2024-2025学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C． D．y＝x3+x2﹣1
2．（2分）天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（ ）
A．上海明天将有85%的时间下雨
B．上海明天将有85%的地区下雨
C．上海明天下雨的可能性很大
D．上海明天下雨的可能性很小
3．（2分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
4．（2分）如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）如图⊙P经过点A（0，）、O（0，0）、B（1，0），点C在第一象限的上，则∠BCO的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2分）已知二次函数y1＝a（x﹣m）（x﹣n）与一次函数y2＝kx﹣km．若函数y＝y1+y2的图象与x轴只有一个公共点，则（ ）
A．a（m﹣n）＝k B．a（n﹣m）＝k C．k（m﹣n）＝a D．k（n﹣m）＝a
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2分）若x：y＝2：3，则＝ ．
8．（2分）二次函数y＝x2﹣2的图象的顶点坐标是 ．
9．（2分）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝ ．（保留根号）
10．（2分）一元二次方程x2+mx+2m＝0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝ ．
11．（2分）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
12．（2分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，P是上一点，则∠CPD＝ °．
13．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一点，且AB＝AD．若BD＝1，则AB的长为 ．
14．（2分）在四边形ABCD中，AD∥EF∥BC，∠A＝90°，．若AD＝3，BC＝6，则＝ ．
15．（2分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若﹣4＜b＜1，则m的取值范围是 ．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，D是AB的中点，连接CD，过点D作DE⊥CD，交AC于点E．将△ADE沿直线DE翻折，点A落在F处，DF交AC于点G，则CG的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x（x﹣2）＝x﹣2．
18．（8分）甲、乙两人分别从A，B，C三个检票通道中随机选择一个通道进入游乐园．
（1）甲选择A检票通道的概率是 ．
（2）求甲、乙选择同一个检票通道的概率．
19．（8分）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．
（1）分别求这两家酒店7～12月的月盈利的平均数；
（2）已知A，B两家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073万元2，0.54万元2，结合折线统计图，分析这两家酒店的经营状况．
20．（7分）如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，∠B＝45°．求证AB＝CD．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）设方程的两个根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE∽△ACD．
23．（8分）某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每提高1元，销售量将减少10件．销售价格是多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？
24．（7分）对于三个不相等的实数a，b，c，我们规定符号max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，如：max{﹣1，0，2}＝2．
（1）若max{1，2x，x2+3}＝7，求x的值；
（2）当0＜x＜1时，max{x，kx+1，x2}＝kx+1，直接写出k的取值范围．
25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC∥AE．
（1）求证AB＝AC；
（2）求证△ADE∽△BDA；
（3）若AC⊥BD，BC＝4，，则AE的长为 ．
26．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（2，1），（﹣1，﹣2）两点，对称轴为直线x＝m．
（1）该函数的图象与x轴的公共点的个数是 ．
A.0
B.1
C.2
（2）当a＞0时，试说明．
（3）若点A（﹣2，y1），B（0，y2）都在该函数的图象上．当y1＜y2时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
27．（10分）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光……
已知∠A＝45°，点D，E在AC上，DE＝10，点P在AB上，连接PD，PE，作△PDE的外接圆⊙O．
（1）当AD＝6时，
（Ⅰ）如图①，若PE是⊙O的直径，则⊙O的半径为 ；
（Ⅱ）如图②，若，求⊙O的半径．
（2）当AD＝10时，如图③，若⊙O与AB相切于点P，用直尺和圆规作出点P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（3）设AD＝m，对于每一个m的值，⊙O的半径随着点P的位置的变化而变化，直接写出⊙O的半径的最小值及对应的m的取值范围（可用含m的式子表示）．
2024-2025学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C A B B B
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝x2﹣1 C． D．y＝x3+x2﹣1
选：B．
2．（2分）天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（ ）
