浙江省义乌市绣湖中学2024-—2025学年九年级上学期九月份月考数学试题
1．（2024九上·义乌月考）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为，
∴新抛物线的顶点坐标为，
故答案为∶D．
【分析】
根据平移的规律“左加右减，上加下减”逐项判断即可．
2．（2024九上·义乌月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①，是二次函数，符合题意；
②，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
③，整理后是二次函数；
④，整理后是二次函数；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”解题即可．
3．（2024九上·义乌月考）抛物线y＝－x2不具有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．与y轴不相交 D．最高点是原点
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】抛物线y=-x2的二次项系数为-1，故抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），最高点为原点，对称轴为y轴，与y轴交于（0，0）.
∵抛物线y=-x2的二次项系数为-1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），A不符合题意；
∴最高点为原点，对称轴为y轴，B、D不符合题意；
与y轴交于（0，0），C符合题意，
故答案为：C.
【分析】（1）因为a=-1＜0，所以图像开口向下；
（2）顶点坐标（0，0），对称轴为y轴；
（3）因为y=-x2的图像的顶点在原点，所以图像与y轴相交；
（4）由（1）（3）可知，图像的最高点是原点.
4．（2024九上·义乌月考）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝ 4ac＝16＋4k＞0，
解得．
故答案为：B．
【分析】利用判别式得到16＋4k＞0，解不等式解题．
5．（2024九上·义乌月考）关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为直线y=3
C．当x≥3时，y随x增大而增大 D．当x≥3时，y随x增大而减小
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： A、y=2（x﹣3）2+2 顶点坐标为（3,2），不符合题意；
B、对称轴为x=3, 不符合题意；
CD、 当x≥3时，y随x增大而增大，C符合题意, D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 二次函数求顶点坐标和对称轴，用配方法，当a>0时，在对称轴右方y随x增大而增大，在对称轴右方，y随x的增大而减小.
6．（2024九上·义乌月考）已知点 、 、 在函数 上.则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由函数y＝2（x+1）2 可知，
该函数的抛物线开口向上，且对称轴为x=-1.
∵A（1，y1）、B（ ，y2）、C（-2，y3）在函数y＝2（x+1）2 上的三个点，
且三点的横坐标距离对称轴的远近为：
A（1，y1）、C（-2，y3）、B（ ，y2），
∴y1＞y3＞y2.
故答案为：B.
【分析】利用二次函数解析式求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的增减性可得到y1，y2，y3的大小.
7．（2024九上·义乌月考）二次函数的图象如图，且则（ ）
A． B． C． D．以上都不是
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴点A、C的坐标为(-c，0)，(0，c)，
∴把点A的坐标代入得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据图像可得点A、C的坐标为(-c，0)，(0，c)，代入可得，然后整理即可解题．
8．（2024九上·义乌月考）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n=0没有实数根，则抛物线y=x2﹣x﹣n的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣n的对称轴x=﹣=，
∴可知抛物线的顶点在y轴的右侧，
又∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n=0没有实数根，
∴开口向上的y=x2﹣x﹣n与x轴没有交点，
∴抛物线y=x2﹣x﹣n的顶点在第一象限．
故选A．
【分析】求出抛物线y=x2﹣x﹣n的对称轴x=，可知顶点在y轴的右侧，根据x2﹣x﹣n=0在实数范围内没有实数根，可知开口向上的y=x2﹣x﹣n与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第一象限．
9．（2024九上·义乌月考）抛物线过和，且对称轴为直线．现有下面四个推断：①若，则；②若，则；③若，则；④存在实数，使得为定值．其中推断正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线过和，
∴，解得：，
∴抛物线为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，则，
解得：，经检验，符合题意，故①符合题意；
当，则，
∴，
当时，，当时，恒成立，
∴或，故②不符合题意；
当时，则，
∴，
∴当时，，此时，当时，不等式不成立，故③不符合题意；
∵，
∴
；
当即，为定值；故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】把和代入，可得，即可得到对称轴为直线，再结合，，，列立方程或不等式可判断①②③，再将代入结合多项式的无关型可判断④．
10．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线，x轴交于点，
∴，与x轴另一个交点为，
∴，当时，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
即，故②不正确，不符合题意；
③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意；
④由图可知，顶点在第二象限，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，，
∴，
当时，对应x的值在左侧，右侧，
∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有①④⑤，
故答案为：D．
