2025广东版数学中考专题
重难突破
重难一 反比例函数综合问题
1．[2024广州二模]如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点.
（1） 请分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2） 把一次函数的图象向下平移个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点时，求的值.
【解析】
（1） 反比例函数的图象过，，反比例函数的解析式为，把代入得，点，把、的坐标分别代入，得解得一次函数的解析式为.
（2） 把一次函数的图象向下平移个单位,得直线，根据题意可得只有一组解，即只有一个解，有两个相等的实数根，，即，解得或（因反比例函数图象在第一象限，舍去），的值为1．
2．[2024惠州联考]如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，其中的坐标为，是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，连接，为的中点.
（1） 求直线和双曲线的解析式；
（2） 求线段长度的最小值.
【解析】
（1） 直线与双曲线交于、两点，点的坐标为，，，解得，，直线的解析式为，双曲线的解析式为.
（2） 连接，
联立得解得或点的坐标为，点，，点为的中点，为的中点，是的中位线，，连接，当在上时，最小，则最小，点，点，，，，,故线段长度的最小值为2．
3．[2024韶关二模]如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为.
（1） 填空：______，______；
（2） 求点的坐标；
（3） 若将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在轴正半轴上，得到，判断点是否在函数的图象上，并说明理由.
【答案】（1） 4；3
【解析】
（2） 如图1，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
图1
与的面积比为，,又点的坐标为，，，即点的纵坐标为1，把代入中，得，.
（3） 点不在函数的图象上.理由：由旋转的性质可知，如图2，过点作轴，垂足为，
图2
由一次函数可知，，，，，，在中， ,点的坐标为,，点不在函数的图象上.
4．[2024江苏苏州]如图，中，, ，,,反比例函数的图象与交于点,与交于点.
（1） 求,的值；
（2） 点为反比例函数图象上一动点（点在,之间运动，不与,重合），过点作,交轴于点,过点作轴，交于点,连接,求面积的最大值，并求出此时点的坐标.
【解析】
（1） ，，.又，. ，点.设直线的函数表达式为，将，代入，得解得直线的函数表达式为.将代入，得..将代入，得，解得．
（2） 延长交轴于点，交于点.
， ， ，轴， ， ，， ， ，，设点的坐标为,则，，，，当时，有最大值，最大值为，此时.
5．[2023深圳模拟]［定义］在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离.例如，如图1，，线段的长度称为点与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离.
图1
［应用］
（1） 如图2，在等腰中， ，，点为边上一点，过点作交于点.若,,则与之间的距离是______.
图2
（2） 如图3，已知直线:与双曲线:交于与两点，点与点之间的距离是________，点与双曲线之间的距离是______.
图3
［拓展］
（3） 按规定，住宅小区的外沿到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障.有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外沿呈双曲线形状，它们之间的距离小于.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图4所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外沿所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
图4
【答案】（1）
（2） ；
【解析】
（2） 详解：点在直线:上，,,把代入，得,双曲线的解析式为.联立得解得或,.如图，作，且与双曲线只有一个公共点，
设直线的解析式为,则,整理得,,解得或（舍去），直线的解析式为.,，直线与双曲线的公共点为，，点到双曲线的距离.
（3） 作直线：交轴于点，交双曲线于，两点，作，，垂足分别为，，作，垂足为.当时，隔音屏障的长度为的长.
易得 ，，即：.由与联立可得，,.
答:需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是.
重难二 圆的综合问题
1．[2024深圳二模]如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2） 在（1）的条件下，求证：；
（3） 在（1）的条件下，，，求的半径长.
【解析】
（1） 如图所示（方法不唯一）．
（2） 证明：，.又，，. 点在以为直径的圆上，。.又为的切线，.，，，.在和中， ..
（3） 由（2）知，，，设，， ，,，解得，的半径长为5．
2．[2024深圳联考]如图，以平行四边形的一边为直径的圆交边于点，交对角线于点，是边上的一点，连接，且．
（1） 请在以下三个条件中选一个： ，利用该条件证明：直线是圆的切线．
①；②是弧的中点； ③是的中点．
（2） 在第（1）问的条件下，连接并延长交于点，若直径为4，，求四边形的面积.
