？（接头处忽略不计）
【答案】（1）4，368，32，536，12，496，图1；
（2）236；
（3）最少需要18450平方厘米包装纸．
【解答】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积．
图2中，长为32，表面积．
图3中，宽为12，表面积．
长 宽 高 表面积
图1 16 6 4 368
图2 32 6 2 536
图3 16 12 2 496
故答案为：4，368，32，536，12，496，图1；
（2）最小面积；
（3）根据三视图可知有4个长方体礼盒．
每个长方体礼盒的长宽高分别为，，．
这要使包装的纸最少，应该把每个长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为（厘米），
依题意，．
答：最少需要18450平方厘米包装纸．
【典例18】 （2024秋 漳州期中）如图，是一个几何体的表面展开图，那么：
（1）该几何体与重合的点是 ．
（2）若，，则该长方体的表面积和体积分别是多少？
【答案】（1）点和点；
（2）表面积是，体积是．
【解答】解：（1）由题意知，该几何体与重合的点是点和点，
故答案为：点和点；
（2）该长方体的表面积为：，，
答：该长方体的表面积是，体积是．
一、选择题（共10小题）
1．（2024秋 沈阳校级期末）如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：，竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高 ．
A．1.6 B．2 C．6 D．6.4
2．（2024秋 市中区校级期末）将一个各面上分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体表面按不同的方式展开，下面四个图中有三个图是该正方体表面展开图，则不是该正方体表面展开图的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 金台区校级期末）如图是由一个长方体和一个正方体组成的几何体，它的主视图是
A． B．
C． D．
4．（2024秋 榆次区期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是
A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等
C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形
5．（2024秋 建华区期末）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图和俯视图都不发生变化，则应取走
A．① B．② C．③ D．④
6．（2024秋 泉山区校级期末）如图是一些大小相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的形状图，则这个几何体只能是
A． B．
C． D．
7．（2023秋 锦江区校级期末）这是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的主视图
A． B．
C． D．
8．（2023秋 双城区期末）用6个相同的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形（如图），图形中的数表示在这个位置上所用的小正方体的个数，那么从前面看到的图形是
A． B．
C． D．
9．（2024秋 夏邑县期中）左下方是由8个棱长为1个单位长度的小立方体组成的立体图形（如图所示），从正面看这个立体图形得到的平面图形是
A． B．
C． D．
10．（2024秋 博爱县期中）如图是一个正方体的展开图，若在其中的三个正方形，，内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形，，的三个数依次为
A．0，5， B．5，0， C．0，，5 D．0，5，3
二、填空题（共10小题）
11．（2023秋 深圳期末）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ．
12．（2024秋 晋中期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图分别如图所示．根据所给的两个形状图判断搭成该几何体，最多需要 个小立方块．
13．（2024秋 利津县期中）如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为 ．
14．（2024 立山区校级模拟）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是 ．
15．（2024 温江区校级模拟）某立体图形是由相同的正方体拼成，该立体图形的三视图如图所示，则正方体共有 个．
16．（2024秋 宁化县期中）一物体外形是正方体，其内部构造不详，用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图），则这个正方体的内部构造可能是空了一个 体．
17．（2024秋 公主岭市期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的边长是 ．
18．（2024秋 淄博期中）根据三视图，这个几何体的侧面积是 ．
19．（2024秋 蔡甸区校级期中）工艺玩具厂师傅要把14个棱长为的正方体摆在地面上成如图形状，然后他把露出的表面都喷涂上不同的颜色，则被他喷涂上颜色部分的面积为 ．
20．（2024秋 文昌期中）如图，是一个正方体表面的展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反数，则的值为 ．
三、解答题（共6小题）
21．（2024秋 徐州校级期末）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体
（1）用粗实线画出该几何体的从正面看、从左面看、从上面看到的形状图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图不变，那么最多可以再添加 块小立方块．
22．（2023秋 泰山区期中）用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它满足以下条件：从正面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示．
（1）这样的几何体最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？
（2）请你画出最多小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，并在小正方形内标注该位置小正方体的个数．
23．（2024秋 市中区校级期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）动手操作
现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图，请你帮助小明在图1中补全图形（补出来一种即可）；
（2）解决问题
经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，它的边长是长方体高的5倍，根据图1中的数据，求这个纸盒的体积．
24．（2024秋 南关区期末）在学习了“包装中的智慧”之后，小明同学尝试用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如图所示（单位：，其中阴影部分为内部粘贴角料：请结合图形解决下列问题：
（1）此长方体包装盒的体积为 （用含，的式子表示）；
