北师大版八年级数学上册勾股定理综合测试题
考试范围：勾股定理；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．1，， C．0.3，0.4，0.5 D．，，
2．图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，则AC2+AB2+BC2的值为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．
4．将Rt△ABC的三边都扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，则△A′B′C′为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5．北京冬奥会期间，中国运动健儿取得优异成绩．冬奥会的志愿者团队，给人留下了深刻印象，人人都是志愿者．作为志愿者的小颖，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B，C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图．一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处，大树在折断之前高为（ ）
A．26米 B．30米 C．36米 D．50米
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，AB＝6cm，D为AC的中点，则BD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．6.5cm
8．如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以12节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是（ ）
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
9．2024年9月27日晚，由南山区政府主办的“南山区标识体系发布暨国际文化交流共鸣之夜”在深圳人才公园举行，深圳南山全新城区形象标识正式发布．与此同时，南山国际文化交流市集在此汇集了几十个展位，其中两个相邻展位都是新月形．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝9，AB＝8，则△ABC的周长是（ ）
A．15 B．17 C．18 D．19
10．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，若该圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．6厘米 B．厘米
C．厘米 D．5厘米
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝4，BE＝3，则阴影部分的面积是 ．
（11题图） （12题图） （13题图） （14题图）
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝ cm2．
13．如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知AB＝2.5m，AC＝2m，则BC的长为 m．
14．如图，等腰三角形ABC的面积为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC与点G，连接CF，若AC＝3，CG＝2，则CF的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，在△ABC中，BC＝5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD＝BD＝3，求AB，AC的长．
17．（9分）如图，地面上放着一个小凳子，凳子的高是30cm，一根细长的木杆一端与墙角A重合，木杆靠在凳子的点B处，A，B两点的距离是50cm，求点B离墙的距离．
18．（9分）在寻找马航MH370的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
19．（9分）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．
（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．（9分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
21．（9分）如图，两条公路l1、l2交于点O，在公路l2旁有一学校A，与O点的距离为170m，点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响．
（1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
（2）若汽车速度为80km/h，则学校受噪音影响多少秒钟？
22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t s．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当t＝13时，求点A、P之间的距离．
23．（11分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A A D C B D C D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，符合题意；
B、不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、不是整数，不是勾股数，不符合题意；
选：A．
2．解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为400﹣225＝175；
B、B代表的正方形的面积为400+225＝625；
C、C代表的正方形的面积为256﹣112＝144；
D、D代表的正方形的面积为400﹣120＝280．
选：A．
3．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AC2+AB2+BC2＝2BC2＝2×4＝8．
选：A．
4．解：∵Rt△ABC的三边都扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′
∴，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵△ABC是直角三角形，
∴△A′B′C′是直角三角形，
选：A．
5．解：由题意可知AB25（m），
居民直接到B时要走AB＝25m，若居民不践踏草地应走AC+BC＝24+7＝31（m），
AC+BC﹣AB＝31﹣25＝6（m），
在？的地方应该填写的数字为6，
选：D．
6．解：∵大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，即△ABC是直角三角形
∴BC，
∵AB＝24米，AC＝10米，
∴BC＝26（米），
∴大树的高度＝AC+BC＝10+26＝36（米）．
选：C．
7．解：∵∠ABC＝90°，D为AC的中点，
∴BDAC．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC10cm．
∴BD＝5cm．
选：B．
8．解：由题意可得：BO＝16×1.5＝24（海里），
AO＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，
则此时：AO2+BO2＝AB2，
△AOB是直角三角形，
则∠BOA＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴2号舰的航行方向是：南偏西60°．
选：D．
9．解：∵AB2＝AC2+BC2，
∵9＝S1+S2，
∴，
∴AC×BC＝18，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC BC＝100，
∴AC+BC＝10（负值舍去），
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+8＝18，
选：C．
10．解：圆柱体的侧面展开图如图所示，连接AB，
∵圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米，
∴AC＝3cm，BC8＝4（cm），
∴蚂蚁爬行的最短距离AB5（cm）．
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵AE＝4，BE＝3，∠AEB＝90°，
∴AB5，S△ABE6，
∴S正方形ABCD＝AB×BC＝5×5＝25，
∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝25﹣6＝19，
答案为：19．
12．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝64，
则S1+S2＝AC2+BC2＝64（cm2），
答案为：64．
13．解：如图所示：在Rt△ABC中，
BC1.5（m）．
答案为：1.5．
14．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝CDBC＝6，
∴AD8，
∴等腰三角形ABC的面积BC AD12×8＝48，
答案为：48．
15．解：由作图可知，DE垂直平分线段BC，
∴CG＝GB＝2，FG⊥CB，FC＝FB，
∴∠B＝∠FCB，BC＝4，
∵∠B+∠A＝90°，∠FCB+∠ACF＝90°，
∴∠A＝∠ACF，
∴FC＝FA＝FB，
∵AB5，
∴CFAB．
答案为．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD＝DB＝3，BC＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2，
∴AB3，AC．
17．解：如图，过B作BD⊥地面于点D，
则∠ADB＝90°，
由题意得：BD＝30cm，AB＝50cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD40（cm），
答：点B离墙的距离为40cm．
18．解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里，
∵OB2+OA2＝242+182＝900，AB2＝302＝900，
∴OB2+OA2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，
∴∠BOD＝50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．
19．解：（1）△ACD为直角三角形，理由如下：
根据题意可得
．
在△ACD中
AD2＝AC2+CD2．
所以△ACD为直角三角形．
（2）．
20．解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12，
∴DM＝8，
∴BM（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线8米．
21．解：（1）货车开过学校受噪音影响，理由如下：
∵点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响，80＜100，
∴货车开过学校受噪音影响；
（2）如图，设货车开过，在点B至点D学校受噪音影响，则AB＝AD＝100m，
∵AM⊥l1，
∴BM＝DM，
由勾股定理得：BM60（m），
∴BD＝2BM＝120（m），
∵汽车速度为80km/h＝22m/s，
∴影响时间＝120÷225.4（秒），
答：学校受噪音影响5.4秒钟．
22．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
由勾股定理得：．
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
②当∠BAP＝90°时，如图所示：
所以AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得．
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或．
（3）当t＝13时，BP＝13，CP＝13﹣4＝9，
在Rt△ACP中，．
∴点A、P之间的距离为．
23．解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
即a2+b2＝c2．
（2）设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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