上海交通大学附属中学 2023-2024 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 5 + 6 > 0}， = { | 1 < 0}，则 ∩ =( )
A. { | < 1} B. { | 2 < < 1}
C. { | 3 < < 1} D. { | > 3}
4
2.函数 ( ) = + 1的零点所在区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
3.在△ 中，角 ， ， 所对边的边长分别为 ， ， ，且关于 的二次方程 2 2 + lg( 2 2) 2 +
1 = 0有两个相等的实根，则△ 的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5
4.已知 ( ) = 3 + + ， ∈ ，对于实数 、 ，给出以下命题： 2 +2
命题①：若 + ≥ 0，则 ( ) + ( ) ≥ 0；
命题②：若 2 ≥ 0，则 ( ) + ( ) ≥ 0．
则以下判断正确的是( )
A. ①为真命题；②为真命题 B. ①为真命题；②为假命题
C. ①为假命题；②为真命题 D. ①为假命题；②为假命题
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.设全集 = { | 1 ≤ ≤ 7, ∈ }， = {1,3,5,7}，则 = ______．
2 1
6.不等式 > 0的解集是______．
3 +1
7.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.
2
其平面图如图2的扇形 ，其中∠ = ， = 3 = 3，则扇面(曲边四边形 )的面积是 ．
3
8.要使关于 的方程 √ 3 = 有实数解，则实数 的取值范围是______．
9.已知 < 0， < 0，则角 的终边在第______象限．
tan
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10.已知 = 2，则sin2 + 2 = ______．
11.已知tan( + ) = 4，tan( ) = 2，则 4 的值为______．
1
12.已知 ∈ (0, )， + = ，则 = ．
5
13.已知函数 = (
2 4 + 1 )的定义域为 ，则实数 的取值范围是______．
3 + ( 1) , < 0
14.已知 ( ) = { ( > 0且 ≠ 1)，若 = ( )在 上是严格增函数，则实数 的取值范 + , ≥ 0
围是______．
15.已知 ( ) = |lg|2 ||，有下列命题：
①函数 = ( )在区间(1,2)上是严格增函数；
②函数 = ( )的图像关于直线 = 2成轴对称；
③函数 = ( )的图像与 轴有且仅有两个公共点；
④若 1 ≠ 2，但 ( 1) = ( 2)，则 1 + 2 = 4．
其中真命题的序号是______．
1 1 1
16.设 1、 2、 3均为正数且
2 2 2
1 + 2 = 3，则使得不等式 + + ≥ 总成立的 的取值范围为 1 2 3 1+ 2+ 3
______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
cos( )sin( )
已知 ( ) = 3 ．
sin( )cos( + )tan( )
2 2
(1)求 ( )；
3
1
(2)若角 为第二象限角，且 = ，求 ( )的值．
3
18.(本小题14分)
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 (单位：千
米/时)是车流密度 (单位：辆/千米时)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车
流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当20 < ≤ 200时，车流
速度 是车流密度 的一次函数．
(Ⅰ)当0 < ≤ 200时，求车流速度 关于车流密度 的函数 ( )的表达式；
(Ⅱ)当车流密度 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时) ( ) = ( )可
以达到最大？最大值是多少(精确到1辆/时)？
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19.(本小题14分)
在△ 中，角 ， ， 所对边的边长分别为 ， ， ，且2 2 + 4 ( + ) + 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 1，△ 的周长为3，求△ 的面积 ．
20.(本小题18分)
已知 ( ) = 2 2 + 1 + ( > 0)，函数 = ( )在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．
(1)求 、 的值；
(2)若不等式 (2 ) 4 ≥ 0在 ∈ [1,+∞)上恒成立，求实数 的取值范围；
(2 ) 2
(3)若方程 + 3 = 0有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围． 2 2
21.(本小题18分)
| |+| 2 |
已知函数 = ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = ，其中 ， 为实数，且 > 0. (1)
2
当 = 1时，求实数 ；
(2)若对任意 ∈ ， ( 1) ≤ ( )恒成立，求实数 的取值范围；
(3)试求满足 (4 1) = (10 3)的所有的实数 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】{ 1,0,2,4,6}
1 1
6.【答案】{ | < 或 > }
3 2
8
7.【答案】
3
8.【答案】[ 2,2]
9.【答案】三
8
10.【答案】
5
84
11.【答案】
85
3
12.【答案】
4
1
13.【答案】[0, )
5
14.【答案】[2,+∞)
15.【答案】①②③
16.【答案】( ∞, 5 + 3√ 2]
cos( )sin( )
17.【答案】解：(1) ( ) = 3 = = ，
sin( )cos( + )tan( ) cos sin ( tan )
2 2
√ 3
所以 ( ) = cot = ；
3 3 3
1
