(共67张PPT)
第五章
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1.1 复数的概念
学习目标
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.
导 语
1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10-x)=40的根，他求出的根为5+，积为25-(-15)=40.由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.负数真的不能开平方吗？
一、复数的有关概念
二、复数的分类
课时对点练
三、复数相等的充要条件
随堂演练
内容索引
一
复数的有关概念
提示 无解；引入新的数系.
在正数范围内，方程x+2=0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2=2有解吗？我们又是怎样让它有解的？
问题1
提示 无实数解.
一元二次方程x2=-1在实数集范围内的解是什么？
问题2
1.复数
(1)定义：形如a+bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作 ，满足i2= .
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即 ，其中a称为复数z的 ，记作Re z，b称为复数z的 ，记作Im z.
2.复数集
(1)定义： 构成的集合称为复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
虚数单位
-1
z=a+bi(a，b∈R)
实部
虚部
全体复数
(1)复数集是高中阶段学习的最大的数集，任何一个数都可以写成a+bi(a，b∈R)的形式，其中0=0+0i.
(2)复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
(3)复数z=a+bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式.
注 意 点
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写出下列复数的实部、虚部：
1+3i，-2，-i，0，i2.
例 1
1+3i -2 -i 10+i 0 i2
实部 1 -2 0 10 0 -1
虚部 3 0 - 0 0 0
在复数a+bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数.
反
思
感
悟
已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是
A. B.
C. D.，1
跟踪训练 1
由，b=5.
√
二
复数的分类
复数集C和实数集R之间有什么关系？
问题3
提示 R C.
1.复数a+bi(a，b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
(1)虚数之间不能比较大小.
(2)当b≠0时，z=a+bi为虚数.
注 意 点
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当m为何实数时，复数z=+(m2-2m-15)i是下列数？
(1)虚数；
例 2
当
即m≠5且m≠-3时，z是虚数.
(2)纯虚数；
当
即m=3或m=-2时，z是纯虚数.
(3)实数.
当即m=5时，z是实数.
本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
因为z>0，所以z为实数，需满足
解得m=5.
延伸探究
反
思
感
悟
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
复数分类问题的求解方法与步骤
反
思
感
悟
设所给复数为z=a+bi(a，b∈R)，
①z为实数 b=0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a=0且b≠0.
(3)下结论.
(1)(多选)下列说法正确的是
A.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b≠0，则a+bi为纯虚数
B.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b=0，则a+bi为实数
C.若a∈R，则(a2+1)i是纯虚数
D.实数集是复数集的真子集
跟踪训练 2
对于复数a+bi(a，b∈R)，若b≠0，则a+bi为虚数，不一定为纯虚数，故A错误；
若b=0，则a+bi=a为实数，故B正确；
若a∈R，则a2+1≠0，所以(a2+1)i是纯虚数，故C正确；显然D正确.
√
√
√
(2)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
根据复数的分类知，需满足
即a=2.
√
三
复数相等的充要条件
两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
(1)若(x+y)+yi=(x+1)i，求实数x，y的值.
例 3
由复数相等的充要条件，得
(2)若关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根，求实数a的值.
设方程的实根为x=m，
则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i，
所以
解得a=11或a=-.
反
思
感
悟
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
复数相等问题的解题技巧
复数z1=(2m+7)+(m2-2)i，z2=(m2-8)+(4m+3)i，m∈R，若z1=z2，则m=_____.
跟踪训练 3
因为m∈R，z1=z2，
所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m=5.
5
1.知识清单：
(1)数系的扩充.
(2)复数的概念.
(3)复数的分类.
(4)复数相等的充要条件.
2.方法归纳：方程思想.
3.常见误区：未化成z=a+bi(a，b∈R)的形式.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.在2+)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
√
，0.618是实数，8+5i是虚数.
故纯虚数的个数为2.
2.(1+)i的实部与虚部分别是
A.1， B.，0
C.0，1+ D.)i
√
1
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3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，则实数m的值为
A.-1 B.2 C.1 D.-2
1
2
3
4
因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，
所以m2-m-2≠0，且m2-1=0，
解得m=1.
√
4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为 .
1，1
∵x2-y2+2xyi=2i，
∴(舍去).
