屯溪一中高二数学第一学期期末考前押题卷
（范围：选择性必修一+数列）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题中正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
3.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
7.设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点．
B. 截距相等的直线都可以用方程表示
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
10.已知曲线，则下列结论正确的是( )
A. 若曲线是椭圆，则其长轴长为 B. 若，则曲线表示双曲线
C. 曲线可能表示一个圆 D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则_____________．
13.过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是_____________．
14.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是_____________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题3分
在平行六面体中，在上且，为的中点，，，，，记，，．
用，，表示；
求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
已知斜率且过点的直线与直线：相交于点．
求以点为圆心且过点的圆的标准方程；
求过点且与中的圆相切的直线方程．
17.本小题5分
如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，，分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为．
求证：平面
求点到平面的距离
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段的长若不存在，请说明理由．
18.本小题7分
已知数列的前项和为，且，数列满足：，，求数列，的通项公式：
求数列的前项和：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题7分
已知为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，点又恰为抛物线的焦点，以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点．
求椭圆的标准方程；
若直线与相交于，两点，记点，到直线的距离分别为，，且直线与相交于，两点，记，的面积分别为，．
证明：的周长为定值；
求的最大值．屯溪一中高二数学第一学期期末考前押题卷
（范围：选择性必修一+数列）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量的模的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出，由此能求出．
【解答】
解：，，
，
则．
故选：．
2.下列命题中正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是对称点的坐标，方向向量，直线与平面所成角，空间向量的共面定理，属于中档题．
利用空间向量对称性知识来判断，利用空间四点共面的性质来判断，利用直线方向向量与法向量垂直，结合线与面的位置关系来判断，利用直线方向向量与法向量夹角来判断．
【解答】
解：对于，点 关于平面 对称的点的坐标是 ，选项错误；
对于，已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，
若 ，则 ，解得 ，选项错误；
对于，若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
因为 ，所以 ，则 或 ，选项错误；
对于，若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角为 ，
则直线 与平面 所成的角为 ，选项正确，
故选：．
3.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，中档题．
直线过定点，点，的中点，由垂直直线，得到点在以点为圆心，以为半径的圆：上，由此能求出到直线的距离最小值．
【解答】解：过点作直线的垂线，垂足为，
直线过定点，
点，的中点，
垂直直线，
点在以点为圆心，
以为半径的圆上，
其圆的标准方程为：，
圆心到直线点距离：
．
到直线的距离最小值为：．
故选：．
4.已知等差数列满足，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质的简单应用，属于基础题．
根据等差数列的通项公式可求得，由等差数列的性质，可得到的值．
【解答】
解：，，．
故选B．
5.已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法．
由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，说明要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直．写出所在直线方程，与直线的方程联立，求得点坐标，然后写出以为直径的圆的方程，再与圆的方程联立可得所在直线方程．
【解答】
解：化圆为，
圆心，半径，
，
当四边形面积最小时，则需最小，此时与直线垂直．
直线的方程为，即，
联立，解得，
则以为直径的圆的方程为，
联立，可得直线的方程为．
故选C．
6.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得，，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．
【解答】
解：设，，为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得，，
在三角形中，，
可得，
即有，
可得，