A．上海明天将有85%的时间下雨
B．上海明天将有85%的地区下雨
C．上海明天下雨的可能性很大
D．上海明天下雨的可能性很小
选：C．
3．（2分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
选：A．
4．（2分）如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
选：B．
5．（2分）如图⊙P经过点A（0，）、O（0，0）、B（1，0），点C在第一象限的上，则∠BCO的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
选：B．
6．（2分）已知二次函数y1＝a（x﹣m）（x﹣n）与一次函数y2＝kx﹣km．若函数y＝y1+y2的图象与x轴只有一个公共点，则（ ）
A．a（m﹣n）＝k B．a（n﹣m）＝k C．k（m﹣n）＝a D．k（n﹣m）＝a
选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2分）若x：y＝2：3，则＝ ．
8．（2分）二次函数y＝x2﹣2的图象的顶点坐标是 （0，﹣2） ．
9．（2分）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2，则AP＝ ﹣1 ．（保留根号）
10．（2分）一元二次方程x2+mx+2m＝0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝ ﹣2 ．
11．（2分）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 10 cm．
12．（2分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，P是上一点，则∠CPD＝ 36 °．
13．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一点，且AB＝AD．若BD＝1，则AB的长为 2 ．
14．（2分）在四边形ABCD中，AD∥EF∥BC，∠A＝90°，．若AD＝3，BC＝6，则＝ ．
15．（2分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若﹣4＜b＜1，则m的取值范围是 ﹣2＜m＜3 ．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，D是AB的中点，连接CD，过点D作DE⊥CD，交AC于点E．将△ADE沿直线DE翻折，点A落在F处，DF交AC于点G，则CG的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x（x﹣2）＝x﹣2．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x﹣1）（x+5）＝0，
则x﹣1＝0或x+5＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣5．
（2）3x（x﹣2）＝x﹣2，
3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
所以．
18．（8分）甲、乙两人分别从A，B，C三个检票通道中随机选择一个通道进入游乐园．
（1）甲选择A检票通道的概率是 ．
（2）求甲、乙选择同一个检票通道的概率．
【解答】解：（1）∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道，
∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况．
∴P（选择A）＝．
故答案为：；
（2）由题意列树状图得，
由图可以看出，
甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况，
其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种，
∴P（甲乙两人选择的通道相同）＝＝．
19．（8分）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．
（1）分别求这两家酒店7～12月的月盈利的平均数；
（2）已知A，B两家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073万元2，0.54万元2，结合折线统计图，分析这两家酒店的经营状况．
【解答】解：（1）A家酒店月盈利的平均值：＝2.5（万元），
B家酒店月盈利的平均值：＝2.3（万元）；
（2）A酒店经营状况较好，
A酒店营业额的平均值大于B酒店，且由折线统计图可知A酒店的营业额持续稳定增长，潜力大．
20．（7分）如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，∠B＝45°．求证AB＝CD．
【解答】证明：如图，连接OA，OB，OC，OD，
∵弦AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BCE＝∠ABC＝45°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝CD．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）设方程的两个根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝12﹣4×a×（﹣a﹣1）＝1+4a2+4a＝（2a+1）2≥0，
∴方程总有实数根．
（2）解：∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴，，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝＝0．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE∽△ACD．
【解答】证明：（1）∵，
∴△ABC∽△AED，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAB﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF，
∴∠1＝∠2；
（2）∵，
∴＝，
又由（1）知，∠1＝∠2，
∴△ABE∽△ACD．
23．（8分）某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售600件；售价每提高1元，销售量将减少10件．销售价格是多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：设销售价格是x元时，才能获得最大利润，最大利润是w元，