【解析】
（1） ②.
证明：连接，，如图1，
图1
是弧的中点，，为直径， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形，，，，，，又，， ，， ，，为圆的直径， 直线是圆的切线．
（2） 如图2，，，，，，， 四边形的面积.
图2
3．[2024广州二模]如图，已知为的直径，是的弦，，的平分线交于.
（1） 尺规作图：过点作交的延长线于点，连接交于点；
（2） 求证：是的切线；
（3） 若，求的长.
【解析】
（1） 如图.
（2） 证明：连接，则，，的平分线交于，，，，由（1）知， ，，是的半径，是的切线．
（3） 作于点，由（1）知，则 ，平分，，，，，，，设，，，，，，，，，即,.
4．[2023珠海模拟]如图，点在直角的边上， ，以为圆心、长为半径的与边的公共点为点，连接交于点，连接并延长交于点．已知，．
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，求的半径；
（3） 在（2）的条件下，若是的中点，求的长．
【解析】
（1） 证明：连接.
，，，， ，，是的半径，是的切线.
（2） 设的半径为，则，， ，，，，，的半径为4.
（3） 是的中点，，,，,,,,，设,，，在中，，即，，，，．
5．[2024惠州联考]如图1，经过平行四边形的，两点，且分别交，于，两点，其中，．
图1 图2
（1） 求的值.
（2） 如图2，若.
① 求证：平行四边形为矩形；
② 求的半径长.
【解析】
（1） 四边形内接于， ， ，，，，，，，，，，，.
（2） ① 证明：如图，过点作于点，
则，,，，， ，，， ， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形．
② 如图，连接并延长交于点，连接，，
四边形内接于， ， ，，为的直径， ， ，，，连接，，，，，，，，， ，，,的半径长为.
6．[2024江门调研]综合探究
如图，在扇形中，， ，是上异于，的动点，过点作于点，作于点，连接，点，在线段上，且.
（1） 求证：四边形是平行四边形．
（2） 当点在上运动时，在，，中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出长度不变的线段的长度；若不存在，请说明理由.
（3） 求证：是定值.
【解析】
（1） 证明：连接交于点，如图1，
图1
，， ， 四边形为矩形，，，，，即， 四边形是平行四边形.
（2） 存在，长度不变.在矩形中，，，.
（3） 证明：过点作于，如图2，
图2
设，则,， ，，,，在中，,易得，，在中，,，是定值．
7．[2024韶关二模]如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，.
（1） 求证：是的切线.
（2） 若点是上的一点，连接、，，.
① 求的值；
② 若为的平分线，求的长.
【解析】
（1） 证明：如图1，连接，
图1
，，，，，为的直径， ， ，为的半径，是的切线.
（2） ① 如图2，连接、，
图2
是的中点，,，为的直径，，，，，，,设的半径为，则，，经检验，是方程的解，，,,，，.
② 如图3，过点作交于点，
图3
， ，是的平分线，，，,，,即，，.
8．[2024湖南]【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接,过点作的切线,在直线上取点,使得为锐角.
图1
【初步感知】
（1） 如图1,当 时，__ .
【问题探究】
（2） 以线段为对角线作矩形,使得边过点,连接,对角线,相交于点.
图2 图3
① 如图2,当时，求证：无论 在给定的范围内如何变化，总成立；
② 如图3,当,时，请补全图形，并求 及的值.
【答案】（1） 30
【解析】
（1） 由题意得，，是等边三角形， ， 直线是的切线， ， ，故答案为30.
（2） ① 证明：，， ， ， ， ， 四边形是矩形，，， ，.，,，，，，，，此结论与的值无关. 无论在给定的范围内如何变化，总成立.
② 补全图形如图.
过点作于点，过点作于点，连接，在中，,，由勾股定理得，，，， 点在线段上， 在中，，，， ，， ， ，在中，， 设,则， 由勾股定理得，， 在中，. 四边形是矩形，， ， 在中，.
重难三 几何综合探究问题
1．[2024江苏连云港]【问题情境】
（1） 如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍 小昕将小正方形绕圆心旋转 （如图2）,这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的______倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略.
图1 图2
【操作实践】
（2） 如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系.
