第四讲一元二次方程的应用
知识梳理
重点分析：
1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一次方程(组)解应用题的一般步骤相同，也是一审(审题)、二找(找等量关系)、三设(设未知数，一元则设一个来知数，其他的未知量用该未知数表示)、四列(列方程)、五解(解方程)、六验(检验解的正确性)、七答(写出答案)。
2.常见应用题的等量关系：
(1)增长率问题：基数为A，增长后数量为B，经过两个时间单位，设增长率(降低率)为x，则有关系式： 或
(2)销售问题：销售总利润=单价利润×销售总量；
(3)几何图形中面积、距离计算问题：常见图形的面积公式及勾股定理。
难点分析：
1.一元二次方程在实际问题中应用范围极广，常见的有增长率问题、面积问题、平面内两点间的距离问题、经济数学中的利润问题等。面积问题要注意灵活运用常见的平面图形(如三角形、矩形等)的面积公式，距离问题主要策略是构造直角三角形，再利用勾股定理解决问题。
2.方程的解一定要检验，一是代入原方程检验方程解的正确性，二是检验是否符合实际。
【例1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感。
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感
【变式训练1】2015年某市曾爆发登革热疫情，登革热是一种传染性病毒，在病毒传播中，若1个人患病，则经过两轮传染就共有144人患病。
(1)每轮传染中平均1个人传染了几个人
(2)若病毒得不到有效控制，按照这样的传染速度，三轮传染后，患病的人数共有多少人
【变式训练2】某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染。
(1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑
(2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染
【例2】随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2017年底全市汽车拥有为75万辆，而截止到 2019年底，全市的汽车拥有量已达108万辆。
(1)求2017年底至 2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
(2)为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2020 年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过110.2万辆；另据估计，该市2020年报废的汽车数量是2019年底汽车拥有量的10%。请你计算出该市2020年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。
【变式训练3】据报道，安徽省2018年全省GDP 约为3万亿元，虽然 2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省GDP仍然达到约3.9万亿元。若2019年、2020年全省GDP 逐年增长，请解答下列问题：
(1)求 2019年、2020年安徽省全省GDP 年平均增长率(
(2)如果2021年和2022年安徽省全省GDP 仍保持相同的平均增长率，请预测 2022年全省GDP 能达到约多少万亿元
【变式训练4】某公司今年前3个季度利润增长率相同，其中第一季度利润为500 万元，第三季度比第二季度多120万元。
(1)求该公司前3个季度利润的平均增长率；
(2)按照这样的增长率，求该公司今年全年的总利润。
【例3】端午节期间，某食品店平均每天可卖出300 只粽子，卖出1只粽子的利润是1元。经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子。为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m(0
(2)在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多
【变式训练5】某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种台灯的售价应定为多少元 这时应进台灯多少个
【变式训练6】今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售。经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售。
(1)问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%
(2)该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售 ；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙 m 元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元,求m的值。
【例4】阅读下表：解答下列问题：
(1)根据表中规律猜测线段总条数 N与线段上点数n(包括线段的两个端点)的关系，用含 n的代数式表示 N,则 N= 。
(2)“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组(每组4个队)，每组组内分别进行单循环赛(即每个队与本小组的其他队各比赛一场)，求第一轮共要进行几场比赛
(3)“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛(即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛)，共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛
【变式训练7】我校九年级组织一班级篮球赛，若赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，则需安排45场比赛。问共有多少个班级球队参加比赛
【变式训练8】某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式(即每两队之间都要打两场比赛)，一共组织30场比赛。计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。
(1)该市举办方应该邀请多少支球队参赛
(2)此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少
