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第六章
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5.1 直线与平面垂直
1.了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面所成角的概念，了解点到平面的距离和直线到平面的距离.
2.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.
3.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.
学习目标
天安门广场上竖立的国旗杆与地面，直立在水平桌面上打开的书的书脊与桌面等都展示了直线与平面垂直的形象.那么，什么是直线与平面垂直呢？
导 语
一、直线与平面垂直的定义
二、直线与平面垂直的性质定理
课时对点练
三、直线与平面所成的角
随堂演练
内容索引
四、直线与平面垂直的判定定理
直线与平面垂直的定义
一
提示 垂直.
如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？
问题1
提示 一条.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
问题2
1.直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，那么称直线l
与平面α垂直
记法 l α
有关概念 直线l称为平面α的 ，平面α称为直线l的 ，它们唯一的公共点P称为_____
任何一条
⊥
垂线
垂面
垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离，也就是点到平面垂线段的长.
(多选)下列说法，正确的是
A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内任一直线
B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可
能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α
例 1
√
√
由线面垂直的定义知，A正确；
当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错误；
C显然正确；
D中，a可能在α内，故D错误.
若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l与α的位置关系是
A.直线l和平面α相互平行 B.直线l和平面α相互垂直
C.直线l在平面α内 D.不能确定
跟踪训练 1
√
如图，由图可知l和α相互平行、垂直、相交(不垂直)以及l在平面α内都有可能.
二
直线与平面垂直的性质定理
提示 平行、相交或异面.
如果两条直线同垂直于另一条直线，这两条直线具有什么样的位置关系？
问题3
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言 a⊥α，b⊥α a∥b
图形语言
平行
2.如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离；如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离.
如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点，求证：DF∥平面ABC.
例 2
取AB的中点G，连接FG，CG，如图可得FG∥AE，FG=AE.
因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，AE=2a，CD=a，
所以CD∥AE，
且CD=AE，
所以FG∥CD，FG=CD.
所以四边形CDFG是平行四边形，
所以DF∥CG.
又因为CG 平面ABC，DF 平面ABC，
所以DF∥平面ABC.
反
思
感
悟
(1)利用线线平行的定义：证明共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证明两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明面面平行.
证明线线平行的常用方法
(1)(多选)直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是
A.a和b垂直于正方体的同一个面
B.a和b在正方体两个相对的面内，且共面
C.a和b平行于同一条棱
D.a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直
跟踪训练 2
√
√
√
A中为直线与平面垂直的性质定理的应用；
B中为面面平行的性质；
C中为基本事实4的应用；
D中若a，b为同一顶点处的两条棱所在直线，且都与另一条棱垂直，则a与b垂直，不平行.
(2)已知直线l∩平面α=O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA=AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC=1，则BD= .
如图，连接OD，
因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，
所以AC∥BD，所以.
因为OA=AB，所以.
因为AC=1，所以BD=2.
2
直线与平面所成的角
三
对应 图形
斜线 一条直线与一个平面 ，但不与这个平面 ，这条直线称为这个平面的斜线，如图中________
斜足 斜线和平面的 ，如图中_____
投影 过斜线上斜足以外的一点向平面作 ，过 和 的直线称为斜线在这个平面上的投影，如图中斜线PA在平面α上的投影为________
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
直线AO
对应图形
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，如图中______
规定：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 ；一条直线与平面平行，或在平面内，则它们所成的角是 的角
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则_____________
∠PAO
直角
0°
0°≤θ≤90°
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成角的大小为 ；
例 3
45°
∵A1A⊥平面ABCD，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，易得∠A1BA=45°.
(2)直线AC1与平面ABCD所成角的余弦值为 ；
∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1AC是直线AC1与平面ABCD所成的角，设正方体棱长为a，
则AC=a，
∴cos∠C1AC=.
(3)设AC的中点为O，则OD1与平面ABCD所成角的
正切值为 .
∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1OD是直线OD1与平面ABCD所成的角，
设正方体棱长为a，
则DD1=a，OD=a，
∴tan∠D1OD=.
反
思
感
悟
(1)找角：斜线与斜线在平面内的投影所成的角；
(2)计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算.