图3
图4 图5 图6
【探究应用】
（3） 如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值.若,,当最大时，求的长.
（4） 如图6,在中， ,点、分别在边和上，连接、、.若,,求的最小值.
【答案】（1） 2
【解析】
（2） .（或写成）
详解：如图1，
图1
，，，，，，结合图形变化可得.
（3） 绕着点逆时针旋转，
点在以为圆心，长为半径的圆上运动，
图2
又 点是外的一个定点，由图2可得，当与相切时，最大，，，由（2）中图形变化过程可知，，，.
（4） 如图3，将沿翻折，使得点落在处，将沿翻折，使得点落在处，连接，
图3
将沿射线方向平移，使点与点重合，得（如图4），连接、，
图4
由（2）中图形变化过程可知，， 当，，三点共线时，最小，，，，， 在中，，的最小值为.
2．[2023珠海一模]某班在进行正方形纸片折叠探究相关数学问题的学习活动中，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与，交于点，），使点落在边上的点处,点的对应点为点,与交于点,连接与交于点.如图1，当点恰为的中点时，甲、乙、丙三名同学各得到了一个正确结论（或结果）：
甲：的边______；
乙：的周长为______；
丙：.
图1 图2
（1） 填充甲、乙两名同学所得结果中的数据.
（2） 如图2，当点在边上除点，外的任何一处时.
① 丙同学的结论还成立吗 若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由.
② 试问乙同学的结果是否会发生变化 请证明你的结论.
③ 经观察，发现四边形的面积随点位置的变化而变化，若的长为,四边形的面积为，则当为何值时，最大 最大值是多少
【答案】（1） 10；32
【解析】
（1） 提示：设,则，,在中，由勾股定理得，,解得;易得，则，，.
（2） ① 丙同学的结论成立，证明如下: 点，关于对称，于点.过点作于点， ，.在正方形中，， ,，.
② 乙同学的结果不会发生变化，证明如下: , .又 , ,，.设，则.在中，，即，.,,,，.
③ 由①②可知，,，, 当时，取得最大值，最大值为.
3．[2024四川成都]数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片和中，,, .
【初步感知】
（1） 如图1,连接,,在纸片绕点旋转过程中，试探究的值.
图1 图2 备用图
【深入探究】
（2） 如图2,在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点,求的长.
【拓展延伸】
（3） 在纸片绕点旋转过程中，试探究,,三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由.
【解析】
（1） 由旋转的性质可得，，，，，，，， ,,的值为.
（2） ，为边上的中线，，，，，，，，，,，，，,，,,,,,,,,在中，，，.
（3） 直角三角形的面积为，4，16或12.
详解：当 时,
过点作，垂足为点，交于点，， 点为中点，为的中位线，，，， ,,, ,,,,,,，.当 时,，，三点共线，若在边上，
,,,；若在延长线上，
,,,.当 时,
过点作于，，， , , , 四边形为矩形，，在中，，，，，.
综上，直角三角形的面积为，4，16或12.
4．[2024佛山一模]综合探究
如图，点，是射线上的一个动点，以为边在射线上方作正方形，连接，作的垂直平分线，垂足为，分别与直线，，交于点，，，直线交直线于点．
（1） 设，当恰好是的中点时，求的长；
（2） 若，猜想与的数量关系，并证明；
（3） 设的长为，的面积为，若，求与的关系式．
【解析】
（1） 连接，
在正方形中，，是的中点，，为线段垂直平分线上一点，，设，则,,在中，,即，解得，.
（2） .证明：垂直平分，， ，，，是等边三角形， ，又 在正方形中， ， ，, ，，，在中， ,,.
（3） ①当点在边上时，
在正方形中，，，,,, 在中，,,垂直平分， , ,,，,,,，,，,在正方形中，，，，，，,.
②当在的延长线上时，,,,,同①可得,,，，，
,， ，，，，,,.综上所述，当时，或.
5．[2024山东济宁]综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动.
图1
【动手操作】
如图2，第一步，沿点所在直线折叠，使点落在上的点处，折痕为,连接,把纸片展平.
第二步，把四边形折叠，使点与点重合，点与点重合，折痕为,再把纸片展平.