即为，
由，可得，
故选A．
7.设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线和椭圆的定义和标准方程，以及简单性质的应用，求出，，
的值是解题的关键属于基础题．
根据双曲线和椭圆的定义可得，，中，由余弦定理求出，得出，由的面积公式运算得到结果．
【解答】
解：由曲线：的方程可得 、，
由椭圆的定义可得．
又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，
不妨设在双曲线右支上，
由双曲线的定义可得．
，，
在中，由余弦定理可得 ，
，
的面积为，
故选A．
8.已知数列满足，设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了数列的通项公式、数列的递推关系以及等比数列的求和求得首项和时，数列的通项，可得的通项公式，由等比数列的求和公式可得，再由不等式的性质可得的范围，进而得到所求最小值．
【解答】
解：，
，
，即，
当时，
数列是从第二项起的等比数列，
则前项和为：
，又，
可知随着的增大，越来越接近，所以最小值为，
故选D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点．
B. 截距相等的直线都可以用方程表示
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查直线方程，考查斜率与倾斜角的关系，考查两直线垂直的条件，属于基础题．
将方程化为点斜式即可知所过定点；分析特殊情况，截距为即可作出判断；由方程确定斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误．
【解答】
解：：由直线方程有 ，故必过点，正确；
：当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且为，如，故不能用方程表示，错误；
：直线的斜率为，则倾斜角为，错误；
：由直线和的斜率分别为，则有，故相互垂直，将代入方程，故正确．
故选AD．
10.已知曲线，则下列结论正确的是( )
A. 若曲线是椭圆，则其长轴长为
B. 若，则曲线表示双曲线
C. 曲线可能表示一个圆
D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查椭圆，双曲线，圆的概念及标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
先根据的符号以及与的关系可得曲线的类型可分析，，选项，之后联立直线和椭圆的方程，运用韦达定理结合弦长公式可分析选项．
【解答】
解：由题意：
若，根据双曲线的定义可知曲线表示双曲线，选项B正确
因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
故曲线不可能表示一个圆，选项C错误
若曲线是椭圆，则，
因为，
所以椭圆的焦点在轴上，
故其长轴长为，选项A错误
若，则曲线为椭圆，方程为，焦点坐标为，
当过焦点的直线斜率为时，此时该直线截椭圆的弦长为；
当过焦点的直线斜率不为时，不妨设该直线过椭圆的右焦点，方程为，与椭圆的两个交点分别为，
由，可得，
则有
，
当时，上式不等式可取等号，即，
综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为．
选项D正确．
故选BD．
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查线面平行的向量表示，点面、线面、面面距离的向量求法，直线与直线所成角的向量求法，直线与平面所成角的向量求法，属于较难题．
建立空间直角坐标系，运用空间向量依次解决问题．
【解答】
解：直三棱柱 中， ，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
， ， 分别是，的中点，
，，，，，，
设，，
对于， 为平面的一个法向量， ，
则，
不在平面内，
平面 ，故A正确；
对于， 为平面 的一个法向量， ，
设直线与平面 所成角为，
则 ，故B错误；
对于，当 是上的中点时，，，可得， ，设平面的法向量为，
则 ，解得，，设到平面的距离为，
则，故C正确；
对于，设，
则， ，
设直线与直线 所成角为，
则 ，
当 ，即 时， 取最大值，此时直线与直线所成角最小，
， ，故D正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则 ．
【答案】 【解析】【分析】
本题考查了空间面面垂直与法向量的关系，属于基础题．
由，可得，再利用空间数量积公式即可得出．
【解答】
解：，，
，
解得，故答案为．
13.过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两条直线位置关系中的垂直关系，点斜式求直线方程．
找到圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程．
【解答】
解：因为圆的圆心为，直线的斜率为，
所以所求直线的斜率为，
所求直线的方程为，即．
故答案为．
14.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，涉及函数的单调性．
设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，由条件可得，，再由椭圆和双曲线的定义可得，，，运用三角形的三边关系求得的范围，再由离心率公式得到关于的函数表达式，利用函数的单调性，进而根据的范围求得所求范围．
【解答】
解：设椭圆和双曲线的半焦距为，椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为．
，，
由于是以为底边的等腰三角形．
若，即有，，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
即有，，，
再由三角形的两边之和大于第三边，可得，
可得，即有．
由离心率公式可得
，
其中．
令，
由于是上的单调增函数，
是上的单调减函数，
是上的单调增函数，
又，，
又，且趋近于时，趋近于，
的取值范围是，
即的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平行六面体中，在上且，为的中点，，，，，记，，．