(2)若角 为第二象限角，且 = ，
3
2√ 2
则 = √ 1 sin2 = ，
3
所以 ( ) = = 2√ 2．
sin
18.【答案】解 ( )由题意，得
当0 < ≤ 20时， ( ) = 60；
200 + = 0
当20 < ≤ 200时，设 ( ) = + ，由已知，得{ ，
20 + = 60
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1
=
解得{ 3，
200
=
3
60,0 < ≤ 20
故函数 ( )的表达式为 ( ) = {1 ，
(200 ),20 < ≤ 200
3
60
( )依题意，并由( )得 ( ) = {1 ，
(200 ),20 < ≤ 200
3
当0 < ≤ 20时， ( )为增函数，故当 ≤ 20时，函数值不超过1200；
1 1 2 10000当20 < ≤ 200时， ( ) = (200 ) = ( 100) + ，
3 3 3
10000
它的最大值为 (100) = ．
3
10000
所以，当 = 100时， ( )在区间(20,200]上取得最大值 ，
3
10000
综上，当 = 100时， ( )在区间(20,200]上取得最大值 ≈ 3333．
3
19.【答案】解：(1)因为2 2 + 4 ( + ) + 3 = 0，
所以2(2 2 1) 4 + 3 = 0，
所以4 2 4 + 1 = 0，
1
所以(2 1)2 = 0，解得 = ；
2
(2)因为 = 1，△ 的周长为3，
所以 + = 2，
由余弦定理有： 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 ，
即1 = 4 3 ，所以 = 1，
√ 3
因为 ∈ (0, )，所以 = ，
2
1 1 √ 3 √ 3
所以 △ = = × 1 × = ． 2 2 2 4
20.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 2 + 1 + = ( 1)2 + 1 + ，
因为 > 0，对称轴为 = 1，所以 ( )在区间[2,3]上是增函数，
(2) = 1 + 1 = 1 = 1
所以{ ，即{ ，解得{ ．
(3) = 4 3 + + 1 = 4 = 0
故 = 1， = 0．
(2)由(1)得 ( ) = 2 2 + 1，
则不等式 (2 ) 4 ≥ 0为4 2 × 2 + 1 4 ≥ 0在 ∈ [1,+∞)上恒成立，
1 2 1
即 ≤ 2
4 2
+ 1 = ( 1) 在 ∈ [1,+∞)上恒成立，
2
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1 1 1 1
又 ∈ [1,+∞)时， ∈ (0, ]，则 1 ∈ ( 1, ], 2 2 2 2
1 1 1
所以( 1)2 ∈ [ , 1)，则 ≤ ． 2 4 4
1
故实数 的取值范围( ∞, ]．
4
(2 ) 2
(3)方程
2
+ 3 = 0，代入 (2 ) = 4 2 × 2 + 1， 2
4 2×2 +1 2 1 2
得 + 3 = 0, 2 2 + + 3 = 0， 2 2 2 2
化简整理得(2 )2 (3 + 2) × 2 + 2 + 1 = 0，
令 = 2 > 0，则 2 (3 + 2) + 2 + 1 = 0，
(2 ) 2
因为方程 + 3 = 0有两个不相等的实数根， 2 2
所以关于 的一元二次方程 2 (3 + 2) + 2 + 1 = 0有两个大于0且不相等的实数根，
4
= (3 + 2)2 4(2 + 1) > 0 < > 0
9 2
所以{ (3 +2)
2
> 0 ，即 > 或{
>
3，
2×1 3 1
2 + 1 > 0 1
{ >
>
2
2
1 4
解得 < < 或 > 0．
2 9
1 4
所以 的取值范围是( , ) ∪ (0,+∞)．
2 9
| 1|+| 2|
21.【答案】解：(1) = 1时， ( ) = ，
2
因为 = ( )是定义在 上的奇函数，所以 (0) = 0，
| 1|+| 2|
即 = 0，解得 = 3，
2
+2
(2) > 0，由题意得 (0) = = 0，解得 = 3 ，
2
3 , > 2
| |+| 2 | 3
当 ≥ 0时， ( ) = = { , ≤ ≤ 2 ，
2
, <
画出 ∈ 上的函数 ( )的图象，
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令 3 = ，得 = + 3 ；令 + 3 = ，得 = 3 ，
结合图象，要想 ( 1) ≤ ( )恒成立，
1
只需 + 3 ( 3 + ) ≤ 1，解得 ≤ ，
6
1
又 > 0，故0 < ≤ ，
6
1
所以 的取值范围为{ |0 < ≤ }.
6
1
(3)当 = 时，10 3 = 4 1， (4 1) = (10 3)，满足要求，
3
令 3 = ，解得 = 4 ，令 + 3 = ，解得 = 4 ，
若 2 ≤ 10 3 ≤ ， 2 ≤ 4 1 ≤ ，无解，
1 3
若 ≤ 10 3 ≤ 2 ， ≤ 4 1 ≤ 2 ，解得 ≤ ≤ ，
3 8
若4 1，10 3分别位于( 4 , 2 )，( , )两区间时，
4 1+10 3 3 4
= ，解得 = ，
2 2 17
16 8 4 4
此时两区间为( , ), ( , )，
17 17 17 17
1 11
而4 1 = , 10 3 = ，分别在上面两个区间内，满足要求，
17 17
若4 1，10 3分别位于(2 , 4 )，( , )两区间时，
4 1+10 3 3 2 4 8 2 2
= ，解得 = ，此时两区间为( , ), ( , )，
2 2 11 11 11 11 11
3 13
而4 1 = , 10 3 = ，均不在上面的两个区间内，不合要求，舍去；
11 11
若4 1，10 3分别位于( 4 , 2 )，(2 , 4 )两区间时，
1 2 1 1 2
|10 3 (4 1)| = 6 ，解得 = ，此时两区间为( , ), ( , )，
6 3 3 3 3
1 4
4 1 = , 10 3 = ，均不在上面两区间内，不合要求，舍去；
3 3
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1 3 4
故 (4 1) = (10 3)的解为 ≤ ≤ 或 = ，
3 8 17
1 3 4
所以 的取值范围为{ | ≤ ≤ 或 = }.
3 8 17
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