第三步，连接.
图2 图3
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论.
甲同学的结论：四边形是正方形.
乙同学的结论：.
（1） 请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由.
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作，
如图3，第四步，沿点所在直线折叠，使点落在上的点处，折痕为,连接,把纸片展平.
第五步，连接交于点.
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
.
（2） 请证明这个结论.
【解析】
（1） 甲、乙的结论都正确.证明如下： 四边形是矩形， ，由折叠知, ， 四边形是矩形，, 矩形是正方形.故甲的结论正确.由折叠知，如图，过点作于点，
四边形是正方形， ,为等腰直角三角形，，又,,在中，.故乙的结论正确.
（2） 证明：由折叠知，, . 四边形是矩形，，，，，.由折叠知,, ,，，，，，.
重难四 二次函数综合问题
1．[2022山西]综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为.过点作直线轴于点，作直线交于点.
（1） 求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式.
（2） 当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标.
（3） 连接，过点作直线，交轴于点，连接.试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由.
【解析】
（1） 对于，当时，,点的坐标为；当时，，解得，. 点在点的左侧，,.直线的函数表达式为.
（2） 点在第一象限抛物线上，横坐标为,且轴于点,
，..点的坐标为，点的坐标为，，.过点作于点,则 . ，四边形是矩形.,,.. ，.，即，.在中，,,..解得,（舍去）..当时，.点的坐标为.
（3） 的值为4或.
详解：直线,直线的解析式为,设直线,,,,,,,当时，，,，①
或,②
,由①得,由②得,存在点，使得.的值为4或.
2．[2024河源一模]如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，垂足为.
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 判断的形状，并说明理由；
（3） 点是轴上一点，当与相似时，求的值．
【解析】
（1） 抛物线与轴交于点，且经过点， 抛物线的解析式为.
（2） 是等腰三角形.理由：点是第一象限内抛物线上一动点，，轴，垂足为，，, 过点作轴的平行线，交轴于点，，，，，是等腰三角形.
（3） 点是过点的轴的平行线与抛物线的交点，，，是等腰三角形，当与相似时，是等腰三角形，当时，点与点重合，此时，，是直角三角形，而在中，,,或，当时，如图1，
图1
过作轴于，，，易得 ，， ，延长交于点，，， ，在中， ，，即,或（不符合题意,舍去），.当时，如图2，
图2
同理可得.
综上所述，当与相似时，的值为．
3．[2024佛山三模]综合应用
如图1，顶点为的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、．
图1 图2 备用图
（1） 求、的值及的度数.
（2） 如图2，动点从点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向匀速运动，设运动时间为秒，作轴交于，轴交抛物线于，连接、．
① 当时，求点的坐标；
② 直接写出在运动过程中，使得与相似的的值．
【解析】
（1） 连接.抛物线与轴交于点和点，，，，，，当时，，，，，，， .
（2） ① ,,直线的解析式为，由题意知，点在上，，轴，且点在抛物线上，，由题意得，轴，点在上，，轴，轴，，， 四边形是平行四边形，，,解得（舍去）或，.
② . ，中只能是 ，此时，易得只能使，， ，是等腰直角三角形，,解得．
4．[2024山东济宁]已知二次函数的图象经过,两点，其中,,为常数，且.
备用图
（1） 求,的值.
（2） 若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点,（点在点的左侧），与轴交于点.
① 求该二次函数的解析式，并直接写出点,的坐标.
② 如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点,过点作轴的垂线，垂足为,与直线交于点,连接,,.是否存在点,使 若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1） 将代入二次函数解析式得，，将代入上式得，整理得，，.
（2） ① 由（1）知.根据题意，得,解得或（舍去）.,令，解得,,,.
② 存在.设直线的解析式为.由题意得,把，代入,得解得.设,则,.
（ⅰ）当在轴下方时，, .,,整理得,解得,.
（ⅱ）当在轴上方时， , .,,整理得,解得,（舍去）.
综上所述，点的横坐标为，或.
5．[2024佛山一模]综合运用
已知抛物线如图1所示，其对称轴是直线．
图1 图2
（1） ① 写出与的数量关系：____________；
② 证明：该抛物线与直线有两个交点.