【分析】根据图像得到，即可判断①；得到对称轴为，求出与x轴另一个交点坐标为，即可得到，代入可得，即可判断②；根据函数得增减性判断③；根据顶点在第二象限，即可得到判断④；先得到二次函数解析式为，利用函数图象判断⑤．
11．（2024九上·义乌月考）若函数是二次函数，则的值为 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，∴m2+m=2，且m-1≠0，
∴m= 2．
故答案为：-2．
【分析】利用二次函数的定义得到m2+m=2，且m-1≠0，即可解题．
12．（2024九上·义乌月考）将抛物线绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
由于抛物线绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，
∴所得抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】本题考查二次函数图象的旋转变换.抛物线绕其顶点旋转后，根据抛物线的顶点坐标不变，只有开口方向相反，可根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式为：，进而可求出答案．
13．（2024九上·义乌月考）设、是常数，且，抛物线为图中四个图象之一，则的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：从左往右的图像依次为第一个图像，第二个图像，第三个图像，第四个图像，
∵第一个、第二个图像都有：当时，；当时，，
∴，
解得：，与已知矛盾，
∴排除第一个、第二个图像；
∵第三个图像：，，
∴，与已知矛盾，
∴排除第三个图像，
∴抛物线的图像是第四个图，
由图像可知，抛物线经过原点，且开口向下即，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】
由，排除前两个图像，第三个图像，，得到排除③，即可得到抛物线的图像是第四个图，然后求的值即可．
14．（2024九上·义乌月考）已知二次函数，当x分别取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ．
【答案】2023
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数，当x分别取时，函数值相等，
，
，
，
当x取时，，
故答案为：2023．
【分析】根据二次函数的对称性可得，进而可得当x取时的函数的值即可．
15．（2024九上·义乌月考）如图，我校为科技节获奖的同学举办颁奖典礼，颁奖现场入口为一个抛物线形拱门．小丽要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点 E）到的距离为 0.25米，米，米，则点C到的距离为 米．
【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，
∵，
∴，
∵最高点的五角星（点 E）到的距离为0.25米，
∴，代入解析式得，
∴，
∵，
∴，
设，代入解析式得，
，
∴，即点C到的距离为2.25-0.25=2米．
【分析】以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立平面直角坐标系，然后根据待定系数法求函数解析式，再把D点坐标代入计算即可．
16．（2024九上·义乌月考）如图所示，抛物线y＝x2+2x﹣3顶点为Q，交x轴于点E、F两点（F在E的右侧），T是x轴正半轴上一点，以T为中心作抛物线y＝x2+2x﹣3的中心对称图形，交x轴于点K、L两点（L在K的右侧），已知∠FQL＝45°，则新抛物线的解析式为 ．
【答案】y＝﹣x2+18x﹣77
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；中心对称的性质；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴Q（﹣1，﹣4），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴E（﹣3，0），F（1，0），
作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，
∵∠FQL＝45°，
∴△QFM为等腰直角三角形，
∴FQ＝FM，
∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，
∴∠PQF＝∠MFN，
∴△PQF≌△NFM（AAS），
∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，
∴M（5，﹣2），
设直线QL的解析式为y＝kx+b，
把Q（﹣1，﹣4），M（5，﹣2）代入得
，
解得，
∴直线QL的解析式为y，
当y＝0时，0，解得x＝11，
∴L（11，0），
∵点E（﹣3，0）和点L（11，0）关于T对称，
∴T点坐标为（4，0），
∵点F与点K关于T点对称，∴K（7，0），
∵新抛物线与抛物线y＝x2+2x﹣3关于T对称，
∴新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣7）（x﹣11），
即y＝﹣x2+18x﹣77．
故答案为y＝﹣x2+18x﹣77．
【分析】先求出顶点的坐标，然后令求得点的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，得到△PQF≌△NFM（AAS），即可求出点的坐标，得到直线QL的解析式，得到L，T的坐标，根据中心对称的性质得到K（7，0），再利用待定系数法求函数解析式即可．
17．（2024九上·义乌月考）已知二次函数．
（1）写出顶点坐标，对称轴；
（2）直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴当时，则，
∴或，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）化为顶点式，写出抛物线的顶点坐标和对称轴解题；
（2）先令，求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据抛物线在x轴上方的取值范围解题即可．
（1）解：∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴当时，则，
∴或，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，．
18．（2024九上·义乌月考）已知二次函数的图象经过点A(1，2)和B(0，－1)且对称轴为x=2．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）抛物线上点P(2，m)在图象上，求△PAB的面积．
【答案】解：（1）设（a≠0），
∵二次函数的图象经过点A(1，2)和B(0，－1)且对称轴为：直线x=2，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）∵点P(2，m)在图象上，
