(共69张PPT)
第六章
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6.3 球的表面积和体积
1.了解球的表面积与体积公式，并能求球的表面积和体积.
2.掌握球的截面问题及切、接问题的相关计算.
学习目标
牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形的盖子合在一起，所以被称作“牟合方盖”.它也是我国古代数学家刘徽发现的一种用于计算球体体积的方式，他本希望用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误，虽然最终并没有实现，但是这个发现有着重要的意义.二百多年后，中国伟大的数学家祖冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的想法，利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题.“牟合方盖”的提出，充分体现了古人丰富的想象能力，以及为解决问题建立模型的智慧.刘徽是1 700多年前的人，祖氏父子是1 500多年前的人，以千年前的社会知识水平，思考这种问题，简直令人叹为观止，这种智慧的光芒，震古烁今.
导 语
一、球的表面积与体积
二、球的截面
课时对点练
三、与球有关的切、接问题
随堂演练
内容索引
球的表面积与体积
一
球的表面积与体积公式
条件 球的半径为R
表面积公式 S=______
体积公式 V=______
4πR2
πR3
(1)已知球的表面积为16π，求它的体积；
例 1
设球的半径为r，则由已知得4πr2=16π，
所以r=2，
所以球的体积V=.
(2)已知球的体积为，求它的表面积.
设球的半径为R，则由已知得，
所以R=4，
所以球的表面积S=4πR2=4π×42=64π.
(1)关键：把握住球的表面积公式S球=4πR2，球的体积公式V球=πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件，把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.
(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
求球的表面积与体积的一个关键和两个结论
反
思
感
悟
设球的半径为R，体积扩大到原来的27倍后，其半径为R'.
则V=πR3，
∴R'=3R.∴S'=4πR'2=36πR2，又S=4πR2，
∴S'=9S.
若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的
A.3倍 B.3
C. D.倍
跟踪训练 1
√
二
球的截面
用一个平面α去截半径为R的球O.
(1)若平面α经过球心O，则截线是以球心O为圆心
的 ，称为球的 .
(2)若平面α不经过球心O，如图，不妨设OO'⊥α
于点O'，记OO'=d，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OO'⊥O'P，所以O'P=为半径的圆，称为球的小圆.
圆
大圆
已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18，BC=24，AC=30，求球的半径.
例 2
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，B=90°.
∵球心O在截面△ABC的投影O'为截面圆的圆心，
即是Rt△ABC的外接圆的圆心，
∴斜边AC为截面圆O'的直径(如图所示).
设O'C=r，OC=R，则球的半径为R，截面圆半径为r，
在Rt△O'CO中，
由题设知sin∠O'CO==，
∴∠O'CO=30°，∴，
即R=r， ①
又2r=AC=30，∴r=15，代入①得R=10.
∴球的半径为10.
反
思
感
悟
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.
(2)解题时要注意借助球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2=d2+r2.
球心到过球面上A，B，C三点的截面的距离是球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的体积为
A. B.
C. D.
跟踪训练 2
√
因为AB=BC=CA=2，
所以△ABC外接圆的半径r=.
设球的半径为R，
则R2-，
所以球的体积V=.
与球有关的切、接问题
三
1.球的切线：与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点，过球外一点可以作无数多条球的切线.
2.几何体的外接球：球面经过多面体的所有顶点的球，叫做多面体的外接球；球面经过旋转体的底面圆周和顶点(如果有顶点的话)的球，叫做旋转体的外接球.
3.几何体的内切球：与多面体(旋转体)的各个面都相切的球，叫做多面体(旋转体)的内切球.
(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为
A. B. C. D.
例 3
√
由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长相等，故可得球的直径为2，故球的半径为1，其体积是.
(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为 .
设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，
则
∴外接球半径为，
∴外接球表面积为4π×=9π.
9π
1.本例(2)条件改为在三棱锥A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，且AB=，CD=2，求它的外接球的体积.
延伸探究
由CD2=AC2+AD2，得AC⊥AD.
又AB⊥AC，AB⊥AD，
∴可以以AB，AC，AD为棱补形为长方体，
长方体的外接球即为三棱锥A-BCD的外接球，
其半径为，
∴外接球的体积为.
2.本例(2)条件改为已知正四面体的棱长为，求该正四面体的外接球的表面积.
正四面体可看作由正方体的各面对角线围成，
由正四面体的棱长为知，正方体的棱长为1，
则正方体的外接球就是此正四面体的外接球，正方体的外接球直径等于正方体的体对角线，
所以正四面体的外接球的半径为.
所以外接球的表面积为4π×=3π.
反
思
感
悟
(1)正方体的内切球：球的半径为r1=(a为正方体的棱长).
(2)与正方体的各条棱相切的球：球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2=a(a为正方体的棱长).