（2） 如图2，抛物线经过点，将此抛物线记为，把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线．
① 求抛物线与轴的交点坐标；
② 点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，连接，以点为圆心、的长为半径作,当与轴相切时，求点的坐标．
【答案】（1）① .
【解析】
（1）② 证明：，抛物线的表达式为，联立、并整理得，则，，， 该抛物线与直线有两个交点.
（2） ① 将代入得，解得，抛物线的表达式为，抛物线的表达式为，令，则或1，抛物线与轴的交点坐标为，.
② 设点的坐标为，则点，由题意得，当与轴相切时，，，或1或，点的坐标为或或或．
6．[2024山东烟台]如图，抛物线与轴交于,两点，与轴交于点,,,对称轴为直线.将抛物线绕点旋转 后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线.
图1 图2
（1） 分别求抛物线和的表达式.
（2） 如图1，点的坐标为,动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，，求的最小值.
（3） 如图2，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1） ，抛物线的对称轴为直线，点和点的坐标分别为，.，.将，，的坐标分别代入，得解得.抛物线的顶点坐标为.抛物线绕点旋转 后得到新抛物线，的表达式为，即.
（2） ，当时，， 点，易得抛物线的对称轴为直线，.如图，在轴上取点，则.
作点关于直线的对称点，则.连接，与直线交于点，此时的值最小，最小值为的值..的最小值.
（3） 存在，点的坐标为或.详解：分两种情况：
①当点在直线右侧抛物线上时，记为，如图，取点关于直线的对称点,设直线的表达式为，
则解得.令，解得（舍去）或，把代入,，点的坐标为.
②当点在直线左侧抛物线上时，记为，由题意设直线的表达式为，将代入表达式,得，.在直线上取点，使，设点，由题意得,.,，解得，，易求直线的表达式为.令，解得（舍去）或，把代入,，点的坐标为.
综上，点的坐标为或.
7．[2024广州一模]已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1） 求点的坐标；
（2） 若点是直线上方的抛物线上的一点，过点作轴交射线于点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3） 在（2）的条件下，若点，为轴下方的抛物线上的两个动点，且 ，试求点到直线的最大距离．
【解析】
（1） 由题意得， 解得抛物线的表达式为，令，则或1， 点的坐标为.
（2） 由点、的坐标得直线的表达式为，同理可得直线的表达式为，延长交于点，设点，其中,则点、，
由点、的坐标知，，，当时，取最大值，为4，此时，点的坐标为.
（3） 设点、的坐标分别为、，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、，,,,,
， ， ，，，,,整理得，设直线的表达式为，将点、坐标分别代入上式得，，解得，，则直线的表达式为，，，当时，，直线恒过，点到的最大距离是点到点的距离，为.
8．[2024广州二模]在平面直角坐标系中，将过点的抛物线（为常数）向右平移个单位，再向上平移个单位得到新的抛物线，其顶点为．
（1） 求点的坐标.（用含，的式子表示）
（2） 若抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点的纵坐标.
（3） 当时，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且当时，对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点，的纵坐标相等，探究下列问题：
① 求的取值范围；
② 若存在一点，满足，求点的纵坐标的取值范围．
【解析】
（1） 将代入中，得，解得，抛物线的解析式为，由平移可得抛物线的解析式为，点的坐标为.
（2） 抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，而当抛物线不经过原点时，与轴一定会有一个交点，当顶点在轴上时，满足题意，此时；当抛物线经过原点时，将代入抛物线解析式得.综上所述，或.
（3） ① 当时，抛物线为,抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图所示，
当时,,点坐标为,当时,,解得,,,,当时，抛物线上的点的纵坐标的取值范围是， 当时，对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点，的纵坐标相等，点纵坐标要小于或等于，即，易得或（舍去），同时点横坐标要小于或等于2，即，解得.综上，.
② 存在一点，满足，点在的中垂线（即抛物线的对称轴）上，故设,，,,,, ,,整理得 ， ,二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线, 在内,随着的增大而减小,当时,,当时,,.
重难五 跨学科应用
1．体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即.开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到处，使弹力大小变为，已知 ，求的长.