∴=3，即：P(2，3)，
如图，过点P作PF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，则PF=2，AG=1，FG=3-2=1，BG=3，BF=4，
∴，，，
∴△PAB的面积=--=4--=1．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点P的坐标，然后利用割补法求△PAB的面积即可．
19．（2024九上·义乌月考）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
（1）求b、c的值；
（2）求的面积的最大值．
【答案】（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，则，则，
∴，
当时，最大值为8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出点A，B的坐标，再代入二次函数解析式计算即可；
（2）设，作交于E，则，表示，然后得到面积解析式求最值即可．
（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
20．（2024九上·义乌月考）已知：方程，两根为，求的最大值与最小值
【答案】解：∵，两根为，
∴，
∴
由二次函数的图象可知，的解集为，
∵，
∴的值随着k的增大而增大，
∴当时，取最小值为，
当时，取最大值为，
∴的最大值为，最小值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【分析】先根据根与系数得关系和判别式得到，，再借助的图象得到，求出，利用一次函数的增减性解题即可．
21．（2024九上·义乌月考）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
… …
… …
（1）若，求二次函数的表达式．
（2）在（1）问的条件下，当的取值范围为多少时，随的增大而减小．
（3）若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式是；
（2）解：∵，且，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
（3）解：∵和时的函数值都是，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，和关于对称轴对称，
若在、、这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
∵，
∴，
∴二次函数为，
∴，
∴，，
∴的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数求出解析式即可；
（2）先配方得到顶点式，然后根据二次函数的性质解题即可；
（3）先求出对称轴为，即可得到，即二次函数的解析式为，然后根据解题即可．
（1）解：由题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式是；
（2）∵，且，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
（3）∵和时的函数值都是，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，和关于对称轴对称，
若在、、这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
∵，
∴，
∴二次函数为，
∴，
∴，，
∴的取值范围是．
22．（2024九上·义乌月考）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）通过计算说明石块能否飞越城墙；
（3）求出石块与斜坡在竖直方向上的最大距离．
【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标是，，
设石块运行的函数关系式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：
把代入，得，
，．
，
，
石块不能飞越防御墙．
（3）解： 解：设直线的解析式为．
，，
把代入，得，
．
故直线的解析式为．
设直线上方的抛物线上的一点的坐标为．
过点作轴，交于点，则．
，
当时，取最大值，最大值为．
石块与斜坡在竖直方向上的最大距离是米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入解析式，得到函数值与比较解题；
（3）用待定系数法得到的解析式，设点，过点作轴，交于点，则 ，用含的式子表示出，然后根据二次函数的性质解题即可；
（1）抛物线的顶点坐标是，，
设石块运行的函数关系式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）把代入，得，
，．
，
，
石块不能飞越防御墙．
（3）解：设直线的解析式为．
，，
把代入，得，
．
故直线的解析式为．
设直线上方的抛物线上的一点的坐标为．
过点作轴，交于点，则．
，
当时，取最大值，最大值为．
石块与斜坡在竖直方向上的最大距离是米．
23．（2024九上·义乌月考）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 …
… 2 1 2 1 …
其中，______．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．
【答案】（1）1
（2）解：将表格数据描点，然后按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接，
如图即为所求：
（3）2；
【知识点】函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：当时，
故答案为：1．
（3）解：①由图象可得：函数图象与轴有两个交点
方程有2个实数根
故答案为：2．
②由图象可得：当有4个实数根时，
即直线与图象有4个交点
的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】（1）将代入函数解析式即可；
（2）先描点，然后用平滑的曲线连接即可；
（3）①借助图象与轴的交点个数解答即可；
②根据题意可得直线与图象有4个交点，借助图象回答即可．
（1）解：当时，
故答案为：1．
（2）解：将表格数据描点，然后按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接，
如图即为所求：
（3）解：①由图象可得：函数图象与轴有两个交点
方程有2个实数根
故答案为：2．
②由图象可得：当有4个实数根时，
即直线与图象有4个交点
的取值范围是：．
故答案为：．
24．（2024九上·义乌月考）设二次函数（是常数，）．
（1）若，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，二次函数化为顶点式为：
