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第六章
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3.2 刻画空间点、线、面
位置关系的公理(二)
1.掌握基本事实4及等角定理.
2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.
学习目标
立体交叉桥，简称立交桥.随着世界各国经济的发展和高速公路的出现，现代化的城市道路交通开始朝立体化发展.1952年，我国于北京滨河路兴建了首座立交桥.全国第二座立交桥是于1962年在广州修建的.现在的立交桥已由
导 语
最初的上、下两层分开式，向多层次、多方向的复杂立体交叉方式发展，目的是大力提高交叉路口的车流速度，并确保交通安全.若把立交桥抽象成直线，它们在不同的平面内，一条南北走向和一条东西走向(不同层)的立交桥所在直线的夹角如何刻画？
这节课我们共同学习异面直线所成的角.
一、基本事实4
二、空间两直线的位置关系
课时对点练
三、等角定理
随堂演练
内容索引
四、异面直线的夹角
基本事实4
一
提示 平行.
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，那么BB'与DD'平行吗？
问题1
提示 平行.
将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a，b，
c，d，e，…之间有何关系？
问题2
1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2.符号表示： a∥c.
3.空间平行线的传递性：空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相
.
平行
如图所示，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点.求证：四边形B1EDF是平行四边形.
例 1
设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，
如图.
∵E，Q分别是AA1，DD1的中点，∴EQ綊A1D1.
又∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1.
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E綊C1Q.
又Q，F分别是DD1，CC1的中点，
∴QD綊C1F.
∴四边形C1QDF为平行四边形.
∴C1Q綊DF.
∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形.
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.
(2)找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得a∥b.
证明空间中两条直线平行的方法
反
思
感
悟
已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点.求证：四边形MNA'C'是梯形.
跟踪训练 1
如图所示，连接AC，
由正方体的性质可知AA'=CC'，AA'∥CC'，
∴四边形AA'C'C为平行四边形，
∴A'C'=AC，A'C'∥AC，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN=AC，
∴MN∥A'C'且MN=A'C'.
∴四边形MNA'C'是梯形.
二
空间两直线的位置关系
1.异面直线的概念
(1)定义：不同在 平面内(不共面)的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②所示，为了表示异面直线a，b不共
面的特点，画图时，通常用一个或两个平面
来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；
②两直线既不平行也不相交.
任何一个
2.空间两条直线的位置关系
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
例 2
平行
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，
∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
异面
直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
相交
直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
异面
直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
(1)判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的
方法去判断，而两条直线平行也可以用基
本事实4判断.
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图).
反
思
感
悟
(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
跟踪训练 2
√
可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，设A'D'所在
直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直
线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'.故a和c可以平行、相交或异面.
(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
还原的正方体如图所示.
是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
等角定理
三
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 或 .
如图所示，AC∥A'C'，AB∥A'B'，可知∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'
=180°.
相等
互补
如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，E'，F'分别是AB，BC，A'B'，B'C'的中点，求证：EE'∥FF'.
例 3
因为E，E'分别是AB，A'B'的中点，
所以BE∥B'E'，且BE=B'E'.
所以四边形EBB'E'是平行四边形，
所以EE'∥BB'，同理可证FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
若将本例变为已知E，E'分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱AD，A'D'的中点.求证：∠BEC=∠B'E'C'.
延伸探究
如图所示，连接EE'.
因为E，E'分别是AD，A'D'的中点，
所以AE∥A'E'，
且AE=A'E'.
所以四边形AEE'A'是平行四边形.
所以AA'∥EE'，且AA'=EE'.
又因为AA'∥BB'，且AA'=BB'，
所以EE'∥BB'，且EE'=BB'，
所以四边形BEE'B'是平行四边形，
所以BE∥B'E'.
同理可证CE∥C'E'.
又∠BEC与∠B'E'C'的两边方向相同，
所以∠BEC=∠B'E'C'.
反
思
感
悟
(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用基本事实4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
(2)等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.
异面直线的夹角
四
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，这时a'，b'共面
结论 我们把a'与b'所成的 的角称为异面直线a，b的夹角
范围 记异面直线a与b的夹角为θ，则_____________
特殊情况 当θ= 时，a与b互相垂直，记作：______
不大于90°
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求A1B与B1D1夹角的大小；
例 4
如图，连接BD，A1D.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1∥BB1，且DD1=BB1，
∴四边形DBB1D1为平行四边形，∴BD∥B1D1.
∵A1B，BD，A1D是全等的正方形的对角线，
∴A1B=BD=A1D，
即△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD=60°.
∵∠A1BD是锐角，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1的夹角，
即A1B与B1D1的夹角为60°.
