函数背景下线段的长及其最值
1. 点到点的距离
设A(xA,yA),B(xB,yB),则：
(1)AB平行于坐标轴
①AB∥y轴,即.xA=xB时,AB=|yA-yB|;②AB∥x轴,即yA=yB时，
提醒：由于距离均为正值，所以注意一定是“大”减“小”.位置不确定时需加绝对值.
(2)AB与坐标轴不平行
②化“斜”为“直”，转化为竖线段或横线段：作x轴或y轴的垂线，将“斜线段”放到直角三角形中，应用锐角三角函数求解，或借助相似三角形求解.
2. 线段长的最值问题
一般策略：把线段长表示成一个变量m(一般是线段某端点的横坐标)的函数，求函数的最值.
应用举例
例 1 如图2-1-1，在平面直角坐标系中，直线y=x-4分别与x轴、y轴交于点A 和点 B，抛物线 经过A，B两点，与x轴的负半轴交于点F，C为第四象限抛物线上一动点，过点 C作CE⊥x轴于点E,交直线 AB 于点 D.
(1)求抛物线的解析式及点 F 的坐标；
(2)求CD的最大值及取最大值时点C 的坐标.
【问题分析】
CD∥y轴,故 若设点 C 的横坐标为 m，则线段CD 的长是关于m 的函数，求函数的最值即可.
(3)如图2-1-2,过点C作CM⊥AB于点M,在点C运动的过程中,求 CM 的最大值及取最大值时点C 的坐标.
【问题分析】
CM不与坐标轴平行，考虑借助CD 求解.寻找 CD 与 CM 的关系:在 Rt△CDM 中,由∠ABO= 可得 问题得解.
求解此类问题的基本策略：化斜为直.直线与坐标轴的夹角是常用的隐含条件之一，注意应用.
(4)如图2-1-3,过点C作BF 的平行线,分别交直线 AB、x轴于点G，Q. m为何值时，GD 的长最大，最大值是多少
【问题分析】
GD 与 CD 的关联性不是很明显,考虑到∠CDB=45°,可作GH⊥CE 于点 H,构造直角三角形 DGH,则 DH. 结合图形 找 出 CH 与GD 的关系即可得到 DG 与 CD的关系→考虑条件CQ∥BF，结合 CE ∥ BO, 可 得 △BOF ∽△CHG,得出 CH 与GD的关系→用 CD表示出 DG，求最值即可.与坐标轴不平行的线段最值问题，一般借助三角函数、相似等用平行于坐标轴的线段表示，再求最值(化斜为直).
例2 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A 在点B 左侧)，与y轴交于点C.
如图2-1-4，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点.过点 P 作PH⊥BC于点H,作PD∥y轴交BC 于点D,当△PHD的周长最大时，求点 P 的坐标；
(2)如图2-1-5,过点C作CD∥x轴,交抛物线于点 D,点 P 为直线AD上方抛物线上的一动点，过点 P作PE∥BD交AD 于点E，作PF∥y轴交AD 于点F,当△PEF的周长最大时,求点 P 的坐标.
【问题分析】
(1)△PHD 的 周 长 最 大,即PH+ HD+ PD 最 大. 根 据PD∥y 轴, PH ⊥ BC, 可 知∠PDH=∠BCO=60°,据此分别用 PD表示出PH,HD,再借助 PD的最值求解.
(2)此题本质上与第(1)问相同.根据 PE∥BD,PF⊥x轴,想到过点 D 作x 轴的垂线，得到等角,再根据∠ADB=90°(隐含条件)，添加辅助线，构造直角三角形求解.
进阶训练
1. 如图2-1-6,抛物线. 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A 的坐标为(-1,0),点 C 的坐标为(0,-3).点 P 为抛物线 上的一个动点.过点 P作PD⊥x轴于点D,交直线 BC于点E.
(1)求b,c的值.
(2)若点 P 在直线 BC 下方的抛物线上，且 求点 P 的坐标.
(3)在第一象限，是否存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5倍 若存在，求出点 P 所有的坐标；若不存在，请说明理由.
2. 如图2-1-7,抛物线. 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且 B(--1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线上位于直线 AC上方的一点，BP 与AC 相交于点 E,当 PE:BE=1:2时,求点 P 的坐标.
