专题三 平行四边形的存在性问题
知识梳理
在平行四边形中，若已知三个顶点的位置，要确定第四个点的位置，可以分成三种情况讨论。如图1，分别以 BC、AB、AC为对角线(也可以分别以AB和AC为一组邻边、以AC和BC 为一组邻边、以AB 和BC 为一组邻边)，则第四个点分别为 已知A、B两个顶点的坐标，AB可能为平行四边形的对角线，也可能为平行四边形的一条边。
【例1】如图2，直线 与x轴交于点 A，与y轴交于点 B，直线 与y轴交于点 C。
(1)直接写出点 A、B、C的坐标分别为:A ,B ,C ;
(2)是否存在将直线 向上或向下平移使其经过点D，且使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出所有可能的平移方式；若不存在，请说明理由。
【例2】如图3，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A，直线 交 x轴于点 B，两直线交于点 C。
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)平面直角坐标系内是否存在点 D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【例3】如图4，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边( 点 P 以每秒 2个单位的速度从点 C 向点B 运动，同时，点Q 以每秒 个单位的速度从点O 向点C 运动。当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t。
(1)求点 C、B的坐标。
(2)当t为何值时， 此时，在平面内是否存在点 M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点 M的坐标。若不存在，请说明理由。
(3)当t为何值时， 的面积是平行四边形OABC 面积的
【例4】如图5，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点 A、C在坐标轴上，B(8，4)，将矩形沿 EF折叠，使点A 与点C重合。
(1)求点 E 的坐标;
(2)点P从O出发，沿折线O-A-E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点E 时停止运动，设点 P的运动时间为t，△PCE 的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围。
(3)在(2)的条件下,当 时，在平面直角坐标系中是否存在点 Q，使得以点 P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形 若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q的坐标。
【例5】如图6，已知在平面直角坐标系中，直线. 分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A 的坐标为(8,0),点C为AB 中点。
(1)求点 B 的坐标;
(2)点M为直线AB上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线OC于点Q，设点M的横坐标为m，线段MQ的长度为d，求d与m 的函数关系式(请直接写出自变量m的取值范围)；
(3)当点M在线段AB(点M不与A、B重合)上运动时，在坐标系内是否存在一点 N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形为菱形 若存在，直接写出 N点的坐标；若不存在，请说明理由。
【例6】如图7，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，顶点 B在第一象限，. 点 E、F分别在边AB 和射线OB 上运动(E、F不与正方形的顶点重合)，( 设
(1)当t=2时,则AE= ,BF= ;
(2)当点 F在线段OB 上运动时，若△BEF的面积为· ，求t的值；
(3)在整个运动过程中，
①平面上是否存在一点 P，使得以 P、O、E、F为顶点的四边形是菱形 若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。
②若函数 a为常数)的图象同时经过E、F，直接写出a的值。
【例7】如图8，在平面直角坐标系xOy中，直线. 与 分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点 C，点D 的坐标为 点E是AC 的中点,连接OE交CD 于点F。
(1)求点 F 的坐标;
(2)若 求k 的值；
(3)在(2)的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线BC 上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以 B、P、M、N为顶点的四边形是菱形，求点 P 的坐标。
【例8】如图9，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点 B 在反比例函数 的第一象限内的图象上， 动点 P在x轴的上方，且满足 矩形AOCB。
(1)若点 P 在这个反比例函数的图象上，求点 P 的坐标；
(2)连接 PO、PA,求 PO+PA 的最小值;
(3)若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点 Q的坐标。
【例9】如图10,在矩形ABCD中, 的角平分线交AD 于点E，动点 P 从 C 出发以每秒2个单位的速度向点 B 运动，过点 P 作 与边CD交于点 F，过点 F 作 与 BE交于点G。当点 F 与点 D 重合时，点P 停止运动，设点 P 运动的时间为t秒。
(1)用含t的代数式分别表示线段DF 和GF 的长，则有
(2)点P在运动过程中，平面内是否存在一点 Q，使得以 P、G、F、Q为顶点的四边形为菱形 若存在，求 PQ的长；若不存在，请说明理由。
(3)作 E 关于 FG 的对称点为.
①当直线 PF经过. 时，求t的值；.