注：弹簧的弹力与形变成正比，即,是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为,在外力作用下，弹簧的长度为，则.
【解析】如图，根据可得解得
在中， ， ，，
，.
在中， ，，，
，
.
2．[2023广西]【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心.”某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：其中秤盘质量为克，重物质量为克，秤砣质量为克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米.
【方案设计】
目标：设计简易杆秤.设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
任务一：确定和的值.
（1） 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程.
（2） 当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程.
（3） 根据（1）和（2）所列方程，求出和的值.
任务二：确定刻线的位置.
（4） 根据任务一，求关于的函数解析式.
（5） 从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.
【解析】
（1） 依题意得，当，时，，，.
（2） 依题意得，当，时，，化简得.
（3） 由（1）（2）得将①代入②得，解得.将代入①得.,.
（4） 将,,,代入，得，.
（5） 当时，.相邻刻线间的距离为.
3．[2024深圳二模]【项目式学习】
项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界.
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：
物体到凸透镜的距离 像到凸透镜的距离 像的大小 像的正倒
大于2倍焦距 大于焦距，小于2倍焦距 缩小 倒立
等于2倍焦距 等于2倍焦距 等大 倒立
大于焦距，小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立
小于焦距 大于物距 放大 正立
素材二：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生折射；平行于主光轴的光线发生折射后经过焦点．
项目任务：
任务一：．当凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：______，____________.
任务一图
任务二：．当凸透镜的焦距为，蜡烛高，离透镜中心的距离是时，像的高为，请你利用所学的知识求出与的关系式.
任务二图
任务三：．
（1） 根据任务二的关系式得出下面数据：
物距 … 8 10 12 14 16 …
像高 … 12 6 4 2.4 …
其中______；
（2） 请在坐标系中画出该函数的图象；
（3） 根据函数关系式，结合图象写出1条你得到的结论：________________________________________________________________.
【答案】任务一： 2；
任务三： （1） 3
（3） 当时，随的增大而减小（答案不唯一）
【解析】
任务一： 详解：依题意得四边形为矩形，，，，，， ，，，即，，设，则，，，，，即,,，，.
任务二： 依题意得四边形为矩形，,，,，，同任务一可得，,,,,,,即,.
任务三：（2） 如图所示.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025广东版数学中考专题
重难突破
重难一 反比例函数综合问题
1．[2024广州二模]如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点.
（1） 请分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2） 把一次函数的图象向下平移个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点时，求的值.
2．[2024惠州联考]如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，其中的坐标为，是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，连接，为的中点.
（1） 求直线和双曲线的解析式；
（2） 求线段长度的最小值.
3．[2024韶关二模]如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为.
（1） 填空：______，______；
（2） 求点的坐标；
（3） 若将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在轴正半轴上，得到，判断点是否在函数的图象上，并说明理由.
4．[2024江苏苏州]如图，中，, ，,,反比例函数的图象与交于点,与交于点.
（1） 求,的值；
（2） 点为反比例函数图象上一动点（点在,之间运动，不与,重合），过点作,交轴于点,过点作轴，交于点,连接,求面积的最大值，并求出此时点的坐标.
5．[2023深圳模拟]［定义］在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离.例如，如图1，，线段的长度称为点与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离.
图1
［应用］
（1） 如图2，在等腰中， ，，点为边上一点，过点作交于点.若,,则与之间的距离是______.
图2
（2） 如图3，已知直线:与双曲线:交于与两点，点与点之间的距离是________，点与双曲线之间的距离是______.
图3
［拓展］
（3） 按规定，住宅小区的外沿到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障.有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外沿呈双曲线形状，它们之间的距离小于.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图4所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外沿所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
图4
重难二 圆的综合问题
1．[2024深圳二模]如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2） 在（1）的条件下，求证：；
（3） 在（1）的条件下，，，求的半径长.
2．[2024深圳联考]如图，以平行四边形的一边为直径的圆交边于点，交对角线于点，是边上的一点，连接，且．
（1） 请在以下三个条件中选一个： ，利用该条件证明：直线是圆的切线．
①；②是弧的中点； ③是的中点．
（2） 在第（1）问的条件下，连接并延长交于点，若直径为4，，求四边形的面积.