求斜线与平面所成角的步骤
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
跟踪训练 3
√
画出图形，
如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，
在三棱锥D-ACD1中，由三条侧棱两两垂直
得点D在底面ACD1内的投影为等边△ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，
设正方体的棱长为a，
则cos∠DD1H=.
直线与平面垂直的判定定理
四
如果一条直线垂直于平面内的一条直线，这条直线和平面具有什么样的位置关系？
提示 平行、相交或在平面内.
问题4
如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD
提示 折痕AD与桌面不垂直，因为AD与BD，CD都不垂直.如图，折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在平面α垂直，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直.
问题5
与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b=A l⊥α
图形语言
两条相交直线
(1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
例 4
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，
又AA1∩AC=A，AA1，AC 平面AA1O，
∴BD⊥平面AA1O，A1O 平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
设正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，
则A1O=，A1M=3，
∴A1O2+OM2=A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD=O，OM，BD 平面MBD，
∴A1O⊥平面MBD.
(2)如图，在四面体P-ABC中，已知BC=6，PC=10，PB=2
，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面CEF.
在△PCB中，
∵PC=10，BC=6，
PB=2，
∴PC2+BC2=PB2，
∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC=PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF=F，EF，CF 平面CEF，
∴PB⊥平面CEF.
反
思
感
悟
(1)由线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
证明线面垂直的方法
如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
跟踪训练 4
∵AB为☉O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，
BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM=A，
PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，
且BM∩PM=M，
BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
由(1)知AN⊥平面PBM，
∵PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
∵AQ⊥PB，AN∩AQ=A，
AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，
∴PB⊥NQ.
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的性质定理.
(3)直线与平面垂直的判定定理.
(4)直线与平面所成的角.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：忽略判定定理中在平面内找的两条直线必须是相交直线.
随堂演练
五
1.(多选)下列能保证一条直线与一个平面垂直的是
A.该直线垂直于三角形的两边
B.该直线垂直于梯形的两边
C.该直线垂直于圆的两条直径
D.该直线垂直于正六边形的两条边
由线面垂直的判定定理知，直线垂直于选项A，C中图形所在的平面，对于选项B，D中图形的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
√
1
2
3
4
√
2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，OB，OC 平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
√
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4
3.若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为
A.4 B.3 C.2 D.1
如图，∵AC⊥α，BD⊥α，
∴AC∥BD，
又AC=3，BD=5，EF为中位线，EF∥AC，
∴EF⊥α，EF=(AC+BD)=4.
√
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4
4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角的度数为 .
因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的投影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP=90°，PA=AB，所以∠PBA=45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
1
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45°
课时对点练
六
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C BCD C A B D 垂直 30°
题号 11 12 13 14 15
答案 B A BC 30° 2 3
答案
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9.
如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC
平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
答案
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9.
又AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
答案
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10.
(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BDE，BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE.
答案
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(2)如图所示，设AC∩BD=O，连接EO，
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的投影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，DE=DA=2，
∴EA==2，AO=，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO==，
∴∠AEO=30°，
即AE与平面BDE所成的角为30°.
16.
答案
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(1)如图所示，连接AC，交BD于点O，连接QO，
因为底面ABCD是矩形，
所以O为AC的中点，
又点Q是PC的中点，
∴PA∥QO，
又PA 平面BDQ，QO 平面BDQ，
∴PA∥平面BDQ.
16.
答案
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(2)∵PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PD⊥AB，
又AD⊥AB，PD∩AD=D，AD，PD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
∴直线PF与平面PAD所成的角即为∠APF=30°，
∵AP==4，
∴AF=APtan 30°=，
16.
答案
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∴当AB≥时，在线段AB上存在点F，使得直线PF
与平面PAD所成的角为30°，
此时AF=；
当0
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
依题意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，
∴l∥m.
√
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基础巩固
答案
2.(多选)下列说法正确的有
A.如果一条直线垂直于平面内的四条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B.过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直
C.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的
平面
D.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
√
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√
√
答案
3.如图，α，β是两个不同的平面，A，C是平面α上两个不同的点，B是平面β上的点，α∩β=l，且AB⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的位置关系是
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，
又∵BC⊥β，l β，∴BC⊥l，
又AB∩BC=B，AB，BC 平面ABC，
∴l⊥平面ABC，又AC 平面ABC，∴l⊥AC.
