2024-2025学年安徽省合肥市中锐学校高中部高二（上）期末
数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线和直线平行，则( )
A. 或 B. 或
C. D.
2.如图：在平行六面体中，为，的交点．若，，，则向量( )
A. B.
C. D.
3.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.双曲线：的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：的左、右焦点为，，上一点满足，为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段．赵老师最近给自己制定了一个千米的跑步健身计划，计划前面天中每天跑千米，以后每天比前一天多跑千米，则他要完成该计划至少需要( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
7.若圆与圆相切，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，直线与交于点，点在第一象限，若，则与面积之和的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，均不为是等差数列，则下列说法正确的是( )
A. ，，一定成等差数列 B. ，，可能成等差数列
C. ，，一定成等差数列 D. ，，可能成等差数列
10.给出下列命题，其中是真命题的是( )
A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则
C. 若平面，的法向量分别为，，则
D. 若存在实数，，使，则点、，，共面
11.下列结论中正确的是( )
A. 若直线的方程，则直线的倾斜角为
B. 已知曲线：不全为，则曲线的周长为
C. 若直线与直线垂直，则
D. 圆：与圆：的公切线条数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与：交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值______．
13.已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为______．
14.如图，在长方体中，，以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，点在平面上，若平面，则点的坐标是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，公差为，且，，成等比数列．
求，，；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知椭圆：的离心率为，焦距为．
求椭圆的方程；
若直线与交点，两点，为坐标原点，且，求实数的值．
17.本小题分
如图，在多面体中，，，，，，．
证明：平面平面．
若是线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求．
18.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相交于，两点，且为直角三角形，求的方程．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为．
求抛物线的方程；
已知点，，是抛物线上不同的三点．
若直线过点，且交准线于点，，，求的值；
若直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或或或
13.
14.
15.解：由，，成等比数列得，化简得，
又，解得，所以，；
由可知数列的通项公式，
所以，
设的前项和为，则，
又，
所以的前项和为．
16.解：因为椭圆的离心率为，焦距为，
所以，
又，
联立，解得，，
则椭圆的方程为；
不妨设，，
联立，消去并整理得，
此时，
即，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
即，
解得，
此时满足．
故．
17.证明：取的中点，取的中点，连接，，，，
因为，，，
所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，
又，所以是等腰三角形，
同理可得是等腰三角形，
因为是的中点，所以，，，，
又，所以，即，
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则
令，得，，所以，
设，，
则，
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，，
整理得，解得或舍去，
所以，即．
18.解：因为圆经过，两点，且圆心在直线上，
设圆心为，半径为，
此时，
解得，
所以圆心为，半径，
则圆的标准方程为；
因为圆的方程为，
此时圆的圆心，半径为，
因为为直角三角形，
所以且，
此时圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线过圆心，不符合题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
即，
此时直线到点的距离，
解得．
则直线的方程为或．
19.解：抛物线：的焦点，准线为：，
当点为抛物线顶点时，其到焦点的距离与到准线的距离和最小，最小值为，
所以，所以抛物线的方程为．
显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：，
联立，消去得，，
设，，又，
则，所以，
由，得，整理得，同理得，
所以．
设直线的方程为：，
联立，消去得，则，
，，，，
而，所以，
因为，所以，即，
即，则，解得，
由，得，解得或，
则，
所以直线的斜率的取值范围是．
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