∴该函数的顶点坐标为．
（2）解：当时，
此时
该抛物线图像不过点
当时，
此时
该抛物线图像不过点，
该抛物线过点，代入得：
解得：
将代入二次函数的表达式为：，
整理得：
故二次函数的表达式为：．
（3）解： ∵
当，时，，
即
，即
解得：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；不等式的解及解集；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）运用配方法化为顶点式解题即可；
（2）得到抛物线过点，代入即可求得的值，即可得到抛物线的解析式；
（3）根据已知条件代入得到 ，解题即可．
（1）解：当时，二次函数
化为顶点式为：
∴该函数的顶点坐标为．
（2）解：当时，
此时
该抛物线图像不过点
当时，
此时
该抛物线图像不过点，
该抛物线过点，代入得：
解得：
将代入二次函数的表达式为：，
整理得：
故二次函数的表达式为：．
（3）解： ∵
当，时，，
即
，即
解得：．
故答案为：．
浙江省义乌市绣湖中学2024-—2025学年九年级上学期九月份月考数学试题
1．（2024九上·义乌月考）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·义乌月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024九上·义乌月考）抛物线y＝－x2不具有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．与y轴不相交 D．最高点是原点
4．（2024九上·义乌月考）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．（2024九上·义乌月考）关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为直线y=3
C．当x≥3时，y随x增大而增大 D．当x≥3时，y随x增大而减小
6．（2024九上·义乌月考）已知点 、 、 在函数 上.则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·义乌月考）二次函数的图象如图，且则（ ）
A． B． C． D．以上都不是
8．（2024九上·义乌月考）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n=0没有实数根，则抛物线y=x2﹣x﹣n的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2024九上·义乌月考）抛物线过和，且对称轴为直线．现有下面四个推断：①若，则；②若，则；③若，则；④存在实数，使得为定值．其中推断正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④
10．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤
11．（2024九上·义乌月考）若函数是二次函数，则的值为 ．
12．（2024九上·义乌月考）将抛物线绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为 ．
13．（2024九上·义乌月考）设、是常数，且，抛物线为图中四个图象之一，则的值为 ．
14．（2024九上·义乌月考）已知二次函数，当x分别取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ．
15．（2024九上·义乌月考）如图，我校为科技节获奖的同学举办颁奖典礼，颁奖现场入口为一个抛物线形拱门．小丽要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点 E）到的距离为 0.25米，米，米，则点C到的距离为 米．
16．（2024九上·义乌月考）如图所示，抛物线y＝x2+2x﹣3顶点为Q，交x轴于点E、F两点（F在E的右侧），T是x轴正半轴上一点，以T为中心作抛物线y＝x2+2x﹣3的中心对称图形，交x轴于点K、L两点（L在K的右侧），已知∠FQL＝45°，则新抛物线的解析式为 ．
17．（2024九上·义乌月考）已知二次函数．
（1）写出顶点坐标，对称轴；
（2）直接写出当时，x的取值范围．
18．（2024九上·义乌月考）已知二次函数的图象经过点A(1，2)和B(0，－1)且对称轴为x=2．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）抛物线上点P(2，m)在图象上，求△PAB的面积．
19．（2024九上·义乌月考）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
（1）求b、c的值；
（2）求的面积的最大值．
20．（2024九上·义乌月考）已知：方程，两根为，求的最大值与最小值
21．（2024九上·义乌月考）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
… …
… …
（1）若，求二次函数的表达式．
（2）在（1）问的条件下，当的取值范围为多少时，随的增大而减小．
（3）若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
22．（2024九上·义乌月考）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）通过计算说明石块能否飞越城墙；
（3）求出石块与斜坡在竖直方向上的最大距离．
23．（2024九上·义乌月考）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 …
… 2 1 2 1 …
其中，______．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．
24．（2024九上·义乌月考）设二次函数（是常数，）．
（1）若，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为，
∴新抛物线的顶点坐标为，
故答案为∶D．
【分析】
根据平移的规律“左加右减，上加下减”逐项判断即可．
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①，是二次函数，符合题意；
②，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
③，整理后是二次函数；
④，整理后是二次函数；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”解题即可．
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】抛物线y=-x2的二次项系数为-1，故抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），最高点为原点，对称轴为y轴，与y轴交于（0，0）.
