专题二直角三角形存在性问题
问题与方法
问题：如图3-2-1，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且是直角三角形，则点P的坐标为.
【简析】易知点B的坐标为(2，0)，A，B两点是确定的，分三种情况：
①如图3-2-2①,若，过点A作AB的垂线，与函数的图象没有交点，这样的点P不存在；
②如图①，若，过点B作AB的垂线，交函数的图象于点P，此时，点P的坐标为(2，1)；
③如图②，若，以AB为直径作圆，圆与函数的图象如果有交点，再列方程，解方程求解.
解法1(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)：如图③，连接OP，过点P作PH⊥x轴于H点，OP是Rt△APB的斜边上的中线,且OP=2.
设由,在Rt△POH中解得此时.
解法2(勾股定理)：设由勾股定理，得
运用两点间的距离公式，根据勾股定理建立方程：解得此时
解法3(射影定理)：设如图③,由△AHP∽△PHB,得PH =AH·BH.
解方程得此时
解法4(构造一线三垂直相似)：设如图④，过点P作x轴的平行线MN，分别过点A，B作MN的垂线,交于点M,N,则△APM∽△PBN,故I解得此时
【反思提升】③中前三种解法实质是一样的，都是通过建立方程求解，此时点P是以AB为直径的圆与反比例函数图象的交点(如图⑤).
1.几何法
两定点一动点的直角三角形的存在性问题：
①“两线一圆”找出点：事实上，已知A，B为两个定点，若△ABC是直角三角形，则符合条件的点C在分别过点A，B所作的线段AB的垂线上，或者在以AB为直径的圆上(图3-2-3①).
②借助相似，利用线段比例关系求解.
特别地：遇坐标平面内的斜直角，常过斜直角顶点构造“K”型相似，如图3-2-3②③分别对应∠ABC=90°,∠BAC=90°的情况.
作图方法，图②中，过直角顶点B作水平线，过A，C作铅垂线，得△ABM∽△BCN；图③中，过直角顶点A作铅垂线，再过点B作水平线，得△ACF∽△BAE.
2.代数法
①表示出点A,B,C的坐标;②表示出边长:AB,BC,CA;
③分类讨论：A ;
④分别列出方程，解方程(注意：①根据条件取舍方程的解；②也可根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程，如解法1).
应用举例
例1如图3-2-4,已知抛物线的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0),C(0,3).
(1)若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
例2如图3-2-5,抛物线与x轴交于A,B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点P是抛物线上一动点(异于点B，C)，当△BCP为直角三角形时，求点P的坐标.
(3)如图，若点Q是直线BC上方的抛物线上一动点，过点Q作QH垂直x轴于H，交直线BC于点E，是否存在点Q，使得△QCE为直角三角形 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【问题分析】
(2)“两定一动”型问题.点P在抛物线上，可设出点P坐标，若用代数法求解所列方程会出现4次方，此种情况下一般考虑几何法求解.分类讨论:①∠BCP=90°;②∠CBP=90°;③∠BPC=90°，“两线一圆”找到点，再构造相似求解.
(3)“两动一定”型问题，不能用“两线一圆”法求解，也不适宜用代数法求解.直接分类讨论：①∠ECQ=90°;②∠CEQ=90°;③∠EQC=90°,先作出满足题意的图形，再通过直接列方程或借助相似求解.
进阶训练
1.已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3,4),M是抛物线对称轴上的一个动点.小明经探究发现：当ba的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则b和的值是.
2.二次函数的图象过点A(6，0)，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为.
3.如图3-2-6,抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，顶点为D，点B的坐标为(3,0).
(1)填空：点A的坐标为，点D的坐标为，抛物线的解析式为.
(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
4.如图3-2-7,抛物线与x轴分别相交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C，顶点为P.
(1)求抛物线的解析式.
(2)动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OB上向点B运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F.在点M的运动过程中，是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形 若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
5.如图3-2-8,抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过点A,点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m.当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标.
6.如图3-2-9，在平面直角坐标系中，函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F.直线AF交CD于点H,连接HE.
(1)点E的坐标为;
(2)当△HEF是直角三角形时，求a的值.
答案
|应用举例|
例1解：(1)抛物线的解析式为直线BC的解析式为y=x+3.