1
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4
课时对点练
五
答案
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A BCD B B D kπ+ {3}
题号 11 12 13 14 15
答案 B C B 1+2i或2+i C
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9.
由m2+5m+6=0，得m=-2或m=-3，
由m2-2m-15=0，得m=5或m=-3.
(1)当m2-2m-15=0时，复数z为实数，
∴m=5或m=-3.
(2)当m2-2m-15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠-3.
答案
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9.
(3)当时，复数z是纯虚数，
∴m=-2.
(4)当时，复数z是0，
∴m=-3.
答案
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10.
(1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义，
得
解得
(2)∵x∈R，
答案
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10.
∴由复数相等的定义，
得
解得
∴x=3.
答案
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16.
(1)∵z1为纯虚数，
∴解得m=-2.
(2)由z1=z2，得
∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2.
∵-1≤sin θ≤1，∴当sin θ=1时，λmin=2，
答案
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16.
当sin θ=-1时，λmax=6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
答案
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1.设a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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基础巩固
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答案
因为a，b∈R，当“a=0”时，“复数a+bi是纯虚数”不一定成立，也可能b=0，即a+bi=0∈R.
而当“复数a+bi是纯虚数”时，“a=0”一定成立.
所以若a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件.
2.以-3+i的虚部为实部，以3i+i2的实部为虚部的复数是
A.1-i B.1+i C.-3+3i D.3+3i
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√
答案
-3+i的虚部为1，3i+i2=-1+3i的实部为-1，故所求复数为1-i.
3.(多选)下列说法不正确的是
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B.ai是纯虚数(a∈R)
C.如果复数a+bi(a，b∈R)是实数，那么a=0，b=0
D.复数a+bi(a，b∈R)不是实数
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答案
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√
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答案
若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，即这两个复数相等，故A正确；
当a=0时，ai=0是实数，故B错误；
要使复数a+bi(a，b∈R)是实数，只需b=0，故C错误；
当b=0时，复数a+bi是实数，故D错误.
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4.在复平面内，复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)是纯虚数，则
A.a=0或a=2 B.a=0
C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2
√
答案
因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数，
所以a2-2a=0且a2-a-2≠0，所以a=0.
5.已知A={1，2，a2-3a-1+(a2-5a-6)i}，B={-1，3}，A∩B={3}，则实数a等于
A.1 B.-1 C.-4 D.6
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答案
由题意，得a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3，
∴解得a=-1.
6.若a，b∈R，i是虚数单位，a+2 025i=2-bi，则a2+bi等于
A.2 025+2i B.2 025+4i
C.2+2 025i D.4-2 025i
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答案
√
因为a+2 025i=2-bi，a，b∈R，
所以a=2，-b=2 025，即a=2，b=-2 025，
所以a2+bi=4-2 025i.
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7.若复数z=sin 2α-(1-cos 2α)i是纯虚数，则α= .
答案
kπ+(k∈Z)
由题意知sin 2α=0，1-cos 2α≠0，
∴2α=2kπ+π(k∈Z)，∴α=kπ+(k∈Z).
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8.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是 .
答案
{3}
由已知，得解得m=3，
所以使不等式成立的实数m的取值集合是{3}.
9.当实数m取什么值时，复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是下列数？
(1)实数；
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答案
由m2+5m+6=0，得m=-2或m=-3，
由m2-2m-15=0，得m=5或m=-3.
当m2-2m-15=0时，复数z为实数，
∴m=5或m=-3.
(2)虚数；
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答案
当m2-2m-15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠-3.
(3)纯虚数；
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答案
当时，复数z是纯虚数，
∴m=-2.
(4)0.
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答案
当时，复数z是0，
∴m=-3.
10.分别求满足下列条件的实数x，y的值.
(1)2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i；
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答案
∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义，得
解得
(2)+(x2-2x-3)i=0.
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答案
∵x∈R，
∴由复数相等的定义，得
解得
∴x=3.
11.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是
A.(-1，3) B.(-∞，-1)∪(3，+∞)
C.(-3，1) D.(-∞，-3)∪(1，+∞)
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综合运用
答案
由已知可得a2>2a+3，即a2-2a-3>0，
解得a<-1或a>3.
因此，实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(3，+∞).
12.若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则
A.a=-1 B.a≠-1且a≠2
C.a≠-1 D.a≠2
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答案
方法一 复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0，解得a≠-1.