∵抛物线y=-x2的二次项系数为-1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），A不符合题意；
∴最高点为原点，对称轴为y轴，B、D不符合题意；
与y轴交于（0，0），C符合题意，
故答案为：C.
【分析】（1）因为a=-1＜0，所以图像开口向下；
（2）顶点坐标（0，0），对称轴为y轴；
（3）因为y=-x2的图像的顶点在原点，所以图像与y轴相交；
（4）由（1）（3）可知，图像的最高点是原点.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝ 4ac＝16＋4k＞0，
解得．
故答案为：B．
【分析】利用判别式得到16＋4k＞0，解不等式解题．
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： A、y=2（x﹣3）2+2 顶点坐标为（3,2），不符合题意；
B、对称轴为x=3, 不符合题意；
CD、 当x≥3时，y随x增大而增大，C符合题意, D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 二次函数求顶点坐标和对称轴，用配方法，当a>0时，在对称轴右方y随x增大而增大，在对称轴右方，y随x的增大而减小.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由函数y＝2（x+1）2 可知，
该函数的抛物线开口向上，且对称轴为x=-1.
∵A（1，y1）、B（ ，y2）、C（-2，y3）在函数y＝2（x+1）2 上的三个点，
且三点的横坐标距离对称轴的远近为：
A（1，y1）、C（-2，y3）、B（ ，y2），
∴y1＞y3＞y2.
故答案为：B.
【分析】利用二次函数解析式求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的增减性可得到y1，y2，y3的大小.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴点A、C的坐标为(-c，0)，(0，c)，
∴把点A的坐标代入得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据图像可得点A、C的坐标为(-c，0)，(0，c)，代入可得，然后整理即可解题．
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣n的对称轴x=﹣=，
∴可知抛物线的顶点在y轴的右侧，
又∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n=0没有实数根，
∴开口向上的y=x2﹣x﹣n与x轴没有交点，
∴抛物线y=x2﹣x﹣n的顶点在第一象限．
故选A．
【分析】求出抛物线y=x2﹣x﹣n的对称轴x=，可知顶点在y轴的右侧，根据x2﹣x﹣n=0在实数范围内没有实数根，可知开口向上的y=x2﹣x﹣n与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第一象限．
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线过和，
∴，解得：，
∴抛物线为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，则，
解得：，经检验，符合题意，故①符合题意；
当，则，
∴，
当时，，当时，恒成立，
∴或，故②不符合题意；
当时，则，
∴，
∴当时，，此时，当时，不等式不成立，故③不符合题意；
∵，
∴
；
当即，为定值；故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】把和代入，可得，即可得到对称轴为直线，再结合，，，列立方程或不等式可判断①②③，再将代入结合多项式的无关型可判断④．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线，x轴交于点，
∴，与x轴另一个交点为，
∴，当时，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
即，故②不正确，不符合题意；
③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意；
④由图可知，顶点在第二象限，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，，
∴，
当时，对应x的值在左侧，右侧，
∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有①④⑤，
故答案为：D．
【分析】根据图像得到，即可判断①；得到对称轴为，求出与x轴另一个交点坐标为，即可得到，代入可得，即可判断②；根据函数得增减性判断③；根据顶点在第二象限，即可得到判断④；先得到二次函数解析式为，利用函数图象判断⑤．
11．【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，∴m2+m=2，且m-1≠0，
∴m= 2．
故答案为：-2．
【分析】利用二次函数的定义得到m2+m=2，且m-1≠0，即可解题．
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
由于抛物线绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，
∴所得抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】本题考查二次函数图象的旋转变换.抛物线绕其顶点旋转后，根据抛物线的顶点坐标不变，只有开口方向相反，可根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式为：，进而可求出答案．