(2)解法1(代数法):设P(-1,t),
∵B(-3,0),C(0,3),
①若点B为直角顶点，则即解得t=-2;
②若点C为直角顶点，则.即解得t=4;
③若点P为直角顶点，则即
解得
综上,点P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,或
解法2(几何法):①如图①,若∠P BC=90°,过点B作x轴的垂线MN，分别过点C，P 作直线MN的垂线，交MN于点M,N,则△BCM∽△P BN,
∵BM=MC=3,∴BN=P N=2.∴点P 的坐标为(-1,-2).
②如图②，若,同①可求点P 的坐标为(-1,4).
③如图③④,若∠BPC=90°,有两个点P ,P 满足条件.过点P 作y轴的垂线MN，交y轴于点N.过点B作直线MN的垂线,交MN于点M,则△BP M∽△P CN,
又∵BM-CN=3,
或舍).
∴P 的坐标为
同理可得，P 的坐标为
综上,点P的坐标为(--1,--2)或(--1,4)或(--1,或
【解法反思】此题为“两定一动”型问题，且动点在直线上，所以点P的坐标易于表示且相对简单，所以代数法相对有优势.
例2解：(1)抛物线的解析式为
(2)设点P的坐标为(
①当.时，如图①，过点B作y轴的平行线BH,过点P作PH⊥BH于点H,则∠OBH=∠H=90°.
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠CBO=45°.∴∠PBO=45°.∴∠HBP=45°.∴BH=PH.
解得n=-2或n=3(舍去).∴点P的坐标为(-2,-5).
②当∠PCB=90°时,如图②.过点P作PI⊥y轴于点I.同理可得,IP=IC.
∵C(0,3),∴IP=n,IC=-n +2n.
解得n=1或n=0(舍去).
∴点P的坐标为(1,4).
③当∠BPC=90°时,分两种情况.
(j)如图③,过点P作x轴的平行线JK交y轴于点J,过点B作BK⊥JK于点K.
易得△CJP∽△PKB.(
∵B(3,0),C(0,3),
∴CJ=-n +2n,PK=3-n,JP=n,KB=-n +2n+3.
解得或(舍去)或n=0(舍去)或n=3(舍去).
∴点P的坐标为
(jì)如图④,过点P作y轴的平行线ST交x轴于点T,过点C作CS⊥ST于点S.
易得△CSP∽△PTB.
∵B(3,0),C(0,3),
解得或(舍去)或n=3(舍去)或n=0(舍去).
∴点P的坐标为
综上所述，符合条件的点P的坐标为(-2，-5)或(1，4)或或
(3)存在满足条件的点Q.易得直线BC的解析式为y=-x+3.分三种情况:
①∠CEQ=90°显然不成立.
②当∠CQE=90°时,如图⑤.
yo=yc=3.
把y=3代入.得
解得x=2或x=0(舍去).∴Q(2,3).
∵QH⊥x轴,
把x=2代入y=-x+3,得y=1.
∴此时点E的坐标为(2,1).
③当∠QCE=90°时,如图⑥,延长QC交x轴于点G,则∠GCB=90°.
易得∠CBO=45°,∴∠CGO=45°.∴QH=HG,OG=OC.
∴点G的坐标为(-3,0).
设
解得m=1或m=0(舍去).
又QH⊥x轴,
把x=1代入y=-x+3,得y=2.
∴此时点E的坐标为(1,2).
综上所述，符合条件的点E的坐标为(2，1)或(1，2).
【解法反思】注意根据题目条件合理选择方法，另外求解时注意挖掘和利用题目中的隐含条件，如本题中的∠CBO=45°.
|进阶训练|
1.2或-8[解析]∵△AOM是直角三角形,∴一定存在分别以A，O为直角顶点且点M在对称轴上的直角三角形.∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴直线相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形(如图所示).
观察图象可知，或4,或
或(,6)[解析]根据题意得，抛物线解析式为点B的坐标为(0,3),抛物线的对称轴为直线
如图①,若∠ABM=90°,则∴BN=3.∴ON=6.∴M的坐标为(
如图②,若∠BAM=90°,则Rt△AOB∽Rt△POA.