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答案
4.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角为
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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√
答案
取BC的中点E，连接AE，DE(图略)，
由题意知DE⊥平面ABC，即∠DAE为AD与平面ABC所成的角，
设三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长为2，
则DE=1，AE=，
所以∠DAE=30°.
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答案
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
易证AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，
所以AC⊥BC.
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答案
6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F=λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为
A. B.
C. D.1
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答案
因为C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，
又AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1，
作DF⊥AB1交BB1于点F，
因为C1D∩DF=D，C1D，DF 平面C1DF，
所以AB1⊥平面C1DF，
在矩形A1B1BA中，连接A1B，因为AB=A1A，
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答案
所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，
所以DF∥A1B，
又D为A1B1的中点，
所以F为BB1的中点，即B1F=BF，所以λ=1.
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答案
7.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的位置关系是 .
如图，取BD的中点O，
连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO=O，AO，CO 平面AOC，
∴BD⊥平面AOC，又AC 平面AOC，∴BD⊥AC.
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垂直
答案
8.在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成的角是 .
由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中，tan∠PCA=，
∴∠PCA=30°.
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30°
答案
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.
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答案
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如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
答案
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又AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
答案
10.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE=DA=2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
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∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BDE，BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE.
答案
(2)求AE与平面BDE所成的角的大小.
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答案
如图所示，设AC∩BD=O，连接EO，
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的投影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，DE=DA=2，
∴EA=，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO=，
∴∠AEO=30°，
即AE与平面BDE所成的角为30°.
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答案
11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有
A.AG⊥△EFH所在平面
B.AH⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
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综合运用
根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，可推出AH⊥平面EFH.
答案
12.在四面体P-ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的投影一定是△ABC的
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
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答案
如图，设点P在平面ABC上的投影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，
连接OA，OB，OC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
又PA=PB=PC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA=OB=OC，
∴O为△ABC的外心.
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答案
13.(多选)已知四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，且M，N分别是棱PD，BC的中点，则
A.MN∥PB B.MN∥平面PAB
C.MN⊥PA D.MN⊥平面PAD
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答案
对于A，因为PB 平面PBC，N∈平面PBC，N 直线PB，M 平面PBC，所以MN与PB是异面直线，故A错误；
对于B，取E为PA的中点，连接ME，BE(图略)，所以EM∥AD，EM=AD，
又BN∥AD，BN=AD，
所以BN∥EM，BN=EM，
即四边形BNME为平行四边形，所以MN∥BE，
因为BE 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB，故B正确；
对于C，因为PB=AB，E为PA的中点，所以BE⊥PA，因为MN∥BE，所以MN⊥PA，故C正确；
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答案
对于D，若MN⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以MN⊥AD，
因为四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，所以底面ABCD是正方形，取F为AD的中点，连接MF，NF(图略)，所以NF⊥AD，因为MN∩NF=N，MN，NF 平面MNF，所以AD⊥平面MNF，
又MF 平面MNF，所以MF⊥AD，
又MF∥PA，
所以PA⊥AD，这与△PAD为等边三角形，∠PAD=60°矛盾，故MN不垂直于平面PAD，故D错误.
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答案
14.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成的角的大小是 .
如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于点O，AB=10 cm，AC=3 cm，BD=2 cm，则AO=6 cm，BO=4 cm，
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30°
∴∠AOC=∠BOD=30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.
答案
拓广探究
15.已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，点G为△D1AC的重心，点E在线段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A.若CE=λEB，则λ= ，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 .
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答案
如图所示，延长CG交AD1于点F，连接BF，则F为AD1的中点，如图所示，
因为GE∥平面D1AB，GE 平面CBF，平面CBF∩平面D1AB=BF，
所以GE∥BF，
因为点G为△D1AC的重心，
所以CG=2GF，
所以CE=2EB，λ=2.
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答案
取CA的中点O，连接OB，GB，GO，OD1，则OB⊥AC，
设正方形ABCD的边长为2，
因为GE∥BF，GE⊥D1A，所以BF⊥D1A，
又F为AD1的中点，
所以AB=D1B=2，
在Rt△ABC中，AC=2
，
同理可得，D1O=，
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答案
因为D1O2+OB2=D1B2，所以OB⊥D1O，
又AC∩D1O=O，
AC，D1O 平面D1AC，
所以OB⊥平面D1AC，
则GO为GB在平面D1AC内的射影，
所以∠OGB为直线GB与平面D1AC所成的角，
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答案
在Rt△OGB中，GO=，
tan∠OGB==3.