(3)长方体的外接球：长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3=.
1.知识清单：
(1)球的表面积与体积.
(2)球的截面.
(3)与球有关的切、接问题.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：几何体的外接球与内切球易混淆而致误.
随堂演练
四
1.半径为1的球的体积是
A.4π B.
C. D.
因为球的半径为1，
所以球的体积V=.
√
1
2
3
4
2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为
A.R B.2R
C.3R D.4R
设圆柱的高为h，
则πR2h=3×πR3，解得h=4R.
√
1
2
3
4
3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
A. B.
C. D.π
√
1
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3
4
1
2
3
4
如图，设截面圆的圆心为O'，
M为截面圆上任一点，
则OO'=，O'M=1.
∴OM=.
即球的半径为
π.
4.正方体的内切球与其外接球的体积之比为
A.1∶ B.
C. D.1∶9
√
1
2
3
4
设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为，
∴V内=
，
∴V内∶V外=1∶3.
1
2
3
4
课时对点练
五
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C C C 72
题号 11 12 13 14 15
答案 D C 6π
答案
1
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15
16
9.
该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.
该组合体的体积V=πr3+πr2l
=π×13+π×12×3=.
答案
1
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10.
如图所示，CD是截面圆的直径.
∴·π=π，
即CD=2，
设球O的半径为R，∵AH∶HB=1∶2，
∴AH=×2R=R，∴OH=R-R=R，
由OD2=OH2+HD2，得R2=R2+1，
∴R2=，∴S球=4πR2=π.
答案
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16.
如图①，过点C作CO1⊥AB于点O1，旋转后得到的几何体如图②所示，由已知得∠BCA=90°，
∵∠BAC=30°，AB=2R，
∴AC=R，BC=R，CO1=R.
∴S球=4πR2，
=π×R×R=πR2，=π×R×R=πR2，
∴S几何体表=S球++=4πR2+πR2+πR2=πR2.
答案
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① ②
16.
又∵V球=πR3，
=·AO1·π·C=πR2·AO1，
=·BO1·π·C=πR2·BO1，
∴V几何体=V球-(+)=πR3.
答案
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16
① ②
1.若球的体积是，则此球的表面积是
A.12π B.16π
C. D.
设球的半径为R，
则由已知得，解得R=2，
故球的表面积为4πR2=16π.
√
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16
基础巩固
答案
2.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
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答案
设三个球的半径由小到大依次为r1，r2，r3，
则r1∶r2∶r3=1∶2∶3，
∴V3=，
V1+V2=，
∴V3=3(V1+V2).
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答案
3.设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是
A. B.π cm3
C. D.π cm3
由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为π cm3.
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答案
4.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.
则球的半径是
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
设球的半径为r cm，则由3V球+V水=V柱，可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r，解得r=3.
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答案
5.一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是
A. B. cm3
C. D. cm3
√
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答案
如图，根据题意知，OO1=4 cm，O1A=3 cm，
∴OA=R==5(cm)，
故球的体积V=πR3=(cm3).
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答案
6.用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为
A.16π B.32π C.36π D.48π
设球的半径为R，圆锥的底面半径为r，因为球心到截面的距离为1，所以有r2=R2-1，
则圆锥体积V=，解得R=3，故球的表面积为4πR2=36π.
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答案
7.两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为 .
设大、小两球半径分别为R，r，
则所以
所以体积和为.
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答案
8.若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为 .
设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，即长方体的表面积为S=2ab+2ac+2bc，
又由于2ab+2ac+2bc≤a2+b2+a2+c2+b2+c2=2(a2+b2+c2)，
当且仅当a=b=c时取等号，
而a2+b2+c2=36，
所以该长方体表面积的最大值为72.
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答案
72
9.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积.
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答案
该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.
该组合体的体积V=πr3+πr2l=.
10.已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，求球O的表面积.
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答案
如图所示，CD是截面圆的直径.
∴·π=π，即CD=2，
设球O的半径为R，
∵AH∶HB=1∶2，
∴AH=R，
∴OH=R-R，
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答案
由OD2=OH2+HD2，
得R2=R2+1，
∴R2=π.
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答案
11.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出
了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈，
根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为
A. B.
C. D.
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综合运用
答案
由题意，得r=，
所以，
解得V≈.
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答案
12.已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为
A.1 B.7
C.1或7 D.8
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答案
由题意得两平行截面圆的半径分别为3和4.若两个平行截面在球心同侧，如图①，
则两个截面间的距离为=1；
若两个平行截面在球心异侧，如图②，
则两个截面间的距离为=7.
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答案
13.在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
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答案
6π
在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者有相同的外接球，长方体的体对角线就是球的直径.