3．[2024广州二模]如图，已知为的直径，是的弦，，的平分线交于.
（1） 尺规作图：过点作交的延长线于点，连接交于点；
（2） 求证：是的切线；
（3） 若，求的长.
4．[2023珠海模拟]如图，点在直角的边上， ，以为圆心、长为半径的与边的公共点为点，连接交于点，连接并延长交于点．已知，．
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，求的半径；
（3） 在（2）的条件下，若是的中点，求的长．
5．[2024惠州联考]如图1，经过平行四边形的，两点，且分别交，于，两点，其中，．
图1 图2
（1） 求的值.
（2） 如图2，若.
① 求证：平行四边形为矩形；
② 求的半径长.
6．[2024江门调研]综合探究
如图，在扇形中，， ，是上异于，的动点，过点作于点，作于点，连接，点，在线段上，且.
（1） 求证：四边形是平行四边形．
（2） 当点在上运动时，在，，中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出长度不变的线段的长度；若不存在，请说明理由.
（3） 求证：是定值.
7．[2024韶关二模]如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，.
（1） 求证：是的切线.
（2） 若点是上的一点，连接、，，.
① 求的值；
② 若为的平分线，求的长.
8．[2024湖南]【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接,过点作的切线,在直线上取点,使得为锐角.
图1
【初步感知】
（1） 如图1,当 时，__ .
【问题探究】
（2） 以线段为对角线作矩形,使得边过点,连接,对角线,相交于点.
图2 图3
① 如图2,当时，求证：无论 在给定的范围内如何变化，总成立；
② 如图3,当,时，请补全图形，并求 及的值.
重难三 几何综合探究问题
1．[2024江苏连云港]【问题情境】
（1） 如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍 小昕将小正方形绕圆心旋转 （如图2）,这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的______倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略.
图1 图2
【操作实践】
（2） 如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系.
图3
图4 图5 图6
【探究应用】
（3） 如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值.若,,当最大时，求的长.
（4） 如图6,在中， ,点、分别在边和上，连接、、.若,,求的最小值.
2．[2023珠海一模]某班在进行正方形纸片折叠探究相关数学问题的学习活动中，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与，交于点，），使点落在边上的点处,点的对应点为点,与交于点,连接与交于点.如图1，当点恰为的中点时，甲、乙、丙三名同学各得到了一个正确结论（或结果）：
甲：的边______；
乙：的周长为______；
丙：.
图1 图2
（1） 填充甲、乙两名同学所得结果中的数据.
（2） 如图2，当点在边上除点，外的任何一处时.
① 丙同学的结论还成立吗 若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由.
② 试问乙同学的结果是否会发生变化 请证明你的结论.
③ 经观察，发现四边形的面积随点位置的变化而变化，若的长为,四边形的面积为，则当为何值时，最大 最大值是多少
3．[2024四川成都]数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片和中，,, .
【初步感知】
（1） 如图1,连接,,在纸片绕点旋转过程中，试探究的值.
图1 图2 备用图
【深入探究】
（2） 如图2,在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点,求的长.
【拓展延伸】
（3） 在纸片绕点旋转过程中，试探究,,三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由.
4．[2024佛山一模]综合探究
如图，点，是射线上的一个动点，以为边在射线上方作正方形，连接，作的垂直平分线，垂足为，分别与直线，，交于点，，，直线交直线于点．
（1） 设，当恰好是的中点时，求的长；
（2） 若，猜想与的数量关系，并证明；
（3） 设的长为，的面积为，若，求与的关系式．
5．[2024山东济宁]综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动.
图1
【动手操作】
如图2，第一步，沿点所在直线折叠，使点落在上的点处，折痕为,连接,把纸片展平.
第二步，把四边形折叠，使点与点重合，点与点重合，折痕为,再把纸片展平.
第三步，连接.
图2 图3
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论.
甲同学的结论：四边形是正方形.
乙同学的结论：.
（1） 请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由.
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作，
如图3，第四步，沿点所在直线折叠，使点落在上的点处，折痕为,连接,把纸片展平.
第五步，连接交于点.
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
.
（2） 请证明这个结论.