②取线段 PF的中点H，连接 点 P 在运动过程中， 的最小值是 。(直接写出答案)
【例10】如图11，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴正半轴上，连接AC，且
(1)求 B点坐标;
(2)动点 P从A 出发沿线段AO向O以2个单位/秒的速度运动，连接CP，将CP绕点 P 逆时针旋转45°得到线段QP，设运动的时间为t秒，设△POQ的面积为S，求S与t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，在直线 EF 上存在一点M，且M点坐标为(m，14-m)，同时在平面内存在一点N，使得以C、P、M、N为顶点的四边形为正方形，求t的值并直接写出 N 点坐标。
专题三 平行四边形的存在性问题答案
【例1】解:(1)直线l :y=2x+4,令x=0,则y=4,
令y=2x+4=0,解得x=-2,
对于直线l :y=-x+2,令x=0,则y=2,
故点 A、B、C的坐标分别为(-2,0)、(0,4)、(0,2),
故答案为:(-2,0)、(0,4)、(0,2);.
(2)存在,理由:
设平移后的直线表达式为y=-x+b,则设点D(m,-m+b),①当AB是边时，
点A向右平移2个单位向上平移4个单位得到点 B，则点 C
(D)向右平移2个单位向上平移4个单位得到点 D(C)，则0+2=m,2+4=-m+b或0-2=m,2-4=-m+b,解得 或
②当AB是对角线时，
由中点公式得： 解得
故平移后的直线表达式为y=-x+8或y=-x-4或y=-x,故直线l 平移的方式是：向上平移6个单位或向下平移6个单位或向下平移2个单位。
【例2】解:(1)证明:∵直线y=2x+4交x轴于点A,
∴当y=0时,x=-2,
∴点A 的坐标为(-2,0),
∵直线 交x轴于点B，
∴当y=0时,x=4,
∴点 B的坐标为(4,0),
由
∴点C的坐标为
AB=4-(-2)=4+2=6,
∴△ABC是直角三角形；
(2)平面直角坐标系内存在点 D，使得以A，B，C，D为顶点的四边 形 是 平 行 四 边 形, 点D 的 坐 标 为 或( , ),
如图所示，
当CD ∥AB时,
∵点 A 的坐标为(-2,0),点 B的坐标为(4，0)，点C的坐标为
∴D 的坐标为
当AC∥DB 时,
设直线AC的函数解析式为y= kx+b，
得
即直线AC的函数解析式为y=2x+4，
设直线 BD 对应的函数解析式为y=2x+c，
∵点 B(4,0)在该直线上,
∴0=2×4+c,得c=-8,
∴直线 BD 对应的函数解析式为 y=2x-8,
∵点 D 的纵坐标为
解得
∴D 的坐标为
当CD ∥AB时,
∵点A 的坐标为(-2,0),点 B的坐标为(4,0),点 C的坐标为
∴D 的坐标为
由上可得，点D 的坐标为 或
【例3】解:(1)如图①,过点 C作CD⊥OA,垂足为 D,
∵∠AOC=45°,
∴△OCD为等腰直角三角形，
在△OCD中,
∴点 C坐标为(8,8),
∵OA=18,即点 A 坐标为(18,0),
∵四边形OABC为平行四边形，
∴点 B坐标为(26,8);
(2)若AP⊥BC,如图②,则点 P 坐标为(18,8),
∴CP=18-8=10,
∴此时t=10÷2=5s,此时(
同(1)可知点 Q此时的坐标为(5,5),
∵A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形，
∴点 M 的坐标为(5,13)或(5,-3)或(31,3);
(3)如图③，由题意可得：(OQ= t,CP=2t,
同(1)可得:点 Q的坐标为(t,t),点 P的坐标为(8+2t,8),∴△APQ的面积=四边形 OABC 的面积-△AOQ 的面积-△PQC的面积-△ABP 的面积
∵△APQ的面积是 OABC面积的
解得t=3或6,
∴当t为3秒或6秒时,△APQ的面积是 OABC面积的
【例4】解:(1)如图①,
在矩形ABCO中,B(8,4),
∴AB=8,BC=4,
设AE=x,
则EC=x,BE=8-x,
Rt△EBC中,由勾股定理得:
∴x=5,即AE=5,
∴E(5,4);
(2)分两种情况：
①当 P 在OA 上时,0≤t≤2,如图②,
②当 P在AE上时,2
(3)存在,由 可知：P在AE上,如图④,过 G作GH⊥OC于H,
∵AP+PE=5,
∴AP=3,PE=2,
设OF=x,则FG=x,FC=8-x,
由折叠得∠
由勾股定理得.