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答案
16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，AD=PD=4，点Q是PC的中点.
(1)求证：PA∥平面BDQ；
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答案
如图所示，连接AC，交BD于点O，连接QO，
因为底面ABCD是矩形，
所以O为AC的中点，
又点Q是PC的中点，
∴PA∥QO，
又PA 平面BDQ，QO 平面BDQ，
∴PA∥平面BDQ.
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答案
(2)在线段AB上是否存在点F，使得直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由.
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答案
∵PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PD⊥AB，
又AD⊥AB，PD∩AD=D，AD，PD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
∴直线PF与平面PAD所成的角即为∠APF=30°，
∵AP=，
∴AF=APtan 30°=，
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答案
∴当AB≥时，在线段AB上存在点F，
使得直线PF与平面PAD所成的角为30°，
此时AF=；
当0
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答案5.1 直线与平面垂直
[学习目标] 1.了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面所成角的概念，了解点到平面的距离和直线到平面的距离.2.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.3.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.
一、直线与平面垂直的定义
问题1 如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？
问题2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
知识梳理
1.直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直
记法 l_____α
有关概念 直线l称为平面α的__________，平面α称为直线l的__________，它们唯一的公共点P称为__________
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离，也就是点到平面垂线段的长.
例1 (多选)下列说法，正确的是( )
A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内任一直线
B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α
跟踪训练1 若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l与α的位置关系是( )
A.直线l和平面α相互平行
B.直线l和平面α相互垂直
C.直线l在平面α内
D.不能确定
二、直线与平面垂直的性质定理
问题3 如果两条直线同垂直于另一条直线，这两条直线具有什么样的位置关系？
提示 平行、相交或异面.
知识梳理
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线__________
符号语言 a⊥α，b⊥α a∥b
图形语言
2.如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离；如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离.
例2 如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点，
求证：DF∥平面ABC.
反思感悟 证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行的定义：证明共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证明两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明面面平行.
跟踪训练2 (1)(多选)直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是( )
A.a和b垂直于正方体的同一个面
B.a和b在正方体两个相对的面内，且共面
C.a和b平行于同一条棱
D.a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直
(2)已知直线l∩平面α=O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA=AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC=1，则BD= .
三、直线与平面所成的角
知识梳理
对应 图形
斜线 一条直线与一个平面__________，但不与这个平面__________，这条直线称为这个平面的斜线，如图中__________
斜足 斜线和平面的__________，如图中__________
投影 过斜线上斜足以外的一点向平面作____，过_____和______的直线称为斜线在这个平面上的投影，如图中斜线PA在平面α上的投影为__________
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，如图中__________ 规定：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是__________；一条直线与平面平行，或在平面内，则它们所成的角是__________的角
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则__________
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成角的大小为 ；
(2)直线AC1与平面ABCD所成角的余弦值为 ；
(3)设AC的中点为O，则OD1与平面ABCD所成角的正切值为 .
反思感悟 求斜线与平面所成角的步骤
(1)找角：斜线与斜线在平面内的投影所成的角；
(2)计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算.
跟踪训练3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
四、直线与平面垂直的判定定理
问题4 如果一条直线垂直于平面内的一条直线，这条直线和平面具有什么样的位置关系？
问题5 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？
知识梳理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b=A l⊥α
图形语言
例4 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
(2)如图，在四面体P-ABC中，已知BC=6，PC=10，PB=2，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥平面CEF.
反思感悟 证明线面垂直的方法
(1)由线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
跟踪训练4 如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的性质定理.
(3)直线与平面垂直的判定定理.
(4)直线与平面所成的角.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：忽略判定定理中在平面内找的两条直线必须是相交直线.
1.(多选)下列能保证一条直线与一个平面垂直的是( )
A.该直线垂直于三角形的两边
B.该直线垂直于梯形的两边
C.该直线垂直于圆的两条直径
D.该直线垂直于正六边形的两条边
2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
3.若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角的度数为 .