(2)求AC与BD1夹角的大小.
取DD1的中点E，设AC∩BD=O，连接EO，EA，EC.
∵O为BD的中点，
∴OE∥BD1.
∵∠EDA=∠EDC=90°，AD=DC，DE=DE，
∴△EDA≌△EDC，∴EA=EC.
在等腰三角形EAC中，
∵O是AC的中点，∴EO⊥AC，
∴∠EOA=90°.
∵∠EOA是异面直线AC与BD1的夹角，
∴AC与BD1的夹角为90°.
反
思
感
悟
(1)作(或找)：根据异面直线夹角的定义，用平移法作(或找)出异面直线的夹角.
(2)证：证明作(或找)出的角就是要求的角.
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作(或找)二证三计算”来概括.同时注意异面直线夹角的范围是0°<θ≤90°.
求两异面直线夹角的三个步骤
在空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD的夹角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB的夹角的大小.
跟踪训练 3
如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG=AB，
GF∥CD且GF=CD.
由AB=CD知EG=FG，从而可知∠GEF为EF与AB的夹角，∠EGF或其补角为AB与CD的夹角.
∵AB与CD的夹角为30°，
∴∠EGF=30°或150°，
由EG=FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF=30°时，∠GEF=75°；
当∠EGF=150°时，∠GEF=15°，
故EF与AB夹角的大小为15°或75°.
1.知识清单：
(1)基本事实4.
(2)空间两直线的位置关系.
(3)等角定理.
(4)异面直线的夹角.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：
(1)容易忽视异面直线夹角θ的范围是0°<θ≤90°.
(2)等角定理应用时往往忽视两角互补的情况.
随堂演练
五
1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
√
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2.若OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB=130°，则∠A'O'B'为
A.130° B.50°
C.130°或50° D.不能确定
根据等角定理可知，∠A'O'B'与∠AOB相等或互补，即∠A'O'B'=130°或∠A'O'B'=50°.
√
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3.如图所示，在长方体木块AC1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
√
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4
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别为A1B，B1D1，A1D，CD1的中点，则直线EF与PQ夹角的大小是
A. B.
C. D.
√
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如图，连接A1C1，BC1，
则F是A1C1的中点.
又E为A1B的中点，
所以EF∥BC1.
连接DC1，则Q是DC1的中点，
又P为A1D的中点，
所以PQ∥A1C1，
则∠A1C1B(或其补角)是直线EF与PQ的夹角.
易知△A1C1B是正三角形，
所以直线EF与PQ的夹角为∠A1C1B=.
课时对点练
六
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D BD A ABD 矩形 5
题号 11 12 13 14 15
答案 BD AC C 平行 60°
答案
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9.
(1)因为AA'与BB'相交于点O，所以AA'与BB'共面，
在△ABO和△A'B'O中，
可得∠AOB=∠A'OB'，
又因为=，
所以△ABO∽△A'B'O，
所以=，∠BAO=∠B'A'O，
所以AB∥A'B'，
同理AC∥A'C'，BC∥B'C'.
答案
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9.
(2)因为AB∥A'B'，AC∥A'C'，且AB和A'B'，AC和A'C'的方向相反，
所以∠BAC=∠B'A'C'.
同理∠ABC=∠A'B'C'，
因此△ABC∽△A'B'C'，
又==，
所以==.
答案
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10.
如图，取AC的中点F，连接EF，BF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD的夹角.
在Rt△ABC中，BC=，AB=AC，
∴AB=AC=1.
在Rt△EAB中，AB=1，
AE=AD=，∴BE=.
在Rt△AEF中，AF=AC=，AE=，
答案
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10.
∴EF=.
在Rt△ABF中，AB=1，
AF=，∴BF=.
在等腰△EBF中，
cos∠FEB===，
∴异面直线BE与CD夹角的余弦值为.
答案
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16.
如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC=2，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1的夹角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1的夹角为90°，
∴∠AD1C=90°.
答案
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16.
又易知AD1=D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1=AC.
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴AC=2×sin 60°×2=6，
∴AD1=AC=3，
∴AA1==.
答案
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1.空间两条互相平行的直线指的是
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
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基础巩固
答案
2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).
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答案
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是
A.直线AA1
B.直线A1B1
C.直线A1D1
D.直线B1C1
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答案
根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行.
∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确.
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答案
4.(多选)下列命题中正确的为
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线的夹角相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
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√
答案
对于A，这两个角也可能互补，故A错误；
B正确；
C不正确，举反例：如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，
∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；
对于D，由公理4可知正确.