解得x=3,
GH=2.4,
由勾股定理得
∴OH=3+1.8=4.8,
∴G(4.8,-2.4),
∵点 P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形，且PE=2，
∴Q(6.8,-2.4)或(2.8,-2.4),
当 PE为对角线时，此时
综上所述,点 Q 的坐标是(6.8,-2.4)或(2.8,-2.4)或
【例5】解:(1)∵直线 过点A(8,0),
∴0=-6+b,解得b=6,
∴直线AB的解析式为 令 中x=0,则y=6,∴点 B 的坐标为(0,6)。
(2)依照题意画出图形，如图①所示。
∵A(8,0),B(0,6),且点C为AB的中点,∴C(4,3),
设直线OC的解析式为y= kx(k≠0),则有3=4k,解得
∴直线OC的解析式为
∵点M在直线AB上，点Q在直线OC 上，点M 的横坐标为m，MQ⊥x轴,
当m<4时,
当m>4时,
故
(3)假设存在，设点 M的坐标为
∵点 P在第一象限，
∴以O，B，M，N为顶点的四边形为菱形有两种情况：
①以 BM为对角线时，如图②所示。
∵四边形OMNB为菱形,B(0,6),
解得 或n=0(舍去),
∴点
则点
②以OM为对角线时，如图③所示。
设点M的坐标为 则点 N的坐标为 由ON=OB得 解得 (不合题意的值已舍去)，故点 N 的坐标为
综上，故N 点坐标为： 或
【例6】解:(1)设点 F(x,y),
∵四边形OABC为正方形,则x=y,
,解得x=2t=y,故点 F(2t,2t),点 E(6,6-t),
当t=2时,AE=AB-BE=6-t=4,
故答案为：4，2
(2)△BEF的面积 解得
(3)①由(1)知,点 E、F的坐标分别为(6,6-t)、(2t,2t),
则
当 EF为对角线时，如图①，
则OE=OF,即 解得 (不合题意的值已舍去)；
当 EF是边时,如图②,③,
当FE=OE时,即( ,解得t=0(舍去)或4;
当 EF=OF 时,同理可得
综上 或4 或
②将点 E、F的坐标分别代入函数
得 解得
故a=-4。
【例7】解:(1)如图①,
∵令直线y=x+2中的x=0,则y=2,令y=0,则x=-2,
∴A(-2,0),C(0,2),
∵点E是AC的中点，
∴AE=EC,
∵由中点坐标公式得:E(-1,1),
∴设直线OE的解析式为 y=koεx,代入E(-1,1),得 koc=-1,
∴直线OE的解析式是:y=-x,
设直线CD的解析式为： ，代入点C、D可得：
解得
∴直线 CD的解析式为y=3x+2,
由 解得
(2)如图②,过点 D作DT⊥CD交BC 于点T,过点 T作TH⊥x轴于点 H,
∵OA=OB,故∠ACO=45°,
∵∠OCB=∠ACD,
∴∠DCB=∠BCO+∠OCD=∠ACD+∠DCO=45°,故△CDT为等腰直角三角形,则CD=TD,
∵∠CDO+∠HDT=90°,∠HDT+∠DTH=90°,
∴∠CDO=∠DTH,
∵∠COD=∠DHT=90°,CD=TD,
∴△DHT≌△COD(AAS),
则
把 ,代入y= kx+2,解得 k=-2;
(3)如图③,
当四边形 BN P M 是菱形时,连接BP 交OC于K,作KH⊥BC于H。
∵∠KBO=∠KBH,KO⊥OB,KH⊥BC,
∴KO=KH,
∵BK=BK,∠KOB=∠KHB=90°,
∴Rt△KBO≌Rt△KBH(HL),
∴BO=BH=1,设OK=KH=x,
在Rt△CHK中,CK =KH +CH ,
∴设直线 BK 的解析式为
代入B(1,0), 得
∴直线 BK 的解析式为
当 时.