（2）若内部粘贴角料的面积占长方体包装盒表面积的，求当，时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方厘米（含内部粘贴角料）？
25．（2024秋 桓台县期中）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为，求的值．
26．（2024秋 九台区期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他可以粘贴到①中的 种不同位置？
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积及表面积．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C D A A A D A
一、选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：
（厘米），
答：横放时液体高6.4厘米．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，
由选项的展开图可知“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面，
由选项的展开图可知“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面，
由选项的展开图可知“1”与“3”，“2”与“6”，“4”与“5”是对面，
由选项的展开图可知“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面，
选项、、中的对面是相同的，只有选项的不同，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：从正面看，可得选项的图形．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形分析判断可知：
．笔筒可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意；
．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意；
．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意；
．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意；
故选：．
5．【答案】
【解答】解：若取走标有④的小正方体，则新几何体的左视图和俯视图都不发生变化，故选项符合题意．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：如图是一些大小相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的形状图，
只有选项的几何体符合题意．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
故选：．
8．【答案】
【解答】解：根据题意，从前面看到的图形是：
故选：．
9．【答案】
【解答】解：从正面看，一共有3层，底层是四个小正方形，中层中间处是两个小正方形，上层中间处是一个小正方形．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“”与“0”是相对面，
“”与“”是相对面，
“”与“3”是相对面，
相对的面上的两个数互为相反数，
填入正方形、、内的三个数依次为0，5，．
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【解答】解： “5”与“”是对面，“”与“”是对面，
，，
解得，，
．
故答案为：．
12．【答案】9．
【解答】解：从上面看到的图形中上面两行的层数都是1层，下面一行的层数最多为2层，
最多需要的小立方体个数为（个，
故答案为：9．
13．【答案】．
【解答】解：根据主视图可知等边三角形的边长为，进而可得其边长即侧面长方形的长为，
该几何体的侧面面积是：，
故答案为：．
14．【解答】解：观察三视图知：该几何体为三棱柱，高为，长为，
侧面积为：．
则这个几何体的侧面积是．
故答案为：36
15．【答案】6．
【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图，底层有4个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是个．
故答案为：6．
16．【答案】圆锥．
【解答】解：由7次截面的形状图可知，这个正方体的内部构造可能是空了一个圆锥体，
故答案为：圆锥．
17．【答案】5．
【解答】解：由图形可知：底面正方形的边长，
故答案为：5．
18．【答案】．
【解答】解：由题意可知，这个几何体是圆柱，侧面积是：．
故答案为：．
19．【答案】33．
【解答】解：最上层，侧面积为，上表面面积为，总面积为，
中间一层，侧面积为，上表面面积为，总面积为，
最下层，侧面积为，上表面面积为，总面积为，
所以被他涂上颜色部分的面积为：．
故答案为：33．
20．【答案】1．
【解答】解：利用正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得和“”相对的面是“6”，和“”相对的面是“”，和“”相对的面是“”．
在原正方体中，相对的两个面上的数字之和为5，
，，，
，，．
．
故答案为：1．
三、解答题（共6小题）
21．【答案】（1）见解析；（2）4．
【解答】解：（1）从正面看、从左面看、从上面看视图如下：
（2）从正面看和从左面看的形状图不变，
从前往后，第一排第一层的第二、三列（从左往右）可以各添加一个；第二排第一层的第三列可以添加1块，第二层的第三列可以添加1块，总共可以添加2块小立方块；故总共可以添加4块小立方块．
故答案为：4．
22．【答案】（1）最少需要7个小正方体，最多需要9个小正方体；
（2）见解答．
【解答】解：由从正面看到的形状图可以看出几何体从左到右共三列，第一列最多1层，第二列最多3层，第三列1层；由从左面看到的形状图可以看出，几何体共两排，第一排最多3层，第二排最多2层；
它最少需要小正方体：（个，最多需要小正方体：（个，
（2）最多小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图如图所示：
23．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）长方体纸盒的底面是一个正方形，
正方形的边长为，
底边边长是长方体的高的5倍，
高为，
体积：，
答：这个纸盒的体积为．
24．【答案】（1）；
（2）396．
【解答】解：（1）由四棱柱表面展开图的特征可知，这个长方体的长为 ，宽为 ，高为，
所以体积为，
故答案为：；
（2）这个长方体包装盒的表面积为，
内部粘贴角料的面积占长方体包装盒表面积的，
所以需要纸板的总面积为，
当，时，
．
答：制作这样一个长方体共需要纸板396平方厘米．
25．【答案】2．
【解答】解：由题意知，与是相对两面的字，与4是相对两面的字，与12是相对两面的字，
相对面上的两个数之和为，
，，，
则，，，
原式
．
26．【答案】（1）8；
（2）4；
（3）这个长方体纸盒的体积为200000立方厘米．这个长方体纸盒的表面积为：28000平方厘米．
【解答】解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：
故答案为：4；
（3）长方体纸盒的底面是一个正方形，
可设底面边长 ，
长方体纸盒所有棱长的和是，长方体纸盒高为，
，
解得，
这个长方体纸盒的体积为：立方厘米．
这个长方体纸盒的表面积为：平方厘米．