方法二 若该复数为纯虚数，则a2-a-2=0且|a-1|-1≠0，解得a=-1，所以若该复数不是纯虚数，则a≠-1.
13.已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有实数根n，且z=m+ni，则复数z等于
A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i
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答案
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由题意知(n2+mn)+2ni=-2-2i，
即∴z=3-i.
14.已知复数z=x+yi(x，y∈R)，且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i，则z= .
1+2i或2+i
因为2x+y+i·log2x-8=2x+y-8+i·log2x=(1-log2y)i，
所以
解得
所以z=1+2i或z=2+i.
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答案
15.若复数z=i(θ∈R)是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为
A.7 B.-
C.-7 D.-7或-
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拓广探究
答案
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答案
∵复数z=i是纯虚数，
∴cos θ-≠0，
∴sin θ=-，
∴tan=-7.
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16.已知复数z1=4-m2+(m-2)i，z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
答案
∵z1为纯虚数，
∴解得m=-2.
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(2)若z1=z2，求实数λ的取值范围.
答案
由z1=z2，得
∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2.
∵-1≤sin θ≤1，∴当sin θ=1时，λmin=2，
当sin θ=-1时，λmax=6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].1.1 复数的概念
[学习目标] 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.
一、复数的有关概念
问题1 在正数范围内，方程x+2=0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2=2有解吗？我们又是怎样让它有解的？
问题2 一元二次方程x2=-1在实数集范围内的解是什么？
知识梳理
1.复数
(1)定义：形如a+bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作__________，满足i2=_____.
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即_______________，其中a称为复数z的__________，记作Re z，b称为复数z的__________，记作Im z.
2.复数集
(1)定义：__________构成的集合称为复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
例1 写出下列复数的实部、虚部：
1+3i，-2，-i，0，i2.
反思感悟 在复数a+bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数.
跟踪训练1 已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A. B.
C. D.，1
二、复数的分类
问题3 复数集C和实数集R之间有什么关系？
知识梳理
1.复数a+bi(a，b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
例2 当m为何实数时，复数z=+(m2-2m-15)i是下列数？
(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数.
延伸探究 本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
反思感悟 复数分类问题的求解方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
设所给复数为z=a+bi(a，b∈R)，
①z为实数 b=0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a=0且b≠0.
(3)下结论.
跟踪训练2 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b≠0，则a+bi为纯虚数
B.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b=0，则a+bi为实数
C.若a∈R，则(a2+1)i是纯虚数
D.实数集是复数集的真子集
(2)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A.1 B.2
C.1或2 D.-1
三、复数相等的充要条件
知识梳理
两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
例3 (1)若(x+y)+yi=(x+1)i，求实数x，y的值.
(2)若关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根，求实数a的值.
反思感悟 复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
跟踪训练3 复数z1=(2m+7)+(m2-2)i，z2=(m2-8)+(4m+3)i，m∈R，若z1=z2，则m=_________________.
1.知识清单：
(1)数系的扩充.
(2)复数的概念.
(3)复数的分类.
(4)复数相等的充要条件.
2.方法归纳：方程思想.
3.常见误区：未化成z=a+bi(a，b∈R)的形式.
1.在2+)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.(1+)i的实部与虚部分别是( )
A.1， B.，0
C.0，1+ D.)i
3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A.-1 B.2
C.1 D.-2
4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为 .
答案精析
问题1 无解；引入新的数系.
问题2 无实数解.
知识梳理
1.(1)虚数单位 -1
(2)z=a+bi(a，b∈R) 实部 虚部
2.(1)全体复数
例1 解
1+3i -2 -i + 10+i 0 i2
实部 1 -2 0 + 10 0 -1
虚部 3 0 - 0 0 0
跟踪训练1 C [由
得a=±，b=5.]
问题3 RC.
知识梳理
1.实数 虚数
例2 解 (1)当
即m≠5且m≠-3时，z是虚数.
(2)当
即m=3或m=-2时，z是纯虚数.
(3)当即m=5时，z是实数.
延伸探究 解 因为z>0，
所以z为实数，需满足
解得m=5.
跟踪训练2 (1)BCD [对于复数a+bi(a，b∈R)，若b≠0，则a+bi为虚数，不一定为纯虚数，故A错误；
若b=0，则a+bi=a为实数，故B正确；
若a∈R，则a2+1≠0，所以(a2+1)i是纯虚数，故C正确；显然D正确.]