当四边形 BN P M 是菱形时，可得直线 BP 的解析式为y=
当 时
当四边形 BP N M 是菱形时，M 在直线 时，
∵P 与M 关于x轴对称,
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为 或 或
【例8】解:(1)∵四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3,
∴点 B 的坐标为(4,3),
∵点 B在反比例函数 的第一象限内的图象上，
∴k=12,
设点 P 的纵坐标为m(m>0),
∴m=2,
当点，P在这个反比例函数图象上时，则
∴x=6,
∴点 P 的坐标为(6,2)。
(2)过点(0,2),作直线l⊥y轴。
由(1)知，点P 的纵坐标为2，
∴点 P在直线l上，
作点O关于直线l的对称点O'，则
连接AO'交直线l于点 P,此时 PO+PA 的值最小,
则 PO+PA 的最小值:
(3)
①如图②中,当四边形 ABQP是菱形时,易知AB=AP=PQ=
②如图③中，当四边形 ABPQ 是菱形时，
综上所述，点Q 的坐标为：( Q (4-2 ,-1),Q (4+2 ,-1)。
【例9】解:(1)依题意得:CP=2t,
∵四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=7,
∴∠ABC=∠C=90°,CD=AB=4,AD=BC=7,BP=BC-PC=7-2t,
∵BE平分∠ABC,
∵PF∥BE,FG∥BC,
∴∠FPC=∠GBP=45°,四边形 BPFG是平行四边形,
∴CF=CP=2t,GF=BP=7-2t,
∴DF=CD-CF=4-2t,
故答案为:4-2t;7-2t。
(2)存在满足条件的点 Q。
∵当点 F 与点 D 重合时，点P 停止运动，
∴CF=2t≤4,即0≤t≤2,
①若四边形 PQGF是菱形,如图①,则点 B、Q重合,
∴BP=PF,
∵等腰 Rt△CPF 中,CF=CP=2t,
∵BP=7-2t,
解得
②若四边形 PQFG是菱形，如图②，
∴PG=FG=BP,
∴∠BGP=∠GBP=45°,
∴∠BPG=∠CPG=90°,
∴菱形 PQFG是正方形,点 C、Q重合,
∴BP=GF=PC,
∴7-2t=2t,解得
③若四边形 PFQG是菱形,如图③,连接PQ交FG 于点O,
PQ⊥FG,
∴PQ∥CD,
∴四边形 PCFO是平行四边形，
∴OF=CP=2t,OP=CF,
解得
综上所述，PQ的长为： 1-7 或 或
(3)①连接EE',交 FG于点M,交 BC于点N,
∵点 E与点E'关于GF 对称,
∴EE'⊥FG,EM=ME',
∴△EMG、△EBN、△E'NP、△E'MF 为等腰直角三角形，四边形CFMN、四边形 CDEN 是矩形,
(7-2t),BN=EN=CD=4,
∴MF=CN=BC-BN=7-4=3,
解得
②由图可得:当点 P 在直线EE'上时,E'为EP 中点, EF 最短,
∵EP⊥BC,
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴BP=PE=CD=4,
∴DE=CP=BC-BP=3,
∴CF=CP=3,
∴DF=CD-CF=1,
故答案为：
【例10】解:(1)如图①中,
∵四边形ABCD是正方形，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴OA=OC=AB=BC=6,
∴B(6,6)。
(2)如图②中,过点 P 作 PN⊥AC于 N,过点Q作QM⊥x轴于M。
∵∠MPC=∠MPQ+∠QPC=∠PAC+∠PCN,∠CPQ=∠PAC=45°,
∴∠PCN=∠MPQ,
∵∠QMP=∠PNC=90°,PQ=PC,
∴△PNC≌△QMP(AAS),
(3)如图③-1中,当四边形 PNMC是正方形时,过点 M作MJ⊥OE 于J,过点 N 作 NT⊥OF于T。
∵∠POC=∠MJC=∠MCP=90°,
∴∠PCJ+∠PCO=90°,∠PCO+∠OPC=90°,
∴∠MCJ=∠OPC,
∵CM=CP,
∴△MJC≌△COP(AAS),
∴MJ=OC=6,
∵M(m,14-m),
∴m=6,M(6,8),
∴CJ=OP=2,
同法可证△COP≌△PTM,
∴PT=OC=6,NT=OP=2,
∴N(8,2)。
如图③-2中，当四边形 PMNC是正方形时，过点 M作MT⊥OF于T,过点 N作NJ⊥OE于J。
同法可证△POC≌△MTP,
∴PT=OC=6,
OP=MT=TF=6-2t,
∴6-2t+6-2t+6=14,
∴t=1,
∴OT=10,
同法可证△NJC≌△COP,
可得CJ=OP=4,NJ=OC=6,
∴N(6,10),
综上所述,满足条件的点 N 的坐标为:(8,2)或(6,10)。