【例5】已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数。
【变式训练9】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数。
【变式训练10】一个两位数的个位数字比十位数字大1，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原数的积比原数的平方大 108，求这个两位数。
【例6】如图1，已知在 中， ,点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以1cm/s 的速度移动，点Q从点B 开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动。
(1)如果 P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后， 的面积等于
(2)在(1)中, 的面积能否等于 请说明理由。
【变式训练11】如图2，在 中， ,动点 A 从点A 出发以 1cm/s的速度沿 AB边运动，同时动点 Q 从点 B 出发以： 的速度沿 BC边运动。设运动时间为 ts。
(1)若 的面积等于 求t的值；
(2)若 PQ的长等于 求t的值。
【变式训练12】如图3,在矩形ABCD中, ，动点 P、Q分别以 的速度从点 A、C同时出发，点Q 从点C 向点D 移动。
(1)若点 P 从点A 移动到点B 停止，点Q随点 P 的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间 P、Q两点之间的距离是 10cm
(2)若点 P沿着AB→BC→CD移动,点 P、Q分别从点A、C同时出发,点Q从点C移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间 的面积为
【例7】如图4，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为
【变式训练13】有一块长80cm，宽60cm的薄铁皮，在它的四个角截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为 的没有盖子的长方体的盒子。求截去的小正方形的边长。
【变式训练14】如图5，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 am。
(1)花圃的面积为 . m (用含a 的式子表示)；
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 求出此时通道的宽；
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y (元)、y (元)与修建面积. )之间的函数关系如图5内②所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2m且不超过10m，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元
【例8】解方程组：
【变式训练15】解方程组：
【变式训练16】解方程组：
【例9】解无理方程：3
【变式训练17】解方程：
【变式训练18】解方程：
【例10】如果方程 只有一个实数解，求p的值。
【变式训练 19】方程( 的解的个数为 。
【变式训练 20】方程 有一个实数根是 ( )。
答案
【例1】解：(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得1+x+x(x+1)=81,
整理，得
解得 (不合题意，舍去)。
答：每轮传染中平均一个人传染 8个人；
(2)81+81×8=729(人)。
答：经过三轮传染后共有729人会患流感。
【变式训练1】解：(1)设每轮传染中平均1个人传染了x人，
由题意,得1+x+x(x+1)=144,
解得x=11或x=-13(舍去)。
答：每轮传染中平均1个人传染了11个人；
(2)144+144×11=1728(人)。
答：三轮传染后，患病的人数共有1728人。
【变式训练2】解：(1)设每轮感染中平均每1台电脑会感染x台电脑,依题意得1+x+(1+x)x=16,
整理得 ,则x+1=4或x+1=-4,
解得 (舍去)。
答：每轮感染中平均1台电脑会感染3台电脑；
(2)∵n轮后,有(1+x)"台电脑被感染,故(1+3)"=4",
∵n=3时,4 =64,
n=4时,4 =256。
答：4轮感染后机房内所有电脑都被感染。
【例2】解：(1)设2017 年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x,根据题意得75(1+x) =108,
1+x=±1.2,
解得x =0.2=20%,x =-2.2(不合题意,舍去),
答：2017年底至 2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%;
(2)设该市2020年新增汽车数量最多不能超过 y万辆，由题意得108×0.9+y≤110.2,
解得 y≤13,
答：该市2020年新增汽车数量最多不能超过13万辆。
【变式训练3】解:(1)设 2019 年、2020年安徽省全省GDP 年平均增长率为x,依题意得3(1+x) =3.9,
解得x ≈0.14=14%,x ≈-2.14(不合题意,舍去)。
答:2019年、2020年安徽省全省GDP年平均增长率约为14%;(2)根据题意知， (万亿元)。
答:预测2022年全省GDP 能达到约5.07万亿元。
【变式训练4】解：(1)设前三个季度利润的平均增长率为x，根据题意得：
解得 (舍去)。
答：前三个季度利润的平均增长率为20%；
(2)因为第三季度利润为 (万元),
所以第四季度的利润为720(1+20%)=864(万元),
则该公司今年全年的总利润是 500+600+720+864=2684(万元)。
【例3】解:(1)当零售单价下降0.2元后,可卖出300+100×2=500(个),利润为500×(1-0.2)=400(元),
故答案为:500,400;
(2)当零售单价下降m时，利润为
由题意得
解得m=0.4或m=0.3,
可得，当m=0.4时卖出的粽子更多。
答：m定为0.4时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多。
【变式训练5】解：设售价为x元，
依题意列方程((x-30)[600-(x-40)×10]=10000,
解得
因需扩大销售量，减少库存，所以x =80应舍去,
当x=50时,[600-(x-40)×10]=500,
