2024-2025学年辽宁省朝阳市凌源市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.有一组样本数据：，，，，，，，，，，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为( )
A. 分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数
5.从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知，若，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知，是函数的图象上两个不同的点，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，对，有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则( )
A. 与互斥 B. 与对立 C. 与独立 D. 与对立
10.设是定义域为的单调函数，对，，，，则( )
A. B.
C. 是减函数 D. 当时，
11.已知正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值： ______．
13.函数有______个零点．
14.已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
当时，求；
命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知二次函数，满足．
若，求的解析式；
若对，求的取值范围．
17.本小题分
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，名学生参加测试，从中随机抽取了名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于的概率；
根据频率分布直方图估计中位数；
学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识首次活动从样本中问卷成绩低于分的学生中随机抽取人参加，已知样本中分数小于的名学生中，男生人，女生人，求抽取的人中男女同学各人的概率．
18.本小题分
已知函数．
若函数为奇函数，求的值；
若对，求的取值范围．
19.本小题分
定义：，总有，称为“完美嵌套”于与内，已知，．
求函数的零点；
过点的二次函数“完美嵌套”于与内，
求的解析式；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：．
当时，，
．
由得，．
由得或．
，，
．
是的充分不必要条件，，
，解得或，
实数的取值范围是．
16.解：因为，且，
所以，
整理得，即，
所以，解得，
所以，
又因为，
所以，故，
所以；
由于，
整理可得在上恒成立，
只需要，
令，
其图象的对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取到最大值，
所以，
所以的取值范围为．
17.根据频率分布直方图可知，样本中分数高于的频率为
，
所以样本中分数高于的概率为．
故从总体的名学生中随机抽取一人，其分数高于的概率估计为．
由频率分布直方图可得：上的频率为，
上的频率为，故此两组的频率和为，
设中位数为，则且，
故即中位数为．
设名女生分别为，，名男生分别为，，，
则从这名同学中选取人的结果为：
，，，，，，，，，，
共种情况．
其中人中男女同学各人包含结果为：
，，，，，，共种．
设事件抽取的人中男女同学各人，则
所以，抽取的人中男女同学各人的概率是．
18.解：，
因为函数为奇函数，
所以，
即，
即，
所以，
所以，
所以，即，
解得；
此时，
定义域为，满足题意，
故；
，
由，
得，
所以，
则，
故只需即可，
令，，则，
则，
令，
由对勾函数的性质可知函数在上单调递增，
所以，即，
所以，
所以．
19.解：因为，，
所以，
令，则，解得，
所以函数的零点是；
由题意恒成立，
令，得，
所以，
由题意，
所以两式联立得，解得，
对于恒成立，即恒成立，
所以，即，
所以，解得，
所以，所以；
此时对于恒成立，
即恒成立，
即恒成立，显然符合题意，
所以，
所以；
当时，恒成立，
即恒成立，
又，
所以恒成立，
所以，
记，
令，
则，
因为，
所以，
所以，
所以
所以．
所以实数的取值范围为．
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