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答案
5.在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ=2，QR=，PR=3，那么异面直线AC和BD的夹角是
A.90° B.60°
C.45° D.30°
∠PQR(或其补角)即为所求角，由勾股定理的逆定理可知∠PQR=90°.
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答案
6.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1的夹角为60°
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√
答案
由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；
由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；
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同理AE与B1C1是异面直线，C正确；
而AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，所以AE与B1C1的夹角为90°，D错误.
答案
7.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是 .
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矩形
答案
如图所示.
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
∴MN∥AC，且MN=AC，PQ∥AC且PQ=AC，
即MN∥PQ且MN=PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，
∴MN⊥MQ，
∴平行四边形MNPQ是矩形.
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答案
8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD的夹角为90°，则MN= .
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答案
如图，取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD的夹角，
∴∠MPN=90°，
PN=BD=3，
∴MN=5.
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答案
9.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且.
(1)证明：AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'；
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因为AA'与BB'相交于点O，所以AA'与BB'共面，
在△ABO和△A'B'O中，可得∠AOB=∠A'OB'，
又因为，所以△ABO∽△A'B'O，
所以，∠BAO=∠B'A'O，
所以AB∥A'B'，
同理AC∥A'C'，BC∥B'C'.
答案
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(2)求的值.
因为AB∥A'B'，AC∥A'C'，且AB和A'B'，AC和A'C'的方向相反，
所以∠BAC=∠B'A'C'.
同理∠ABC=∠A'B'C'，因此△ABC∽△A'B'C'，
又，
所以.
答案
10.如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD夹角的余弦值.
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答案
如图，取AC的中点F，连接EF，BF.
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD
的夹角.
在Rt△ABC中，BC=，AB=AC，∴AB=AC=1.
在Rt△EAB中，AB=1，AE=，
∴BE=.
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答案
在Rt△AEF中，AF=，
∴EF=.
在Rt△ABF中，AB=1，AF=.
在等腰△EBF中，
cos∠FEB=，
∴异面直线BE与CD夹角的余弦值为.
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答案
11.(多选)如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是
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综合运用
√
√
答案
A中，∵G，M是所在棱的中点，
∴AG綊BM，∴四边形GMBA是平行四边形，
∴GM綊AB綊HN，
∴四边形GMNH是平行四边形，
∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；
C中，∵G，M是所在棱的中点，∴GM綊CD，
∴GM綊HN，∴G，H，M，N四点共面；
B，D中GH与MN是异面直线.
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答案
12.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是
A.AB⊥EF
B.AB与CM的夹角为60°
C.EF与MN是异面直线
D.MN∥CD
把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确.
√
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√
答案
13.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1夹角的取值范围是
A. B. C. D.
√
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答案
设正方体棱长为1，DP=x，则x∈，连接AD1，AP(图略)，
由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1的夹角，
在△AD1P中，AD1=，
故cos∠AD1P=，
又∵x∈，∴ cos∠AD1P=，
又异面直线夹角的范围为，∴∠AD1P的取值范围为.
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答案
14.若P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，则DE与AC的位置关系为 .
∵D，E分别为△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE并延长，分别交AB，BC于M，N两点，如图所示，则M，N分别为AB，BC的中点，
∴DE∥MN，MN∥AC，
∴DE∥AC.
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平行
答案
拓广探究
15.如图所示，圆锥的底面直径AB=4，高OC=2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD=120°，则直线AD与BC的夹角为 .
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60°
答案
如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，
且AD=BE，
所以∠CBE(或其补角)即为异面直线AD与BC的夹角.
在△AOD中，
AD=2OAsin 60°=2，
在△CBE中，CB=CE=BE=2，
所以△CBE为正三角形，
所以∠CBE=60°.
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答案
16.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，且AB=2，∠ABC=120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长.
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答案
如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC=2，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1的夹角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1的夹角为90°，
∴∠AD1C=90°.
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答案
又易知AD1=D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1=AC.
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴AC=2×sin 60°×2=6，
∴AD1=，
∴AA1=.
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答案3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)
[学习目标] 1.掌握基本事实4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.
一、基本事实4
问题1 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，那么BB'与DD'平行吗？
问题2 将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a，b，c，d，e，…之间有何关系？
知识梳理
1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2.符号表示： a∥c.
3.空间平行线的传递性：空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相______.
例1 如图所示，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点.求证：四边形B1EDF是平行四边形.
反思感悟 证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.
(2)找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得a∥b.
跟踪训练1 已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点.求证：四边形MNA'C'是梯形.
二、空间两直线的位置关系
知识梳理
1.异面直线的概念
(1)定义：不同在____________平面内(不共面)的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②所示，为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；
②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的位置关系
例2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
反思感悟 (1)判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4判断.