答案精析
问题1 垂直.
问题2 一条.
知识梳理
1.任何一条 ⊥ 垂线 垂面 垂足
例1 AC [由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错误；C显然正确；D中，a可能在α内，故D错误.]
跟踪训练1 D [如图，由图可知l和α相互平行、垂直、相交(不垂直)以及l在平面α内都有可能.]
问题3 平行、相交或异面.
知识梳理
1.平行
例2 证明 取AB的中点G，连接FG，CG，如图可得FG∥AE，FG=AE.
因为CD⊥平面ABC，
AE⊥平面ABC，
AE=2a，
CD=a，
所以CD∥AE，
且CD=AE，
所以FG∥CD，
FG=CD.
所以四边形CDFG是平行四边形，
所以DF∥CG.
又因为CG 平面ABC，
DF 平面ABC，
所以DF∥平面ABC.
跟踪训练2 (1)ABC [A中为直线与平面垂直的性质定理的应用；B中为面面平行的性质；C中为基本事实4的应用；D中若a，b为同一顶点处的两条棱所在直线，且都与另一条棱垂直，则a与b垂直，不平行.]
(2)2
解析 如图，
连接OD，
因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，
所以AC∥BD，
所以=.
因为OA=AB，所以=.
因为AC=1，所以BD=2.
知识梳理
相交 垂直 直线PA 交点 点A
垂线 垂足 斜足 直线AO ∠PAO 直角 0° 0°≤θ≤90°
例3 (1)45° (2) (3)
解析 (1)∵A1A⊥平面ABCD，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，易得∠A1BA=45°.
(2)∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1AC是直线AC1与平面ABCD所成的角，设正方体棱长为a，
则AC=a，AC1=a，
∴cos∠C1AC==.
(3)∵D1D⊥平面ABCD，
∴∠D1OD是直线OD1与平面ABCD所成的角，
设正方体棱长为a，
则DD1=a，OD=a，
∴tan∠D1OD==.
跟踪训练3 D [画出图形，
如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，
在三棱锥D-ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的投影为等边△ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，
则cos∠DD1H==.]
问题4 平行、相交或在平面内.
问题5 折痕AD与桌面不垂直，因为AD与BD，CD都不垂直.如图，折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在平面α垂直，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直.
知识梳理
两条相交直线
例4 (1)证明 ∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，
又AA1∩AC=A，AA1，
AC 平面AA1O，
∴BD⊥平面AA1O，
A1O 平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
设正方体的棱长为2，连接OM，
A1M(图略)，
则A1O=，OM=，A1M=3，
∴A1O2+OM2=A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD=O，OM，
BD 平面MBD，
∴A1O⊥平面MBD.
(2)证明 在△PCB中，
∵PC=10，BC=6，
PB=2，CF=，
∴PC2+BC2=PB2，
∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC=PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF=F，
EF，CF 平面CEF，
∴PB⊥平面CEF.
跟踪训练4 证明 (1)∵AB为☉O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，
BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM=A，
PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，
且BM∩PM=M，
BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
∵PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
∵AQ⊥PB，AN∩AQ=A，
AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
随堂演练
1.AC 2.C 3.A 4.45°作业51 直线与平面垂直
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则l，m的位置关系是( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
2.(多选)下列说法正确的有( )
A.如果一条直线垂直于平面内的四条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B.过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直
C.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
D.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
3.如图，α，β是两个不同的平面，A，C是平面α上两个不同的点，B是平面β上的点，α∩β=l，且AB⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
4.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F=λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为( )
A. B.
C. D.1
7.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的位置关系是 .
8.在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成的角是 .
9.(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.
10.(11分)如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE=DA=2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；(5分)
(2)求AE与平面BDE所成的角的大小.(6分)
11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A.AG⊥△EFH所在平面
B.AH⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
12.在四面体P-ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的投影一定是△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
13.(多选)已知四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，且M，N分别是棱PD，BC的中点，则( )
A.MN∥PB
B.MN∥平面PAB
C.MN⊥PA
D.MN⊥平面PAD
14.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成的角的大小是 .
15.已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，点G为△D1AC的重心，点E在线段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A.若CE=λEB，则λ= ，直线GB与平面D1AC所成角的正切值为 .