用，，表示；
求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】解：
由可知
，
，
，
设与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值是：．
【解析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算，直线与直线所成角的向量求法，属于中档题．
根据空间向量对应线段的位置关系，用，，表示出
应用可得异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
已知斜率且过点的直线与直线：相交于点．
求以点为圆心且过点的圆的标准方程；
求过点且与中的圆相切的直线方程．
【答案】解：：即，：；
由，得，即．
因为，所以；
所以圆的方程为：；
因为点在圆上，设过点圆的切线方程为，
当斜率不存在的时候，符合题意，
当斜率存在，可设为，
则的方程为即，
点到直线的距离为，
即，
即所求直线的方程为，
所以过点圆的切线方程为方程或．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于中档题．
先根据已知条件求出的方程，与直线联立求出圆心；再结合过点求出半径即可求出结论．
由圆的方程找出圆心坐标与半径，分两种情况考虑：当过的切线斜率不存在时，直线满足题意；当过的切线斜率存在时，设为，由坐标表示出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出此时切线方程，综上，得到满足题意圆的切线方程．
17.本小题分
如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，，分别为，的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为．
求证：平面
求点到平面的距离
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段的长若不存在，请说明理由．
【答案】证明：因为平面，
以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，可求得，
则，，，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
所以，又因为平面，
所以平面
解：由知，，，
所以点到平面的距离为
解：假设上存在点满足条件，，
则，，
设直线与平面所成角为，
由题意可得，
，，
化简得，则或，
即存在点符合题意，此时或．
【解析】本题考查的是利用空间向量证明线面平行，点到平面的距离和线面角．
建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，论证即可；
结合可得点到平面的距离为即可得出答案；
假设假设上存在点满足条件，，再结合向量的夹角公式，即可求解．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且，数列满足：，，
求数列，的通项公式：
求数列的前项和：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：数列的前项和为，且，
当时，，解得．
当时，，
得：，则数列是以为首项，为公比的等比数列．
则
数列满足：，，，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
故
由可知，
所以，
，
得
，
故；
不等式，
化简得对任意恒成立．
设，则，
当时，，当时，，
所以当时， 取得最大值，
所以要使对任意恒成立，．
故实数的取值范围为．
【解析】本题考查数列递推关系、数列通项求法，考查错位相减法求和及数列的单调性，属于较难题．
由，得，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，即可求得；由，得数列为公差为的等差数列，即可求得；
由可知，利用错位相减法求和即可；
不等式化简得对任意恒成立，设，判断数列的单调性，即可求得结果．
19.本小题分
已知为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，点又恰为抛物线的焦点，以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点．
求椭圆的标准方程；
若直线与相交于，两点，记点，到直线的距离分别为，，且直线与相交于，两点，记，的面积分别为，．
证明：的周长为定值；
求的最大值．
【答案】解：因为为抛物线的焦点，故，所以．
又因为以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点，所以，
所以，．
所以椭圆的标准方程为：；
由题知，因为为抛物线的准线，
由抛物线的定义知：，
又因为，当且仅当，，三点共线时等号成立，
所以直线过定点．
根据椭圆定义得：；
(ⅱ)若直线的斜率不存在，则直线的方程为．
因为，，所以．
若直线的斜率存在，则可设直线，设，．
由得，．
所以，．
设，，
由得，，
则，．
所以
．
则
综上知：的最大值等于．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析与计算能力，属于较难题．
由已知求得，可得，又以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点，知，从而求得与的值，则椭圆方程可求
由题意，为抛物线的准线，由抛物线的定义知，，结合，可知当且仅当，，三点共线时等号成立，可得直线过定点，根据椭圆定义即可证明为定值
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，求出与可得若直线的斜率存在，可设直线方程为，，，，，联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得，，可得，即可求解．屯溪一中高二第一学期期末考前押题卷
数学 答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（请在横线上作答）
12 13 14
三、解答题（请在指定区域内作答）
15.本小题分
16本小题分
17.本小题分
18.本小题分
19.本小题7分
1
