函数背景下线段和的最值
问题与方法
1. “PA+PB”的最值：利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”求解.
基础问题(两定点一动点)：如图2-1-12，A，B为定点，点P为直线上的动点，求PA+PB的最小值.
基本策略：化“同”为“异”，化“折”为“直”
求解时先确定定点、动点、对称轴，对称轴一般是动点所在的直线.
衍生问题 1(一定点两动点)：如图2-1-13，点 P 为一定点，点 M，N分别是OA，OB上的动点，求PM+MN的最小值.
基本策略：先对称，再垂直.
衍生问题2(一定长两定点)：如图2-1-14，已知m∥n，直线m，n之间的距离为定长d，A，B是两个定点,动点M,N分别在直线m,n上,且MN⊥m,求AM+MN+BN的最小值.
基本策略：平移转化为“基础问题”求解.
2. “kPA+PB”的最值:转化为“PH+PB”的最值求解.
问题1(胡不归问题：动点在直线上)：如图2-1-15，点A 是直线l上的定点，点P 是直线l上的动点,点 B 是直线l外的定点,求kPA+PB(0
提醒：①求 PA+kPB的最值，以点 B为角的顶点作角；求 PB+kPA的最值，以点 A 为角的顶点作角;②当 PA+kPB中的k>1时, 转化为 的最小值求解.如：
问题2(阿氏圆问题：动点在圆上)：如图2-1-16，已知⊙O的半径为r，定点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点,且r=k·OA.连接PA,PB,求kPA+PB的最小值.
基本策略：构造“子母型”的相似三角形，转化 kPA 为PH.
应用举例
例 1 (两定点一动点)如图2-1-17，抛物线 与x轴相交于A，B两点(点A 在点B 的左侧)，与y轴交于点C，D为该抛物线的顶点. P是直线AC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作PE∥y轴，交直线 AC于点E.当线段 PE 取得最大值时，在直线AC上找一点Q，使得△PQD的周长最小，求出这个最小周长.
变式1 (一定点两动点)如图2-1-18,直线y= kx+b(k,b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0),B(0,3),抛物线 与y轴交于点C.
(1)求直线AB 的解析式；
(2)若点 E 在抛物线 的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动,求CE+EF 的最小值.
【问题分析】
本题中 E，F均为动点，C为定点，属于衍生问题1，故需先作定点关于抛物线对称轴的对称点C',再过 C'作直线 AB 的垂线,垂线段的长为所求.
【反思提升】
变式2 (一定长两定点)如图2-1-19，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线 经过B,D(-4,5)两点,且与直线 DC交于另一点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)P为y 轴上一点，过点 P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【问题分析】
EM+MP+PB 中,点 P,M 为动点，平行线为 y 轴和对称轴，d=MP=1.可归属于“一定长两定点”型问题.
此题中两定点在平行直线的同侧.记对称轴与x 轴交于点 B'，分析题中条件，可得 故将 B'向左平移d 个单位得到B",连接 B"E 交对称轴于点 M,此时 EB",故 为所求.
例2 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图2-1-20 所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A,B(点 A 在点B 的左侧),OA=1.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点E的坐标为 P 为x轴上任意一点.
①求 的最小值；
②求5PE+3PA 的最小值.
【问题分析】
本题第(2)问为胡不归问题，①需借助 锐角三角 函 数 转化 PA.寻找正弦值为 的角.
由 得 sin∠BAE= ;∠BAE与定点 E 在直线的同侧，故需对称转化到异侧：作点 E 关于x 轴的对称点 F,点 F到AE 的垂线段长为所求；
②系数 k>1，需先提取系数转化: 5PE+ 3PA = 5(PE + PA),问题转化为第①问.
进阶训练
1. 如图 2-1-21,直线y=x+1与抛物线 交于A,B两点,P 是y轴上的一个动点. 当△PAB 的周长最小时，点P 的坐标为
2. 如图2-1-22,已知抛物线. 与x轴交于点A(1,0)和B(3,0),与y轴交于点C. D是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴DE上求作一点 M，使△AMC的周长最小，并求出点 M 的坐标和周长的最小值.
3. 如图2-1-23,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),P是第一象限内的抛物线上的动点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若 求a 为何值时，四边形PMEF 的周长最小.
4. 如图 2-1-24,抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点.将抛物线沿CD方向平移，使点D 落在点D'(3，6)，M是平移后所得抛物线上位于 D'左侧的一点，MN∥y 轴交直线OD'于点 N,连接 CN.当 的值最小时，求MN的长.
5. 如图2-1-25，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点A 和C(1,0),交 y轴于点 B(0，3)，抛物线的对称轴交x轴于点 E，交抛物线于点 F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为( 连接AE',BE',求 的最小值.
类型二答案
|应用举例|
例 1 解:易得A(-3,0),B(1,0),C(0,3),D(-1,4).由A(-3,0),C(0,3)得直线AC的表达式为y=x+3,设点 则点 E(x,x+3),
当 时，PE最大，此时点
如图，作点 P 关于直线AC 的对称点 P'，连接 P'E，连接DP'交AC 于点Q,则点 Q 为所求.