3. 如图2-1-8,抛物线 交x轴于A，B两点(点A 在点B 的左侧)，交y轴于点C,连接AC,BC,其中CO=BO=2AO.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC 于点E,作QN⊥x轴于点 N,交 BC 于点 M.当△EMQ 的周长L最大时，求点 Q 的坐标及L 的最大值.
4. 如图2-1-9,抛物线 交x轴于B,C两点,且点 B的坐标为(-2,0),直线y= mx+n过点 B 和抛物线上另一点 A(4,3).
(1)求抛物线和直线的解析式.
(2)若点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方,过 P 作 PQ∥x轴且PQ=4(点 Q在点 P 右侧).以 PQ 为一边作矩形 PQEF,且点 E 在直线AB 上.求矩形 PQEF 周长的最大值，并求出此时点 P 的坐标.
5. 如图2-1-10，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A(0,--1),B(4,1).直线AB交x轴于点C，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点.过点 P 作 PD⊥AB，垂足为D,PE∥x轴,交AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△PDE 的周长取得最大值时，求点 P的坐标和△PDE周长的最大值.
6. 如图2-1-11,已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点 A(-1,5)和点 B(-5,m),与x轴的正半轴交于点C.
(1)求a,m的值和点C 的坐标.
(2)若点 P 是x 轴上的点,连接 PB,PA,当 时，求点 P 的坐标.
(3)在抛物线上是否存在点 M，使A，B两点到直线MC 的距离相等 若存在，求出满足条件的点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由.
答案
|应用举例|
例1 解:(1)在y=x-4中,令x=0,得y=-4,令y=0,得x=4,
∴A(4,0),B(0,-4),OA=4,OB=4,AB=4
∵抛物线. 经过A(4,0),B(0,-4),
解得
∴抛物线的解析式为
在 中,令y=0,则 解得 ·点 F 的坐标为(-1,0).
(2)设点C的横坐标为m，则C(m,m -3m-4),D(m,m-4).
∵点C为第四象限抛物线上一动点，
∴当m=2时，CD取得最大值，最大值为4，此时点C的坐标为(2,-6).
(3)化斜为直，用CD的长表示CM 的长.
∵CE⊥x轴,∴CE∥y轴.∴∠MDC=∠OBA.
∵OA=OB=4,∠AOB=90°,∴∠ABO=45°.∴∠CDM=45°.
∴当 DC取得最大值时，MC取得最大值.
∴CM的最大值为 此时C点的坐标为(2,-6).
(4)借助相似化斜为直：用CD的长表示GD 的长.如图,过点G作GH⊥CE于点 H,
∵∠GDH=45°,
∵GH∥EF,CQ∥BF,
∴∠CGH=∠EQC=∠OFB.
又∵∠GHC = ∠FOB = 90°,
∴△CHG∽△BOF.
∴CH=4HG=4DH.
∴当 CD 取得最大值时，GD 取得最大值，最大值为
此时m=2.
例2 解:(1)易知A(- ,0),B(3 ,0),C(0,3), 直线 BC的解析式为： 延长 PD交x轴于M.
∵PH⊥BC于H,PD∥y轴,
∴∠PHD=∠PMB=90°,∠PDH=∠BDM.
∴∠HPD=∠CBA.∴tan∠CBA=tan∠HPD=
设 则
∴△PHD的周十长
∴PD最大时,C△PHD最大.
设 则
时,PD最大,即C△PHD最大.此时,
(2)如图,过点 D 作 DN⊥AB 于 N.易知∠FPE =∠NDB.
易得 ∴∠ADB=90°.∴∠FPE=∠DAB.
过点 E作EQ⊥PF于点Q.
设 则 4m,
∴PF 最大时,C△PEF最大.
易得直线 AD的解析式为.
设 则
当 时,PF 最大,即C△PEF最大.此时 P 的坐标为
|进阶训练|
1. 解:(1)把.A(-1,0),C(0,-3)代入. 得 解得
(2)由(1)得抛物线的解析式为
∴B(3,0),易得直线 BC的解析式为y=x-3.
