专题四 平行四边形存在性问题
问题与方法
问题1(三定点一动点)： 如图3-4-1，已知平面直角坐标系内的三个点 A(1，2)，B(6,1),C(3,5),D为同一坐标平面内一点,若以A,B,C,D四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点 D 的坐标为 .
【简析】先作出满足条件的图形，确定点的位置，再求点的坐标.
A，B，C，D四个点中有三个定点一个动点.
如图3-4-2,连接AB,BC,CA,分别过A,B,C三点作BC,AC,AB的平行线,三条直线两两相交于点D ,D ,D ,则点 即是所求的点 D 的位置.
当四边形 ABCD 是平行四边形时， 可看成是由AB平移得到的.
∵B(6,1),C(3,5),∴把AB向左平移3个单位,再向上平移4个单位可得(
∵A(1,2),∴点 A 的对应点 D 的坐标为(
当四边形 四边形 是平行四边形时，同理可得 综上,符合条件的点 D的坐标为(8,4)或(-2,6)或(4,-2).
拓展：上述解法是根据平移的性质求解的，同学们也可以根据直线. 平行于AB，且过点C求得其解析式，同理求出直线 的解析式，两两联立构造方程组求得点 D 的坐标.
问题2(两定点两动点): 如图3-4-3,在平面直角坐标系中,点A(4,2),B(-1,-3)，P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则点 P，Q的坐标分别为 .
【简析】A,B,C,D四个点中有两个定点两个动点. A(4,2),B(-1,-3).
设 P(xp,0),Q(0,y ).如图3-4-4 所示:
①当AB为边时，平移线段AB，使其两端点分别落在x轴、y轴上，有两种可能.当四边形ABP Q 是平行四边形时，对角线AP 的中点与 BQ 的中点重合， 解得 此时， Q (0,5);当四边形ABQ P 是平行四边形时,对角线 AQ 的中点与 BP 的中点重合， 解得 此时,P (5,0),Q (0,-5);
②当AB 为对角线时，对角线 P Q 的中点与 AB 的中点重合，
解得 此时，
综上,符合题意的点 P,Q的坐标分别为:P(-5,0),Q(0,5)或 P(5,0),Q(0,-5)或 P(3,0),Q(0,-1).
平行四边形存在性问题常见处理策略
1. 定性分析，确定位置——几何法
(1)三个定点一个动点的情况(平行相交法)
如图3-4-5①，A，B，C为三个定点，分别过这三点作三角形ABC三条边的平行线，找到其交点，可得3个平行四边形：[
(2)两个定点两个动点的情况(平移法+对角线法)
设两定点为 A，B.
①如图②，当AB为平行四边形的边时(平移法)：平移AB，即可确定另外两动点的位置(原理：平行四边形的对边平行且相等).需要注意的是可能有两种平移方式.
②如图③，当AB为平行四边形的对角线时(对角线法)：取AB的中点，作过中点的直线，并在上面截取OC=OD,可得□ACBD.
2. 定量分析，确定数值——代数法
(1)利用平移的性质求未知点的坐标
如图3-4-6①，坐标平面内把线段AB平移得线段CD，则两定点A，B移动的水平距离和铅垂距离分别相等，据此可构造方程 即 此 时△BDM≌△ACN.
(2)利用中点坐标公式求未知点的坐标
如图②，根据平行四边形的对角线互相平分，构造方程
事实上，(1)(2)中构造的两个方程组是一致的，可统一为：对角线两端点的横坐标之和相等，且纵坐标之和相等.
3. “斜化正”策略——数形结合
如图③，如果A，B是两个定点，线段AB是一条“斜线段”，通过平移，把AB平移到CD 的位置构成平行四边形时，常常令“AM=CN”或“BM=DN”构造方程求解.
应用举例
例 1 如图3-4-7，在平面直角坐标系中，抛物线 (a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直线l为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接 PA，PD，求△PAD面积的最大值；
(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系内确定一点M，使得以点A，D，M，P为顶点的四边形是平行四边形.写出所有符合条件的点 M的坐标，写出求解过程.