13．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：从左往右的图像依次为第一个图像，第二个图像，第三个图像，第四个图像，
∵第一个、第二个图像都有：当时，；当时，，
∴，
解得：，与已知矛盾，
∴排除第一个、第二个图像；
∵第三个图像：，，
∴，与已知矛盾，
∴排除第三个图像，
∴抛物线的图像是第四个图，
由图像可知，抛物线经过原点，且开口向下即，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】
由，排除前两个图像，第三个图像，，得到排除③，即可得到抛物线的图像是第四个图，然后求的值即可．
14．【答案】2023
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数，当x分别取时，函数值相等，
，
，
，
当x取时，，
故答案为：2023．
【分析】根据二次函数的对称性可得，进而可得当x取时的函数的值即可．
15．【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，
∵，
∴，
∵最高点的五角星（点 E）到的距离为0.25米，
∴，代入解析式得，
∴，
∵，
∴，
设，代入解析式得，
，
∴，即点C到的距离为2.25-0.25=2米．
【分析】以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立平面直角坐标系，然后根据待定系数法求函数解析式，再把D点坐标代入计算即可．
16．【答案】y＝﹣x2+18x﹣77
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；中心对称的性质；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴Q（﹣1，﹣4），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴E（﹣3，0），F（1，0），
作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，
∵∠FQL＝45°，
∴△QFM为等腰直角三角形，
∴FQ＝FM，
∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，
∴∠PQF＝∠MFN，
∴△PQF≌△NFM（AAS），
∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，
∴M（5，﹣2），
设直线QL的解析式为y＝kx+b，
把Q（﹣1，﹣4），M（5，﹣2）代入得
，
解得，
∴直线QL的解析式为y，
当y＝0时，0，解得x＝11，
∴L（11，0），
∵点E（﹣3，0）和点L（11，0）关于T对称，
∴T点坐标为（4，0），
∵点F与点K关于T点对称，∴K（7，0），
∵新抛物线与抛物线y＝x2+2x﹣3关于T对称，
∴新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣7）（x﹣11），
即y＝﹣x2+18x﹣77．
故答案为y＝﹣x2+18x﹣77．
【分析】先求出顶点的坐标，然后令求得点的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，得到△PQF≌△NFM（AAS），即可求出点的坐标，得到直线QL的解析式，得到L，T的坐标，根据中心对称的性质得到K（7，0），再利用待定系数法求函数解析式即可．
17．【答案】（1）解：∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴当时，则，
∴或，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）化为顶点式，写出抛物线的顶点坐标和对称轴解题；
（2）先令，求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据抛物线在x轴上方的取值范围解题即可．
（1）解：∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴当时，则，
∴或，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，．
18．【答案】解：（1）设（a≠0），
∵二次函数的图象经过点A(1，2)和B(0，－1)且对称轴为：直线x=2，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）∵点P(2，m)在图象上，
∴=3，即：P(2，3)，
如图，过点P作PF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，则PF=2，AG=1，FG=3-2=1，BG=3，BF=4，
∴，，，
∴△PAB的面积=--=4--=1．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点P的坐标，然后利用割补法求△PAB的面积即可．
19．【答案】（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，则，则，
∴，
当时，最大值为8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出点A，B的坐标，再代入二次函数解析式计算即可；
（2）设，作交于E，则，表示，然后得到面积解析式求最值即可．
（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