16.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，AD=PD=4，点Q是PC的中点.
(1)求证：PA∥平面BDQ；(5分)
(2)在线段AB上是否存在点F，使得直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由.(7分)
答案精析
1.C 2.BCD 3.C 4.A 5.B
6.D [因为C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，
又AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1，
作DF⊥AB1交BB1于点F，
因为C1D∩DF=D，C1D，
DF 平面C1DF，
所以AB1⊥平面C1DF，
在矩形A1B1BA中，连接A1B，因为AB=A1A，
所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，
又D为A1B1的中点，
所以F为BB1的中点，即B1F=BF，所以λ=1.]
7.垂直
8.30°
解析 由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中，tan∠PCA===，
∴∠PCA=30°.
9.证明 如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，
BD∩DD1=D，
BD，DD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
10.(1)证明 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BDE，BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)解 如图所示，设AC∩BD=O，连接EO，
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的投影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，DE=DA=2，
∴EA==2，AO=，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO==，
∴∠AEO=30°，
即AE与平面BDE所成的角为30°.
11.B
12.A [如图，设点P在平面ABC上的投影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，
连接OA，OB，OC，
∴PO⊥OA，
PO⊥OB，
PO⊥OC，
又PA=PB=PC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA=OB=OC，
∴O为△ABC的外心.]
13.BC [对于A，因为PB 平面PBC，N∈平面PBC，N 直线PB，M 平面PBC，所以MN与PB是异面直线，故A错误；
对于B，取E为PA的中点，连接ME，BE(图略)，所以EM∥AD，EM=AD，又BN∥AD，BN=AD，
所以BN∥EM，BN=EM，
即四边形BNME为平行四边形，所以MN∥BE，
因为BE 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB，故B正确；
对于C，因为PB=AB，E为PA的中点，所以BE⊥PA，因为MN∥BE，所以MN⊥PA，故C正确；
对于D，若MN⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以MN⊥AD，
因为四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，所以底面ABCD是正方形，取F为AD的中点，连接MF，NF(图略)，所以NF⊥AD，因为MN∩NF=N，MN，NF 平面MNF，
所以AD⊥平面MNF，
又MF 平面MNF，所以MF⊥AD，
又MF∥PA，
所以PA⊥AD，这与△PAD为等边三角形，∠PAD=60°矛盾，故MN不垂直于平面PAD，故D错误.]
14.30°
解析 如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于点O，
AB=10 cm，AC=3 cm，BD=2 cm，则AO=6 cm，BO=4 cm，
∴∠AOC=∠BOD=30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.
15.2 3
解析 如图所示，
延长CG交AD1于点F，连接BF，则F为AD1的中点，如图所示，
因为GE∥平面D1AB，GE 平面CBF，平面CBF∩平面D1AB=BF，
所以GE∥BF，
因为点G为△D1AC的重心，
所以CG=2GF，
所以CE=2EB，λ=2.
取CA的中点O，连接OB，GB，GO，OD1，
则OB⊥AC，
设正方形ABCD的边长为2，
因为GE∥BF，GE⊥D1A，
所以BF⊥D1A，
又F为AD1的中点，
所以AB=D1B=2，
在Rt△ABC中，AC=2，
OB=AC=，
同理可得，D1O=，
因为D1O2+OB2=D1B2，
所以OB⊥D1O，
又AC∩D1O=O，
AC，D1O 平面D1AC，
所以OB⊥平面D1AC，
则GO为GB在平面D1AC内的射影，
所以∠OGB为直线GB与平面D1AC所成的角，
在Rt△OGB中，GO=D1O=，
tan∠OGB==3.
16.(1)证明 如图所示，连接AC，交BD于点O，连接QO，
因为底面ABCD是矩形，
所以O为AC的中点，
又点Q是PC的中点，
∴PA∥QO，
又PA 平面BDQ，QO 平面BDQ，
∴PA∥平面BDQ.
(2)解 ∵PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PD⊥AB，
又AD⊥AB，PD∩AD=D，
AD，PD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
∴直线PF与平面PAD所成的角即为∠APF=30°，
∵AP==4，
∴AF=APtan 30°=，
∴当AB≥时，在线段AB上存在点F，使得直线PF与平面PAD所成的角为30°，
此时AF=；
当0