(2)B [根据复数的分类知，需满足
解得
即a=2.]
例3 (1)解 由复数相等的充要条件，得
解得
(2)解 设方程的实根为x=m，
则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i，
所以
解得a=11或a=-.
跟踪训练3 5
解析 因为m∈R，z1=z2，
所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m=5.
随堂演练
1.C 2.C 3.C 4.1，1作业39 复数的概念
(分值：100分)
单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分
1.设a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.以-3+i的虚部为实部，以3i+i2的实部为虚部的复数是( )
A.1-i B.1+i
C.-3+3i D.3+3i
3.(多选)下列说法不正确的是( )
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B.ai是纯虚数(a∈R)
C.如果复数a+bi(a，b∈R)是实数，那么a=0，b=0
D.复数a+bi(a，b∈R)不是实数
4.在复平面内，复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)是纯虚数，则( )
A.a=0或a=2 B.a=0
C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2
5.已知A={1，2，a2-3a-1+(a2-5a-6)i}，B={-1，3}，A∩B={3}，则实数a等于( )
A.1 B.-1
C.-4 D.6
6.若a，b∈R，i是虚数单位，a+2 025i=2-bi，则a2+bi等于( )
A.2 025+2i B.2 025+4i
C.2+2 025i D.4-2 025i
7.若复数z=sin 2α-(1-cos 2α)i是纯虚数，则α= .
8.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是 .
9.(10分)当实数m取什么值时，复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是下列数？
(1)实数；(2分)(2)虚数；(2分)(3)纯虚数；(3分)(4)0.(3分)
10.(12分)分别求满足下列条件的实数x，y的值.
(1)2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i；(6分)
(2)+(x2-2x-3)i=0.(6分)
11.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A.(-1，3) B.(-∞，-1)∪(3，+∞)
C.(-3，1) D.(-∞，-3)∪(1，+∞)
12.若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A.a=-1 B.a≠-1且a≠2
C.a≠-1 D.a≠2
13.已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有实数根n，且z=m+ni，则复数z等于( )
A.3+i B.3-i
C.-3-i D.-3+i
14.已知复数z=x+yi(x，y∈R)，且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i，则z= .
15.若复数z=i(θ∈R)是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为( )
A.7 B.-
C.-7 D.-7或-
16.(12分)已知复数z1=4-m2+(m-2)i，z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(4分)
(2)若z1=z2，求实数λ的取值范围.(8分)
答案精析
1.B 2.A 3.BCD 4.B 5.B
6.D [因为a+2 025i=2-bi，a，b∈R，
所以a=2，-b=2 025，即a=2，b=-2 025，所以a2+bi=4-2 025i.]
7.kπ+
8.{3}
9.解 由m2+5m+6=0，得m=-2或m=-3，
由m2-2m-15=0，得m=5或m=-3.
(1)当m2-2m-15=0时，复数z为实数，
∴m=5或m=-3.
(2)当m2-2m-15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠-3.
(3)当时，复数z是纯虚数，
∴m=-2.
(4)当时，复数z是0，
∴m=-3.
10.解 (1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义，
得
解得
(2)∵x∈R，
∴由复数相等的定义，
得
解得
∴x=3.
11.B
12.C [方法一 复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0，解得a≠-1.
方法二 若该复数为纯虚数，则a2-a-2=0且|a-1|-1≠0，解得a=-1，所以若该复数不是纯虚数，则a≠-1.]
13.B [由题意知(n2+mn)+2ni=-2-2i，
即解得
∴z=3-i.]
14.1+2i或2+i
解析 因为2x+y+i·log2x-8=2x+y-8+i·log2x=(1-log2y)i，
所以
即
解得或
所以z=1+2i或z=2+i.
15.C [∵复数z=+i是纯虚数，
∴cos θ-=0，sin θ-≠0，
∴sin θ=-，∴tan θ=-，
∴tan===-7.]
16.解 (1)∵z1为纯虚数，
∴解得m=-2.
(2)由z1=z2，得
∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2.
∵-1≤sin θ≤1，∴当sin θ=1时，λmin=2，
当sin θ=-1时，λmax=6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