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图).
跟踪训练2 (1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
三、等角定理
知识梳理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_______或____________.
如图所示，AC∥A'C'，AB∥A'B'，可知∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°.
例3 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，E'，F'分别是AB，BC，A'B'，B'C'的中点，求证：EE'∥FF'.
延伸探究
若将本例变为已知E，E'分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱AD，A'D'的中点.求证：∠BEC=∠B'E'C'.
反思感悟 (1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用基本事实4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
(2)等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.
四、异面直线的夹角
知识梳理
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，这时a'，b'共面
结论 我们把a'与b'所成的___________的角称为异面直线a，b的夹角
范围 记异面直线a与b的夹角为θ，则____________
特殊情况 当θ=____________时，a与b互相垂直，记作：_______
例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求A1B与B1D1夹角的大小；
(2)求AC与BD1夹角的大小.
反思感悟 求两异面直线夹角的三个步骤
(1)作(或找)：根据异面直线夹角的定义，用平移法作(或找)出异面直线的夹角.
(2)证：证明作(或找)出的角就是要求的角.
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作(或找)二证三计算”来概括.同时注意异面直线夹角的范围是0°<θ≤90°.
跟踪训练3 在空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD的夹角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB的夹角的大小.
1.知识清单：
(1)基本事实4.
(2)空间两直线的位置关系.
(3)等角定理.
(4)异面直线的夹角.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：
(1)容易忽视异面直线夹角θ的范围是0°<θ≤90°.
(2)等角定理应用时往往忽视两角互补的情况.
1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
2.若OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB=130°，则∠A'O'B'为( )
A.130° B.50°
C.130°或50° D.不能确定
3.如图所示，在长方体木块AC1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别为A1B，B1D1，A1D，CD1的中点，则直线EF与PQ夹角的大小是( )
A. B.
C. D.
答案精析
问题1 平行.
问题2 平行.
知识梳理
3.平行
例1 证明 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，如图.
∵E，Q分别是AA1，DD1的中点，∴EQ綊A1D1.
又∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1.
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E綊C1Q.
又Q，F分别是DD1，CC1的中点，
∴QD綊C1F.
∴四边形C1QDF为平行四边形.
∴C1Q綊DF.
∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形.
跟踪训练1 证明 如图所示，
连接AC，
由正方体的性质可知AA'=CC'，
AA'∥CC'，
∴四边形AA'C'C为平行四边形，
∴A'C'=AC，
A'C'∥AC，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN=AC，
∴MN∥A'C'且MN=A'C'.
∴四边形MNA'C'是梯形.
知识梳理
1.(1)任何一个
例2 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
解析 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，
∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
跟踪训练2 (1)D [可借助长方体来判断.
如图，
在长方体ABCD-A'B'C'D'中，设A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'.故a和c可以平行、相交或异面.]
(2)C [还原的正方体如图所示.
是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.]
知识梳理
相等 互补
例3 证明 因为E，E'分别是AB，
A'B'的中点，
所以BE∥B'E'，且BE=B'E'.
所以四边形EBB'E'是平行四边形，
所以EE'∥BB'，同理可证FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
延伸探究 证明 如图所示，
连接EE'.
因为E，E'分别是AD，A'D'的中点，
所以AE∥A'E'，
且AE=A'E'.
所以四边形AEE'A'是平行四边形.
所以AA'∥EE'，
且AA'=EE'.
又因为AA'∥BB'，且AA'=BB'，
所以EE'∥BB'，且EE'=BB'，
所以四边形BEE'B'是平行四边形，
所以BE∥B'E'.
同理可证CE∥C'E'.
又∠BEC与∠B'E'C'的两边方向相同，
所以∠BEC=∠B'E'C'.
知识梳理
不大于90° 0°<θ≤90° 90° a⊥b
例4 解 (1)如图，连接BD，A1D.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
DD1∥BB1，
且DD1=BB1，
∴四边形DBB1D1为平行四边形，
∴BD∥B1D1.
∵A1B，BD，A1D是全等的正方形的对角线，
∴A1B=BD=A1D，
即△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD=60°.
∵∠A1BD是锐角，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1的夹角，
即A1B与B1D1的夹角为60°.
(2)取DD1的中点E，
设AC∩BD=O，
连接EO，EA，EC.
∵O为BD的中点，
∴OE∥BD1.
∵∠EDA=∠EDC=90°，AD=DC，DE=DE，
∴△EDA≌△EDC，
∴EA=EC.