重难四 二次函数综合问题
1．[2022山西]综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为.过点作直线轴于点，作直线交于点.
（1） 求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式.
（2） 当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标.
（3） 连接，过点作直线，交轴于点，连接.试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由.
2．[2024河源一模]如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，垂足为.
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 判断的形状，并说明理由；
（3） 点是轴上一点，当与相似时，求的值．
3．[2024佛山三模]综合应用
如图1，顶点为的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、．
图1 图2 备用图
（1） 求、的值及的度数.
（2） 如图2，动点从点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向匀速运动，设运动时间为秒，作轴交于，轴交抛物线于，连接、．
① 当时，求点的坐标；
② 直接写出在运动过程中，使得与相似的的值．
4．[2024山东济宁]已知二次函数的图象经过,两点，其中,,为常数，且.
备用图
（1） 求,的值.
（2） 若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点,（点在点的左侧），与轴交于点.
① 求该二次函数的解析式，并直接写出点,的坐标.
② 如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点,过点作轴的垂线，垂足为,与直线交于点,连接,,.是否存在点,使 若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由.
5．[2024佛山一模]综合运用
已知抛物线如图1所示，其对称轴是直线．
图1 图2
（1） ① 写出与的数量关系：____________；
② 证明：该抛物线与直线有两个交点.
（2） 如图2，抛物线经过点，将此抛物线记为，把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线．
① 求抛物线与轴的交点坐标；
② 点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，连接，以点为圆心、的长为半径作,当与轴相切时，求点的坐标．
6．[2024山东烟台]如图，抛物线与轴交于,两点，与轴交于点,,,对称轴为直线.将抛物线绕点旋转 后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线.
图1 图2
（1） 分别求抛物线和的表达式.
（2） 如图1，点的坐标为,动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，，求的最小值.
（3） 如图2，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
7．[2024广州一模]已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1） 求点的坐标；
（2） 若点是直线上方的抛物线上的一点，过点作轴交射线于点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3） 在（2）的条件下，若点，为轴下方的抛物线上的两个动点，且 ，试求点到直线的最大距离．
8．[2024广州二模]在平面直角坐标系中，将过点的抛物线（为常数）向右平移个单位，再向上平移个单位得到新的抛物线，其顶点为．
（1） 求点的坐标.（用含，的式子表示）
（2） 若抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点的纵坐标.
（3） 当时，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且当时，对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点，的纵坐标相等，探究下列问题：
① 求的取值范围；
② 若存在一点，满足，求点的纵坐标的取值范围．
重难五 跨学科应用
1．体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即.开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到处，使弹力大小变为，已知 ，求的长.
注：弹簧的弹力与形变成正比，即,是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为,在外力作用下，弹簧的长度为，则.
2．[2023广西]【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心.”某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：其中秤盘质量为克，重物质量为克，秤砣质量为克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米.
【方案设计】
目标：设计简易杆秤.设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
任务一：确定和的值.
（1） 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程.
（2） 当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程.
（3） 根据（1）和（2）所列方程，求出和的值.
任务二：确定刻线的位置.
（4） 根据任务一，求关于的函数解析式.
（5） 从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.
3．[2024深圳二模]【项目式学习】
项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界.
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：
物体到凸透镜的距离 像到凸透镜的距离 像的大小 像的正倒
大于2倍焦距 大于焦距，小于2倍焦距 缩小 倒立
等于2倍焦距 等于2倍焦距 等大 倒立
大于焦距，小于2倍焦距 大于2倍焦距 放大 倒立
小于焦距 大于物距 放大 正立
素材二：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生折射；平行于主光轴的光线发生折射后经过焦点．
项目任务：
任务一：．当凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：______，____________.
任务一图
任务二：．当凸透镜的焦距为，蜡烛高，离透镜中心的距离是时，像的高为，请你利用所学的知识求出与的关系式.
任务二图
任务三：．
（1） 根据任务二的关系式得出下面数据：
物距 … 8 10 12 14 16 …
像高 … 12 6 4 2.4 …
其中______；
（2） 请在坐标系中画出该函数的图象；
（3） 根据函数关系式，结合图象写出1条你得到的结论：________________________________________________________________.
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