设点 则E(m,m-3),D(m,0),
∴DE=0-(m-3)=3-m,PE=m-3-(m -2m-
解得m=2或m=3.
∵点 P 在直线BC 下方的抛物线上,∴m=2.
∴点 P 的坐标为(2,-3).
(3)设点 P(n,n --2n--3)(n>3),如图,过点 P 作PH⊥BC于点 H ,过点 D 作DG⊥BC于点G,
则PH=5DG,E(n,n-3),∴PE=n -3n,DE=n-3.
∵∠PHE=∠DGE=90°,∠PEH=∠DEG,
解得n=3(舍)或n=5,∴点 P 的坐标为(5,12).
故存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线BC 的距离的5倍,其坐标为(5,12).
【解法反思】求解线段等量关系问题的基本策略：
(1)表示出两条线段的长，利用数量关系列方程求解；
(2)线段长难以表示时，借助平行、相似、锐角三角函数等转化为可直接表示的相关联线段长的比，再求解.
2. 解:(1)∵抛物线 经过点 B(-1,0),C(0,3),
解得
∴抛物线的解析式为
(2)如图,过点 B作BT∥y轴交 AC 于 T,过点 P 作PQ∥OC交AC于Q.
设 3),对于抛物线 y =
令y=0,可得x=3 或x=-1,∴A(3,0).
∵C(0,3),∴直线AC的解析式为y=-x+3.
∵B(-1,0),∴T(-1,4).∴BT=4.
∵PQ∥OC,∴Q(m,-m+3).
.解得m=1或m=2.
∴P 点坐标为(1,4)或(2,3).
3. 解:(1)由题意知C(0,4),
∴OC=4.∴CO=BO=4,OA=2.
∴A(-2,0),B(4,0).
设抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+2),则
∴抛物线的解析式为 即
(2)由AC∥QE,OC∥QM,可得∠ACO=∠EQM.
∵CO∥QN,∴∠OCB=∠NMB,
过E作EH⊥QM于H,设EH=n,则
∴QM最大时,L 最大.
设
易得直线 BC的解析式为y=-x+4,
∴M(m,-m+4).
∴m=2时,QM最大为2.
此时点Q的坐标为(2，4).
4. 解:(1) 将 A(4,3),B(-2,0)代入 得 解得
∴抛物线的解析式为
把A(4,3),B(-2,0)代入y= mx+n,得 解得 直线的解析式为
(2)设 则
∵C矩形PQEF=2(PQ+QE)=8+2QE,
∴QE 最大时,C矩形PQEF最大.∴p=1时,
P点坐标为(1,-3).
5. 解:(1)∵抛物线. 经过点A(0,-1),B(4,1), 解得
∴该抛物线的函数表达式为
(2)设直线 AB的函数表达式为y= kx+n,
∵直线 AB过点A(0,-1),B(4,1),
解得
∴直线 AB的函数表达式为
令y=0,得 解得x=2,∴C(2,0).
设 其中0
∵PD⊥AB,∴△PDE∽△AOC.
∵AO=1,OC=2,∴AC= .∴△AOC的周长为
令△PDE的周长为l，则
∴当t=2时，△PDE 的周长取得最大值，最大值为 此时,点 P 的坐标为(2,-4).
6. 解:(1)∵抛物线 y=a(x-3)(x+6)过点 A(-1,5),
∴5=a×(-1-3)×(-1+6).解得
∴抛物线的解析式为
令y=0,则
解得x=3或x=-6,∴C(3,0).
当x=-5时,y=2,∴B(-5,2).∴m=2.
(2)设 P(t,0),则有
整理，得 解得 或
经检验 或 是方程的解，
∴满足条件的点 P 的坐标为 或
(3)存在.如图,连接AB,设AB的中点为T.
①当直线CM经过AB 的中点T 时，满足条件.
∵A(-1,5),B(-5,2),TA=TB,∴T(-3,
∵C(3,0),∴直线CT的解析式为
日
解得 或
②如图,CM'∥AB时,满足条件.
易得直线 AB的解析式为
∴直线CM'的解析式为
p
解得 或
∴M'(-9,-9).
综上所述，满足条件的点 M 的横坐标为 或-9.