易知∠CEP'=∠PEC=∠ACO=45°,EP'=EP=
∴EP'∥x轴.
∴点 P'的横坐标为
∴△PQD 周长的最小值
【解法反思】求点关于直线的对称点的坐标是求解此类问题的一个难点.本题中是借助特殊角∠ACO=45°求解.如题中没有特殊角，如何求呢 下面借助一题说明求解这类问题的一般方法.
如图①，在平面直角坐标系中，已知点 P(-1，2)，则点 P关于直线 的对称点 P'的坐标为 .
[答案]
[解析] 如图 ②,设 P'(a,b), 则 PP'的中点 为
将点C的坐标代入 得4a-3b=34①.
分别过点 P，P'作平行于坐标轴的直线交于点 D，构造Rt△PDP',则△PDP'∽△AOB,
即.3a+4b=5②.
由①②可得
变式 1 解:(1)把点 A(-4,0),B(0,3)的坐标代入 y= kx+b可得直线AB 的解析式为
(2)如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C'.由对称的性质可得CE=C'E,∴CE+EF=C'E+EF.
过点C'作C'F⊥AB于点F,则( ,故C'F 的长即为CE+EF的最小值.
∵C(0,1),∴C'(2,1).
过点C作y轴的平行线交AB于点Q,易知∠QC'F=∠BAO,则
将x=2代入 得
则 故
即CE+EF的最小值为
变式2 解：(1)由点 D 的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5,则OB=AB-AO=5-4=1,故点B的坐标为(1,0),将 B(1,0),D(-4,5)的坐标代入:
得 解得
故抛物线的解析式为
(2)存在.
如图，设抛物线的对称轴交x轴于点 B'(-1，0)，将点 B'向左平移1个单位得到点.
连接B'E，交抛物线的对称轴于点 M，过点 M 作 MP⊥y轴,连接B'P,
则点 P,M为所求点,此时EM+MP+PB最小.
理由： ,且 B'B"∥PM,
故四边形 B'B'PM 为平行四边形，则 则
由点 B"，E的坐标得直线B"E的解析式为 当x=-1时.
故点 M 的坐标为
则 .EM + MP + PB 的 最 小 值
例2 解：(1)平移后的抛物线解析式为.
∵OA=1,∴A(-1,0),代入抛物线的解析式得
∴抛物线的解析式为 即
(2)①如图，作点E关于x轴的对称点F，EF 交x轴于点G,过点 F作FH⊥AE于点 H,交x轴于点P,此时 PE+ AP:最小.
∵∠AGE=∠AHP=90°,∴sin∠EAG=PH=EG=
∵E,F关于x轴对称,∴PE=PF.
的最小值是3.
以下解答同①.
|进阶训练|
1. (0, [解析] 易知A(1,2),B(4,5),作点 A 关于y 轴的对称点 A',连接 A'B 交 y 轴于点 P,此时△PAB的周长最小.易得 A'(-1,2),直线 A'B 的解析式为
∴当△PAB的周长最小时，点 P的坐标为((0,
2. 解:(1)把A(1,0),B(3,0)的坐标代入 3,得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)如图,连接BC交 DE于点 M,此时 MA+MC最小.
∵AC是定值，∴此时△AMC的周长最小.
由题意知OB=OC=3,OA=1,
∴此时△AMC的周长=AC+AM+MC=AC+BC=
∵B(3,0),C(0,-3),∴直线 BC的解析式为 y=x-3.
∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴M(2,-1).
另解：由B(3,0),C(0,-3),得∠OBC=45°,∴AE=BE=EM=1.∴M(2,-1).
3. 解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=2,
∴设抛物线的解析式为. 把A(-1,0),C(0,5)的坐标代入,得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)四边形 PMEF 的四条边中,PM,EF 长度固定,因此只要ME+PF最小即可.
如图，将点 M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M (1,1).
作点 M 关于x轴的对称点 M ,则 M (1,-1).连接PM ,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM 最小.
由P(2+ ,3),M (1,-1)得直线 PM 的解析式为
令y=0,得
∴当 时，四边形 PMEF 的周长最小.
4. 解:易知A(3,0),B(-1,0),C(0,3).
(化斜为直，转化斜线段
如图,连接AD',∵A(3,0),D'(3,6),
∴AD'⊥x轴.
过点 N作 NJ⊥AD'于点 J,过点C作CT⊥AD'于点 T,
则
的最小值为3.
∵点 N 在直线OD':y=2x上,点 M 在抛物线 y= 上，
∴此时
5. 解:(1)把 B(0,3),C(1,0)的坐标代入 c,得 解得 抛物线的解析式为
(2)(由线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE'，可知点 E'在以O为圆心，OE 长为半径的圆上，且 故本题为阿氏圆问题：A，B为圆外定点，E'为圆上动点.在OA 上截取 构造相似三角形)
如图，在OE上取一点 D，使得 连接BD,DE'.
由 ,得A(-3,0),E(-1,0),
又∵∠DOE'=∠E'OA,∴△DOE'∽△E'OA.
∴当 B,E',D 三点共线时, 最小，最小值为
的最小值为