20．【答案】解：∵，两根为，
∴，
∴
由二次函数的图象可知，的解集为，
∵，
∴的值随着k的增大而增大，
∴当时，取最小值为，
当时，取最大值为，
∴的最大值为，最小值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【分析】先根据根与系数得关系和判别式得到，，再借助的图象得到，求出，利用一次函数的增减性解题即可．
21．【答案】（1）解：由题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式是；
（2）解：∵，且，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
（3）解：∵和时的函数值都是，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，和关于对称轴对称，
若在、、这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
∵，
∴，
∴二次函数为，
∴，
∴，，
∴的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数求出解析式即可；
（2）先配方得到顶点式，然后根据二次函数的性质解题即可；
（3）先求出对称轴为，即可得到，即二次函数的解析式为，然后根据解题即可．
（1）解：由题意得：当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式是；
（2）∵，且，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
（3）∵和时的函数值都是，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，和关于对称轴对称，
若在、、这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
∵，
∴，
∴二次函数为，
∴，
∴，，
∴的取值范围是．
22．【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标是，，
设石块运行的函数关系式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：
把代入，得，
，．
，
，
石块不能飞越防御墙．
（3）解： 解：设直线的解析式为．
，，
把代入，得，
．
故直线的解析式为．
设直线上方的抛物线上的一点的坐标为．
过点作轴，交于点，则．
，
当时，取最大值，最大值为．
石块与斜坡在竖直方向上的最大距离是米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入解析式，得到函数值与比较解题；
（3）用待定系数法得到的解析式，设点，过点作轴，交于点，则 ，用含的式子表示出，然后根据二次函数的性质解题即可；
（1）抛物线的顶点坐标是，，
设石块运行的函数关系式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）把代入，得，
，．
，
，
石块不能飞越防御墙．
（3）解：设直线的解析式为．
，，
把代入，得，
．
故直线的解析式为．
设直线上方的抛物线上的一点的坐标为．
过点作轴，交于点，则．
，
当时，取最大值，最大值为．
石块与斜坡在竖直方向上的最大距离是米．
23．【答案】（1）1
（2）解：将表格数据描点，然后按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接，
如图即为所求：
（3）2；
【知识点】函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：当时，
故答案为：1．
（3）解：①由图象可得：函数图象与轴有两个交点
方程有2个实数根
故答案为：2．
②由图象可得：当有4个实数根时，
即直线与图象有4个交点
的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】（1）将代入函数解析式即可；
（2）先描点，然后用平滑的曲线连接即可；
（3）①借助图象与轴的交点个数解答即可；
②根据题意可得直线与图象有4个交点，借助图象回答即可．
（1）解：当时，
故答案为：1．
（2）解：将表格数据描点，然后按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接，
如图即为所求：
（3）解：①由图象可得：函数图象与轴有两个交点
方程有2个实数根
故答案为：2．
②由图象可得：当有4个实数根时，
即直线与图象有4个交点
的取值范围是：．
故答案为：．
24．【答案】（1）解：当时，二次函数化为顶点式为：
∴该函数的顶点坐标为．
（2）解：当时，
此时
该抛物线图像不过点
当时，
此时
该抛物线图像不过点，
该抛物线过点，代入得：
解得：
将代入二次函数的表达式为：，
整理得：
故二次函数的表达式为：．
（3）解： ∵
当，时，，
即
，即
解得：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；不等式的解及解集；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）运用配方法化为顶点式解题即可；
（2）得到抛物线过点，代入即可求得的值，即可得到抛物线的解析式；
（3）根据已知条件代入得到 ，解题即可．
（1）解：当时，二次函数
化为顶点式为：
∴该函数的顶点坐标为．
（2）解：当时，
此时
该抛物线图像不过点
当时，
此时
该抛物线图像不过点，
该抛物线过点，代入得：
解得：
将代入二次函数的表达式为：，
整理得：
故二次函数的表达式为：．
（3）解： ∵
当，时，，
即
，即
解得：．
故答案为：．