∵侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，
∴，，
∴AB=，
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答案
∴球的直径为，
∴球的半径为，
∴三棱锥外接球的表面积为4π×=6π.
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答案
14.如图，圆锥型容器内盛有水，水深3 dm，水面直径为2 dm，放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为 dm3.
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答案
如图，设铁球的半径为r，则放入铁球后水深为3r，上底面半径为r)2·3r=3πr3.
原来水的体积为)2·3=3π，
铁球的体积为πr3，
则3π+πr3=3πr3，
解得r3=，
所以铁球的体积V=.
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答案
拓广探究
15.将一个长、宽分别为a，b(0
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答案
设切去正方形的边长为x，x∈，
则该长方体外接球半径的平方r2=
，
解得>1，
故.
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答案
16.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积.(其中∠BAC=30°)
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答案
如图①，过点C作CO1⊥AB于点O1，旋转后得到的几何体如图②所示，由已知得∠BCA=90°，
∵∠BAC=30°，AB=2R，
∴AC=R.
∴S球=4πR2，
πR2，
πR2，
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答案
① ②
∴S几何体表=S球+
=4πR2+πR2.
又∵V球=πR3，
πR2·AO1，
πR2·BO1，
∴V几何体=V球-(πR3.
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答案
① ②6.3 球的表面积和体积
[学习目标] 1.了解球的表面积与体积公式，并能求球的表面积和体积.2.掌握球的截面问题及切、接问题的相关计算.
一、球的表面积与体积
知识梳理
球的表面积与体积公式
条件 球的半径为R
表面积公式 S=________
体积公式 V=________
例1 (1)已知球的表面积为16π，求它的体积；
(2)已知球的体积为，求它的表面积.
反思感悟 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论
(1)关键：把握住球的表面积公式S球=4πR2，球的体积公式V球=πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件，把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.
(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
跟踪训练1 若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )
A.3倍 B.3
C. D.倍
二、球的截面
知识梳理
用一个平面α去截半径为R的球O.
(1)若平面α经过球心O，则截线是以球心O为圆心的________，称为球的________.
(2)若平面α不经过球心O，如图，不妨设OO'⊥α于点O'，记OO'=d，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OO'⊥O'P，所以O'P=为半径的圆，称为球的小圆.
例2 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18，BC=24，AC=30，求球的半径.
反思感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.
(2)解题时要注意借助球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2=d2+r2.
跟踪训练2 球心到过球面上A，B，C三点的截面的距离是球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的体积为( )
A. B.
C. D.
三、与球有关的切、接问题
知识梳理
1.球的切线：与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点，过球外一点可以作无数多条球的切线.
2.几何体的外接球：球面经过多面体的所有顶点的球，叫做多面体的外接球；球面经过旋转体的底面圆周和顶点(如果有顶点的话)的球，叫做旋转体的外接球.
3.几何体的内切球：与多面体(旋转体)的各个面都相切的球，叫做多面体(旋转体)的内切球.
例3 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A. B.
C. D.
(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为 .
延伸探究
1.本例(2)条件改为在三棱锥A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，且AB=，CD=2，求它的外接球的体积.
2.本例(2)条件改为已知正四面体的棱长为，求该正四面体的外接球的表面积.
反思感悟 (1)正方体的内切球：球的半径为r1=(a为正方体的棱长).
(2)与正方体的各条棱相切的球：球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2=a(a为正方体的棱长).
(3)长方体的外接球：长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3=.
1.知识清单：
(1)球的表面积与体积.
(2)球的截面.
(3)与球有关的切、接问题.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：几何体的外接球与内切球易混淆而致误.
1.半径为1的球的体积是( )
A.4π B.
C. D.
2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( )
A.R B.2R
C.3R D.4R
3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A. B.
C. D.π
4.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A.1∶ B.
C. D.1∶9
答案精析
知识梳理
4πR2 πR3
例1 解 (1)设球的半径为r，
则由已知得4πr2=16π，
所以r=2，
所以球的体积V=πr3=.
(2)设球的半径为R，
则由已知得πR3=，
所以R=4，
所以球的表面积S=4πR2=4π×42=64π.
跟踪训练1 C [设球的半径为R，体积扩大到原来的27倍后，其半径为R'.则V=πR3，V'=πR'3=27V=27×πR3，
∴R'=3R.∴S'=4πR'2=36πR2，
又S=4πR2，∴S'=9S.]
知识梳理
(1)圆 大圆 (2)O'
例2 解 ∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，B=90°.
∵球心O在截面△ABC的投影O'为截面圆的圆心，即是Rt△ABC的外接圆的圆心，
∴斜边AC为截面圆O'的直径(如图所示).
设O'C=r，OC=R，则球的半径为R，截面圆半径为r，
在Rt△O'CO中，
由题设知sin∠O'CO==，
∴∠O'CO=30°，∴=cos 30°=，
即R=r， ①
又2r=AC=30，
∴r=15，代入①得R=10.