答：售价为50元时进500个。
【变式训练6】解：(1)设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%,
由题意得
答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%;
(2)由题意得 49000,
(舍)。
【例4】解:(1)由题意,得
故答案为
(2)每小组4个队单循环赛一共比赛 (场),
共6个组,6×6=36(场)。
答：第一轮共要进行36场比赛；
(3)设共有几支球队参加比赛，根据题意得
x(x-1)=240,
解得x=16或x=-15(舍去)。
答：共有16支球队参加比赛。
【变式训练7】解：设共有x个班级球队参加比赛，
根据题意得
整理得 即(x-10)(x+9)=0,
解得x=10或x=-9(舍去)。
则共有10个班级球队参加比赛。
【变式训练8】解：(1)设该市举办方应邀请x支球队参赛，
依题意得x(x-1)=30,
解方程得x =6,x =-5(不合题意,舍去),
(2)(10-4-2)×3+4×1+2×0=16,
答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分。
【例5】解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为x-4，根据题意,得(10x+x-4)×[10(x-4)+x]=1612,即(11x-4)×(11x-40)=1612,解得x=6,则10x+x-4=60+6-4=62。
答：这个两位数是62。
【变式训练9】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为(x-4)。
可列方程为：
解得x =8,x =1.5(舍),
∴x-4=4,
∴10x+(x-4)=84。
答：这个两位数为84。
【变式训练10】解：设这个数的个位数为x，十位数为x-1，根据题意列出方程得：
(10x+x-1)[10(x-1)+x]-108=[10(x-1)+x] ,解得x=2或x=-1,
则这个两位数是12。
【例6】解:(1)设经过x秒以后△PBQ面积为4cm ,根据题意得:
整理得
解得x=1或x=4(舍去)。
答:1秒后△PBQ的面积等于4cm ;
(2)仿(1)得
整理，得 因为(b -4ac=25-28<0,
所以，此方程无解。
所以△PBQ的面积不可能等于7cm 。
【变式训练11】解： 设 P、Q经过t 秒时,△PBQ的面积为 8cm ,则 PB=6-t,BQ=2t,
∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,
解得
∴当 P、Q经过2 或4秒时,△PBQ的面积为8cm ;
(2)设 P、Q两点运动t秒时，PQ的长等于
则 解得
答：当t为1或 时，PQ的长等于
【变式训练12】解:(1)过点 P 作PE⊥CD于E。则根据题意,得设 xs后,点 P 和点Q 的距离是10cm。
(16-2x-3x) +36=100,即(16-5x) =64,
∴16-5x=±8,
∴经过 或 ,P、Q两点之间的距离是10cm;
(2)连接BQ。设经过 ys后△PBQ的面积为12cm 。
①当 时,则 PB=16-3y,
即 解得y=4;
②当 时，
BP=3y-AB=3y-16,QC=2y,则 解得 (舍去);
③时,(QP=CQ-CP=22-y,
则
解得y=18(舍去)。
综上所述,经过4s或6s△PBQ的面积为12cm 。
【例7】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm可以得出平行于墙的一边的长为(27-2x+1)m,由题意得x(27-2x+1)=96,解得x =6,x =8,
当x=6时,27-2x+1=16>12(舍去),
当x=8时,27-2x+1=12。
答：所围矩形猪舍的长为12m、宽为8m。
【变式训练13】解:由题意得:(80-2x)(60-2x)=1500,
整理得 解得x=55(舍去)或x=15。
答：截去的正方形的边长为15cm。
【变式训练14】解:(1)由图可知,花圃的面积为(40-2a)(60-2a)
故答案是：
(2)当通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，即花圃所占面积是整个长方形空地面积的 ，则
解方程得:a =5,a =45(不符合题意,舍去)。
即此时通道宽为5m；
(3)当a=10时,花圃面积为(60-2×10)×(40-2×10)=800(m ),即此时花圃面积最少为800(m )。
根据图象可设y = mx,y = kx+b,
将点(1200,48000),(800,48000),(1200,62000)代入,则有1200m=48000,解得m=40,
且有 解得
∴y =35x+20000。
∵花圃面积为(
∴通道面积为
,解得a =2,a =48(舍去)。
答：通道宽为2m时，修建的通道和花圃的总造价为105920元。
【例8】解: 等价于x+3y=0或x-3y=0,
等价于x+2y+3=0或x+2y-3=0,
∴原方程组的解即是以下四个方程组的解
解①②③④分别得
∴原方程组的解为：
【变式训练15】解： 可化为(x-6y)(x+y)=0,∴x-6y=0或x+y=0,
可化为
∴x-2y+1=0或x-2y-1=0,
原方 程 组 相当于 以 下 四 个 方 程 组：
解①②③④分别得:
∴原方程组的解为：
【变式训练16】解：
由(1),可得2x+y=±3(3),由(2),可得x=-6y或x=y,
(1)把x=-6y代入2x+y=±3,
解得 或
(2)把x=y代入2x+y=±3,
解得 或
∴原方程组的解是 或
【例9】解：把方程整理得： 设 ，原方程就化为 (y-1)(3y+5)=0,
解得y=1或 经检验y=1是原方程的解。
解得x=0或-5,
∴原方程的解为：
【变式训练17】解：设
原方程等价于t +t-20=0,
因式分解,得(t+5)(t-4)=0,
解得t =-5(不符合题意,舍),t =4。
平方，得
化简，得
解得x =0或x =6。
【变式训练18】解：设 则 方程变形得 ,即(a-45)(a+44)=0,解得a=-44(舍去),a=45,
解得x=9或 经检验都为方程的解。
【例10】解：整理得
分解得
所以 或
故
或
解得
【变式训练19】解:(x+2)(x+3)(x+6)(x+9)=3x ,
(x+2)(x+3)(x+6)(x+9)-3x =0,
(x+2)(x+9)·(x+3)(x+6)-3x =0,
(无解)或
解得
故解的个数为2，
故答案为：2。
【变式训练20】解：原方程可化为
即
∴2x+1=0或.
(1)当2x+1=0时,解得
(2)当. 时
或
①当 解得 或
②当 解得 或
综上所述，x可能为
故选:C。