【问题分析】
第(2)问中，A，D为定点，设出点P 的坐标，建立△PAD 的面积关于点 P 的横坐标的二次函数，求最值即可；
第(3)问中，在(2)的条件下，则P 点为确定的点，故已确定了三个点 A，D，P，属于“三定点一动点”的平行四边形存在性问题，可以运用过三个定点作平行线确定 M 的位置，再运用中点坐标公式求出点 M 的坐标.
例2 如图3-4-8，已知抛物线 经过A(--1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使得以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求出点 N和对应的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【问题分析】
第(2)问属于“两定点两动点”的平行四边形的存在性问题. A，C为两定点，需分 AC 为对角线，AC 为边(或 AC,AM,AN 为对角线)分类讨论.
例3 如图3-4-9,抛物线 经过x轴上的点A(1,0)和点B及y轴上的点C,经过B,C两点的直线为y=x+n.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 A作AM⊥BC于点M,过抛物线上一动点 N(不与点 B,C重合)作直线 AM的平行线交直线BC 于点Q.若以A，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的横坐标.
【问题分析】
第(2)问中,A点 和 M 点为定点，AM 的长度和方向均确定，属于“两定点两动点”的平行四边形存在性问题，其中 NQ∥AM，则 AM 为平行四边形的一条边，可采用平移法确定 N 的位置.
进阶训练
1. 如图3-4-10,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线 与直线y= kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线 AB 的解析式.
(2)设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点E，在射线 EB 上是否存在一点M，过 M作x轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M，N，C，E是平行四边形的四个顶点 若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
2. 如图3-4-11,抛物线 与x轴交于A，B 两点，与 y轴交于C 点，
(1)求抛物线的解析式.
(2)在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面积最大，求出点 P 的坐标.
(3)在(2)的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 Q，使以 P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
3. 如图3-4-12,抛物线 的顶点为D(--1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A，B两点(点A 在点 B 的左侧).
(1)求抛物线的表达式.
(2)若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，使以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.
4. 如图3-4-13,已知抛物线: 与x轴交于A,B 两点(A 在 B 的左侧),与y轴交于点C.
(1)直接写出点A,B,C的坐标.
(2)将抛物线 y 经过向右与向下平移，使得到的抛物线 y 与x轴交于B，B'两点(B'在B 的右侧)，顶点 D 的对应点为点 D'，若 求点 B'的坐标及抛物线y 的解析式.
(3)在(2)的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线 y 或 y 上是否存在点 P,使以 B',C,Q，P为顶点的四边形是平行四边形 如果存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由.
答案
|应用举例|
例 1 解：(1)抛物线的解析式为
(2)易得C(0,-4),直线l为
∵点 D与点C关于直线l对称，
∴D(3,-4).
∵A(-1,0),∴直线AD的函数解析式为y=-x-1.设
如图①,过点 P作PE∥y轴交直线AD 于点E,
∴E(m,-m-1).
∵--2<0,∴S△APD有最大值.
∴当m=1时,△PAD的面积最大,最大值为8.
(3)解法1:由(2)知,当△APD 的面积最大时,点 P(1,-6)为定点,且A(-1,0),D(3,-4)也为定点.如图②,分别过点A,D,P作M M ∥PD,M M ∥AP,M M ∥AD,三条直线分别相交于点 M ,M ,M ,则M ,M ,M 就是符合条件的点 M 的位置.
直接利用中点坐标公式,把 A(-1,0),D(3,-4),P(1,-6)分别代入方程组
可分别求得 M (1,2),M (-3,-2),M (5,-10).
解法2:分别求出M M ,M M ,M M 的解析式,再两两联立,求出点 M (1,2),M (-3,-2),M (5,-10).
例2 解：(1)抛物线的解析式为
(2)解法1：存在.①当AC为平行四边形的一条边时，由于点 M，A都在x轴上，故只需将AC平移，使得其中一个端点仍在x轴上，另一个端点在抛物线上即可.如图①，先把AC沿着x轴方向平移到M N 的位置，也可以将AC平移到M N 或M N 的位置.
根据平移的性质，满足条件的点 N 的纵坐标为4或-4，对于抛物线 当y=4时,
解得x=0或3,∴N (3,4).