在等腰三角形EAC中，
∵O是AC的中点，∴EO⊥AC，
∴∠EOA=90°.
∵∠EOA是异面直线AC与BD1的夹角，
∴AC与BD1的夹角为90°.
跟踪训练3 解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG=AB，
GF∥CD且GF=CD.
由AB=CD知EG=FG，从而可知∠GEF为EF与AB的夹角，∠EGF或其补角为AB与CD的夹角.
∵AB与CD的夹角为30°，
∴∠EGF=30°或150°，
由EG=FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF=30°时，∠GEF=75°；
当∠EGF=150°时，∠GEF=15°，
故EF与AB夹角的大小为15°或75°.
随堂演练
1.D 2.C 3.B 4.C作业47 刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分
1.空间两条互相平行的直线指的是( )
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )
A.直线AA1
B.直线A1B1
C.直线A1D1
D.直线B1C1
4.(多选)下列命题中正确的为( )
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线的夹角相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
5.在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ=2，QR=，PR=3，那么异面直线AC和BD的夹角是( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
6.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1的夹角为60°
7.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是 .
8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD的夹角为90°，则MN= .
9.(10分如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且.
(1)证明：AB∥A'B'，AC∥A'C'，
BC∥B'C'；(5分)
(2)求的值.(5分)
10.(10分)如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD夹角的余弦值.
11.(多选)如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是( )
12.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是( )
A.AB⊥EF
B.AB与CM的夹角为60°
C.EF与MN是异面直线
D.MN∥CD
13.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
14.若P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，则DE与AC的位置关系为 .
15.如图所示，圆锥的底面直径AB=4，高OC=2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD=120°，则直线AD与BC的夹角为 .
16.(11分)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，且AB=2，∠ABC=120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长.
答案精析
1.D 2.D 3.D 4.BD 5.A
6.ABD [由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，所以AE与B1C1的夹角为90°，D错误.]
7.矩形
8.5
解析 如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD的夹角，
∴∠MPN=90°，
PN=AC=4，PM=BD=3，
∴MN=5.
9.(1)证明 因为AA'与BB'相交于点O，所以AA'与BB'共面，
在△ABO和△A'B'O中，
可得∠AOB=∠A'OB'，
又因为=，
所以△ABO∽△A'B'O，
所以=，∠BAO=∠B'A'O，
所以AB∥A'B'，
同理AC∥A'C'，BC∥B'C'.
(2)解 因为AB∥A'B'，AC∥A'C'，且AB和A'B'，AC和A'C'的方向相反，
所以∠BAC=∠B'A'C'.
同理∠ABC=∠A'B'C'，
因此△ABC∽△A'B'C'，
又==，
所以==.
10.解 如图，取AC的中点F，连接EF，BF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD的夹角.
在Rt△ABC中，BC=，AB=AC，
∴AB=AC=1.
在Rt△EAB中，AB=1，
AE=AD=，∴BE=.
在Rt△AEF中，
AF=AC=，AE=，
∴EF=.
在Rt△ABF中，AB=1，
AF=，∴BF=.
在等腰△EBF中，
cos∠FEB===，
∴异面直线BE与CD夹角的余弦值为.
11.BD [A中，∵G，M是所在棱的中点，
∴AG綊BM，∴四边形GMBA是平行四边形，
∴GM綊AB綊HN，
∴四边形GMNH是平行四边形，
∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；
C中，∵G，M是所在棱的中点，∴GM綊CD，
∴GM綊HN，∴G，H，M，N四点共面；
B，D中GH与MN是异面直线.]
12.AC [把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确.]
13.C [设正方体棱长为1，DP=x，则x∈，连接AD1，AP(图略)，
由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1的夹角，
在△AD1P中，AD1=，AP=D1P=，
故cos∠AD1P=，
又∵x∈，∴ cos∠AD1P
=，
又异面直线夹角的范围为，
∴∠AD1P的取值范围为.]
14.平行
解析 ∵D，E分别为△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE并延长，分别交AB，BC于M，N两点，如图所示，则M，N分别为AB，BC的中点，
∴DE∥MN，MN∥AC，
∴DE∥AC.
15.60°
解析 如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，
且AD=BE，
所以∠CBE(或其补角)即为异面直线AD与BC的夹角.
在△AOD中，
AD=2OAsin 60°=2，
在△CBE中，CB=CE=BE=2，
所以△CBE为正三角形，
所以∠CBE=60°.
16.解 如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1=BC=2，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1的夹角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1的夹角为90°，
∴∠AD1C=90°.
又易知AD1=D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1=AC.
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴AC=2×sin 60°×2=6，
∴AD1=AC=3，
∴AA1==.