∵OA=2OB,∴OP=2OA=12.∴P(0,--12),直线AP的解析式为:y=2x-12.
∴直线AP与抛物线的对称轴的交点即为所求的点M，∴点M的坐标为
3.解:(1)(1,0)(2,-1)y=x -4x+3
(2)解法1(代数法)：存在满足条件的点P.
∵A(1,0),C(0,3),
AC的中点为
设P(2,t),∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形,
∴t=2或t=1.
∴P(2,2)或P(2,1).
∴当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为(2,2)或(2,1).
解法2(几何法)：
存在满足条件的点P,设P(2,t).
当∠APC=90°时,如图,
设对称轴交x轴于点E.
过点C作CG⊥PE于点G,则CG=2,PG=3--t,∠CGP=∠AEP=90°,∠CPG+∠PCG=∠CPG+∠APE=90°,
∴∠PCG=∠APE.∴△CPG∽△PAE.
即
整理，得解得
经检验：均是原方程的根且符合题意，
∴点P的坐标为(2,1)或(2,2).
4.解：(1)抛物线的解析式为
(2)易知点C(0,4),B(4,0),P(1,),
∴直线BC的解析式为y=-x+4,存在满足条件的点F.
解法1(几何法):设F(m,-m+4),则FM=MB=4-m.(这里应用了题目中的隐含条件:∠OBC=∠OCB=45°)
如图①,当PF⊥BC时,作PD⊥MF,交MF的延长线于点D,则PD=1-m.
此时，易证明.△PDF∽△FMB,.
解得
如图②,当PF⊥PB时,作PD'⊥MF,交MF的延长线于点D',作BE⊥PD'于点E,则.
此时,易证明△PD'F∽△BEP,
解得
综上，△PFB为直角三角形时，点F的坐标为(()或
解法2(代数法):设F(m,-m+4),当PF⊥BC时,
解得或m=4(舍去),
当PF⊥PB时，同法可得
综上，△PFB为直角三角形时，点F的坐标为(或
【解法反思】题目中的隐含条件，如直线与坐标轴的夹角，有时可以起到很大作用，一定要注意挖掘和应用.
5.解：(1)抛物线的解析式为
(2)∵PM⊥x轴,∴PM∥y轴.
∴∠PMC=∠ACO.∴∠PMC为定值.
∴若△PCM为直角三角形，则只有两种情况：
∠MPC=90°或∠PCM=90°.
①如图①,当∠MPC=90°时,PM⊥PC.
∴PC∥x轴.∴点P的纵坐标为-2.
由解得x=-2或x=0(舍去),∴P(-2,-2).
②当∠PCM=90°时,过点C作AC的垂线交抛物线于点P，即为所求.
如图②,过点P作PE⊥y轴于点E,过点M作MF⊥y轴于点F.
易得△PEC∽△CFM,即或m=0(舍去).∴P(6,10).
综上所述，当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).
【解法反思】“两动一定”型问题，两个动点有一定关联(横坐标相同)，构造“K”型相似是常用方法.
6.解:(1)(1,0)
(2)如图，连接EC.对于抛物线(a>0),
令x=0,得到y=3a.
令y=0,即解得x=-1或x=3,∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3a).
易知C，D关于对称轴对称，
∴D(2,3a),CD=2,EC=DE.
①当∠HEF=90°时,∵ED=EC,∴∠ECD=∠EDC.
∵∠DCF=90°,
∴∠CFD+∠EDC=90°,∠ECF+∠ECD=90°.
∴∠ECF=∠EFC.∴EC=EF=DE.
∵EA∥DH,∴FA=AH,OF=OC=3a,AE=
∵AE=2,∴DH=4.
∵HE⊥DF,EF=ED,∴FH=DH=4.∴HC=2.
在Rt△CFH中,HC=2,FC=6a,HF=4,
解得或(舍去)，
②当∠HFE=90°时,∵OA=OE,FO⊥AE,
∴FA=FE.∴OF=OA=OE=1.
由①知OF=3a,∴3a=1,∴a=
③当∠EHF=90°时,不存在满足题意的a值.
综上所述，满足条件的a的值为 或
【解法反思】此题中抛物线是变化的，所以相当于是三个动点，需灵活应用题中条件转化求解.