作 N D⊥x轴于点 D,易证△CAO≌△N M D,则AO=
∴M (2,0).
当y=-4时. 解得
过点 N 作 N E⊥x轴于点E,易证△CAO≌△N M E,则
过点 N 作 N F⊥x轴于点F,易证△CAO≌△N M F,则
②当AC为平行四边形的对角线时，过点C作CN ∥x轴交抛物线于点 N (3,4)(与 N 重合),易得AC的中点坐标
设 M (m，0)，代入中点坐标公式，即 解得m=-4,∴M (-4,0).
综上,满足条件的点 N,M的坐标分别为N(3,4),M(2,0)或 或 或N(3,4),M(-4,0).
解法2：存在.
由题意可设M(m,0), 易得C(0,4),①当AC为对角线时，如图②所示：
连接MN，∵四边形ANCM是平行四边形，∴根据中点坐标公式可得 即 解得 或 (舍去),∴N(3,4),M(-4,0).
②当AM为对角线时，同理可得： 即
解得
或
③当AN 为对角线时，同理可得： 即解得 或 (舍去),∴N(3,4),M(2,0).
综上,满足条件的点 N,M的坐标分别为N(3,4),M(2,0)或 或 或N(3,4),M(-4,0).
例3 解:(1)∵点B,C在直线y=x+n上,
∴B(-n,0),C(0,n).
∵点 A(1,0),B(-n,0),C(0,n)在抛物线上,
∴a=-1,b=6,
∴抛物线的解析式为
(2)由(1)知,AB=4,BC所在直线为y=x-5,B(5,0),C(0,-5),∴∠ABC=45°.
∵AM⊥BC,∴AM=2 如图，过点A作x轴的垂线交直线 BC 于 点 D, 则△ADM为等腰直角三角形,且AD=AB=4.
平移线段AD，使得点 A 落在抛物线上的点 N 处，则点 D 落在直线 BC 上的点H 处；或者使得点 A 落在直线 BC 上的点 H 或 H 处，点D 落在抛物线上的点N 或 N 处，此时再分别过点 N ,N ,N 作 BC 的垂线,垂足分别为 Q ,Q ,Q ,则四边形 AMQ N ,AMN Q ,AMN Q 均为满足条件的平行四边形.
若设 则H(m,m-5),HN=4,即
当 时，解得 (舍),即 N 的横坐标为4;
当 时，解得 即 N 的横坐标为 的横坐标为
综上，若以A，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点 N 的横坐标为4 或 或
【解法反思】求解本题的关键有两点：一是抓住 NQ∥AM的特性；二是运用“斜化正”的策略.注意合理利用△BOC 是等腰直角三角形这个隐含条件，把斜线段 AM=NQ转化为铅垂线段AD=NH，构造方程求解.
|进阶训练|
1. 解：(1)抛物线的解析式为 直线 AB的解析式为y=x-3.
(2)存在.易知C(1,-4),E(1,-2),∴CE=2.
由于MN∥CE，点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点，故 MN 和CE 必为平行四边形的对边,即 MN=EC.设M(m,m-3),则
①如图①，若点 M在x轴下方，四边形CEMN 为平行四边形,CE=MN.
解得 (舍去).∴M(2,-1).
②如图②，若点 M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形,CE=MN.
解得： (舍去),
综上, M 点 的 坐 标 为 (2, — 1) 或
【解法反思】抓住 NM∥EC这一确定的位置关系，判定 EC和MN 必为平行四边形的一组对边，再根据NM=EC列方程求解是解决本题的关键.
2. 解:(
即
解得OA=1(负值已舍),∴OC=3.∴A(1,0),C(0,3).
∵OB=OC=3,∴B(-3,0).
设抛物线解析式为 y=a(x+3)(x-1),
将C(0,3)的坐标代入,得-3a=3,解得a=-1,
即抛物线的解析式为
(2)如图①,连接BC,过点 P作PK∥y轴交 BC于点 K,设直线 BC解析式为 y= kx+n,将B(-3,0),C(0,3)的坐标代入，
得 解得
∴直线 BC解析式为y=x+3.