由题意得：w＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝﹣10（x﹣65）2+12250≤12250，
即销售价格是65元时，才能获得最大利润，最大利润是12250元．
24．（7分）对于三个不相等的实数a，b，c，我们规定符号max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，如：max{﹣1，0，2}＝2．
（1）若max{1，2x，x2+3}＝7，求x的值；
（2）当0＜x＜1时，max{x，kx+1，x2}＝kx+1，直接写出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵max{1，2x，x2+3}＝7，
∴2x＝7或x2+3＝7，
当2x＝7时，x＝，
则x2+3＝+3＝＞7，不合题意，
当x2+3＝7时，x＝2或﹣2，
则x＝2时，2x＝4＜7，x＝﹣2时，2x＝﹣4＜7，符合题意；
∴若max{1，2x，x2+3}＝7，x的值为2或﹣2；
（2）∵0＜x＜1，
∴x﹣x2＝x（1﹣x）＞0，
∴x＞x2，
∵max{x，kx+1，x2}＝kx+1，
∴kx+1≥x，
对于y＝x，当x＝1时，y＝1，
由题意可知直线y＝x与直线y＝kx+1的交点坐标为（1，1），
所以k的取值范围是：0≤k≤1．
25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC∥AE．
（1）求证AB＝AC；
（2）求证△ADE∽△BDA；
（3）若AC⊥BD，BC＝4，，则AE的长为 ．
【解答】（1）证明：连接AO，并延长交BC于点F，
∵AE是⊙O的切线，
∴AF⊥AE，
即∠EAF＝90°，
∵BC∥AE，
∴∠AFC＝90°，
即AF⊥BC，
∴，
∴AB＝AC，
（2）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°．
∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BDA＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠BDA，
∵BC∥AE，
∴∠E+∠BCD＝180°，
∴∠E＝∠BAD，
在△ADE和△CAE中，∠ADE＝∠BDA，∠E＝∠BAD，
∴△ADE∽△BDA．
（3）解：由题意得∠BAN＝∠CAN＝∠CBN．
∵AC⊥BD，
∴∠AGF＝90°＝∠AMB，
∴∠FBM＝∠CAN，
∴∠FBM＝∠CAN＝∠CBN＝∠BAN＝∠CAD，
∴△ABF≌△ACD（ASA），△MBF≌△MBN（ASA），
∴BF＝CD＝BN＝，
∵BC＝4，
∴BM＝CM＝2，
∴FM＝MN＝1，
∵∠BAM＝∠NBM，∠AMB＝∠BMN，
∴△ABM∽△BNM，
∴，
∴AM＝4．
∴，AF＝AD＝3．
∵BC AM＝AC BG，
∴，
∴，DG＝，
∴．
∵△ADE∽△BDA，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
26．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（2，1），（﹣1，﹣2）两点，对称轴为直线x＝m．
（1）该函数的图象与x轴的公共点的个数是 C ．
A.0
B.1
C.2
（2）当a＞0时，试说明．
（3）若点A（﹣2，y1），B（0，y2）都在该函数的图象上．当y1＜y2时，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【解答】（1）解：由题意得：，
解得：，
则Δ＝b2﹣4ac＝（1﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣1）＝9（a+）2+＞0，
故函数的图象与x轴的公共点的个数为2，
故选：C；
（2）证明：∵a＞0，
则x＝m＝﹣＝＝﹣；
（3）解：当a＞0时，
当x＝﹣2和x＝0在对称轴的右侧时，y1＜y2时成立，
即m＜﹣2，则当x＝﹣2和x＝0在对称轴的左侧时，不等式不成立，
即m＜﹣2；
当x＝﹣2和x＝0在对称轴的两侧时，要使y1＜y2时成立，
则0﹣m＞m﹣（﹣2），则m＜﹣1，
即m＜﹣1；
当a＜0时，
当x＝﹣2和x＝0在对称轴的左侧时，y1＜y2时成立，
即m＞0，则当x＝﹣2和x＝0在对称轴的右侧时，不等式不成立，
即m＞0；
当x＝﹣2和x＝0在对称轴的两侧时，要使y1＜y2时成立，
则0﹣m＜m﹣（﹣2），则m＞﹣1，
即m＞﹣1；
综上，m≠﹣1．
27．（10分）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光……
已知∠A＝45°，点D，E在AC上，DE＝10，点P在AB上，连接PD，PE，作△PDE的外接圆⊙O．
（1）当AD＝6时，
（Ⅰ）如图①，若PE是⊙O的直径，则⊙O的半径为 ；
（Ⅱ）如图②，若，求⊙O的半径．
（2）当AD＝10时，如图③，若⊙O与AB相切于点P，用直尺和圆规作出点P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（3）设AD＝m，对于每一个m的值，⊙O的半径随着点P的位置的变化而变化，直接写出⊙O的半径的最小值及对应的m的取值范围（可用含m的式子表示）．
【解答】解：（1）（Ⅰ）∵作△PDE的外接圆⊙O，
∴PD⊥AE，即∠ADP＝90°，
∵∠A＝45°，
∴AD＝PD＝6，
∵DE＝10，
由勾股定理得PE＝＝＝2，
∵PE是⊙O的直径，
∴⊙O的半径＝，
故答案为：．
（Ⅱ）如图，过点O、P作AC的垂线，垂足分别为G、F，过点O作OH⊥PF，垂足为H，连接OP、OD，
∵PF⊥AF，，∠BAC＝45°，
∴PF＝AF＝12，
∴DF＝AF﹣AD＝6，EF＝AE﹣AF＝4，
∵在⊙O中，OG⊥DE，
∴DG＝EG＝5，
∵∠OGF＝∠GFH＝∠OHF＝90°，
∴四边形OGFH为矩形，
∴OH＝GH＝DF﹣DG＝1，HF＝OG．
设HF＝OG＝x，则PH＝12﹣x，
在Rt△ODG和Rt△OHP中，由勾股定理得OD2＝OG2+DG2，OP2＝OH2+PH2，
∴OG2+DG2＝OH2+PH2，
即x2+52＝12+（12﹣x）2，
解得x＝5，
∴OD＝＝5，
即r＝5．
（2）如图，作AE的垂直平分线交AB于点P，则点P即为所求；
（3）以DE为直径的圆与AB相切时，，
1°当时，r＝5；
2°当时，
设OP＝OD＝r，则，，
在Rt△OGD中，由勾股定理得OD2＝OG2+DG2，
即，
解得．
综上，当时，r＝5；当时，．