∴球的半径为10.
跟踪训练2 D [因为AB=BC=CA=2，
所以△ABC外接圆的半径r=.
设球的半径为R，
则R2-=，所以R=，
所以球的体积V=πR3=.]
例3 (1)A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长相等，故可得球的直径为2，故球的半径为1，其体积是×π×13=.]
(2)9π
解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，
则解得
∴外接球半径为=，
∴外接球表面积为4π×=9π.
延伸探究
1.解 由CD2=AC2+AD2，
得AC⊥AD.
又AB⊥AC，AB⊥AD，
∴可以以AB，AC，AD为棱补形为长方体，长方体的外接球即为三棱锥A-BCD的外接球，
其半径为=，
∴外接球的体积为×=.
2.解 正四面体可看作由正方体的各面对角线围成，
由正四面体的棱长为知，正方体的棱长为1，
则正方体的外接球就是此正四面体的外接球，正方体的外接球直径等于正方体的体对角线，
所以正四面体的外接球的半径为.
所以外接球的表面积为4π×=3π.
随堂演练
1.B 2.D 3.B 4.C作业55 球的表面积和体积
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分
1.若球的体积是，则此球的表面积是( )
A.12π B.16π
C. D.
2.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的( )
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
3.设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )
A. B.π cm3
C. D.π cm3
4.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是( )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
5.一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
A. B. cm3
C. D. cm3
6.用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为( )
A.16π B.32π
C.36π D.48π
7.两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为 .
8.若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为 .
9.(10分)某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积.
10.(12分)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，求球O的表面积.
11.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为( )
A. B.
C. D.
12.已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为( )
A.1 B.7
C.1或7 D.8
13.在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
14.如图，圆锥型容器内盛有水，水深3 dm，水面直径为2 dm，放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为 dm3.
15.将一个长、宽分别为a，b(0
答案精析
1.B 2.C 3.D 4.C 5.C
6.C [设球的半径为R，圆锥的底面半径为r，因为球心到截面的距离为1，所以有r2=R2-1，则圆锥体积V=×1×(R2-1)π=，解得R=3，故球的表面积为4πR2=36π.]
7.
8.72
解析 设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，即长方体的表面积为S=2ab+2ac+2bc，
又由于2ab+2ac+2bc≤a2+b2+a2+c2+b2+c2
=2(a2+b2+c2)，当且仅当a=b=c时取等号，
而a2+b2+c2=36，
所以该长方体表面积的最大值为72.
9.解 该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.
该组合体的体积V=πr3+πr2l
=π×13+π×12×3=.
10.解 如图所示，CD是截面圆的直径.
∴·π=π，
即CD=2，
设球O的半径为R，
∵AH∶HB=1∶2，
∴AH=×2R=R，
∴OH=R-R=R，
由OD2=OH2+HD2，
得R2=R2+1，
∴R2=，∴S球=4πR2=π.
11.D
12.C [由题意得两平行截面圆的半径分别为3和4.若两个平行截面在球心同侧，如图①，
则两个截面间的距离为-=1；
若两个平行截面在球心异侧，如图②，
则两个截面间的距离为+=7.]
13.6π
解析 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者有相同的外接球，长方体的体对角线就是球的直径.
∵侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，∴AB·AC=，
AD·AC=，AB·AD=，
∴AB=，AC=1，AD=，
∴球的直径为=，
∴球的半径为，∴三棱锥外接球的表面积为4π×=6π.
14.
解析 如图，设铁球的半径为r，则放入铁球后水深为3r，上底面半径为r，此时铁球与水的体积和为·π·(r)2·3r
=3πr3.
原来水的体积为·π·()2·3=3π，
铁球的体积为πr3，
则3π+πr3=3πr3，
解得r3=，
所以铁球的体积V=×=.
15.
解析 设切去正方形的边长为x，x∈，
则该长方体外接球半径的平方r2=[(a-2x)2+(b-2x)2+x2]
=[9x2-4(a+b)x+a2+b2]，在x∈存在最小值时，
必有<，
解得<，又0
故的取值范围是.
16.解 如图①，过点C作CO1⊥AB于点O1，旋转后得到的几何体如图②所示，由已知得∠BCA=90°，
① ②
∵∠BAC=30°，AB=2R，
∴AC=R，BC=R，CO1=R.
∴S球=4πR2，
=π×R×R=πR2，
=π×R×R=πR2，
∴S几何体表=S球++
=4πR2+πR2+πR2=πR2.
又∵V球=πR3，
=·AO1·π·C=πR2·AO1，
=·BO1·π·C=πR2·BO1，
∴V几何体=V球-(+)=πR3.