设 则K(t,t+3),
∴当 时，四边形 PBAC 的面积最大，此时点 P 的坐标为
(3)存在. Q点的坐标为 或 或 [解析] 由(2)知 ，则P，B为定点，M，Q为动点.易得抛物线对称轴为直线x=-1.如图②,
①当PB为平行四边形的一边时，平移线段 PB，至点P 或点B 落在抛物线上，另一点落在x轴上，得到四边形 PBM Q ,四边形 PM Q B,四边形 PM Q B.
当四边形 PBM Q 是平行四边形时，
∵PQ ∥x轴,
∴点 Q 与点 P 关于抛物线的对称轴x=-1对称.
当四边形 PM Q B,四边形 PM Q B是平行四边形时,易得点 Q 与点 P 的纵坐标互为相反数，
由
解得
②当 PB 为平行四边形的一条对角线时，四边形 PQ BM 是平行四边形，此时Q点的坐标为
综上，Q点的坐标为 或 或
【解法反思】本题第(3)问在第(2)问的前提下，确定了点 P 的位置，问题转化为“两定点两动点”型问题，此时题目条件与例2类似，参考例2求解即可.
3. 解：(1)抛物线的表达式为
(2)存在.
令 解得
所以点 A 的坐标为(-3,0),点 B 的坐标为(1,0).
由点 F 在抛物线上可设点 F 的坐标为(
解法1：①如图①、图②，当AC为平行四边形的边时，
过点 F 作FP 垂直于抛物线的对称轴，垂足为 P.
易证△PEF≌△OCA.
所以PF=AO=3.
从而点 F 的坐标为(2,5)或(-4,5).
②如图③，当AC为平行四边形的对角线时，
过点 F作FP⊥y轴于点 P,设抛物线的对称轴交x轴于点Q，易证△PCF≌△QEA.
所以 PF=AQ=2.从而点 F 的坐标为(-2,-3),
此时点 F 与点C纵坐标相同，所以点E在x轴上.
综上,满足条件的点 F 的坐标为(2,5)或(-4,5)或(--2,-3).
解法2：点E 在抛物线的对称轴上，设.E(-1,y ).
①当 AC，EF 为平行四边形的对角线时，可得
解得
此时,点 F 的坐标为(-2,-3);
②当 AE，CF 为平行四边形的对角线时，可得 解得 此时,点 F的坐标为(-4,5)③当 AF，CE 为平行四边形的对角线时，可得 解得
此时,点 F 的坐标为(2,5).
综上,满足条件的点 F 的坐标为(-2,-3)或(-4,5)或(2,5).
【解法反思】此题仍为“两动点两定点”型问题.解法1运用的是“斜化正”的策略；把斜线段 AC=FE转化为水平线段FP=AO；或者把斜线段AE=FC转化为水平线段AQ=FP；解法2则是根据中点坐标公式构造方程.
4. 解:(1)A(-3,0),B(1,0),C(0,3).(2)设平移后的抛物线 y 的解析式为 如图①中,过点 D'作 D'H⊥OB'于 H.
∵D'是抛物线y 的顶点，
∴BH=HB'.
又∵抛物线 经过B(1,0),
∴b=(1-a) .解得a=2或a=1(舍),∴b=1.
(3)存在.∵B'(3,0),C(0,3)为定点,∴B'C 为定长.
①当B'C是平行四边形的一条边时.∵点C到x 轴的距离为3，如图②，平移线段B'C，只需当点 P 的纵坐标为3或-3时，存在满足条件的平行四边形.
(j)对于 令 解得x=0或-2,可得 P (-2,3),
令 则 解得 可得
( jì )对于 令 方程无解，令y =-3,则
解得x=0或4,可得 P (0,-3),P (4,-3).
②当BC为平行四边形的对角线时,P (-2,3)与 P 重合.综上，满足条件的点 P 的坐标为(-2，3)或( -3)或( 或(0,-3)或(4,-3).
【解法反思】此题仍然属于“两定点两动点”的平行四边形存在性问题.当两定点构成的线段为边时，只需通过平移即可判定另两个动点的位置.由于两个定点构成的线段是“斜线段”，可通过“斜化正”的策略，把“斜线段”相等转化为“铅垂线段”相等来解决.
