人教版九年级数学第一学期期末测试题
考试范围：人教版九年级数学第21-28章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．中国代表队在第33届巴黎奥运会中取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A．乒乓球 B．篮球 C．排球 D．冲浪
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛出的篮球会下落
B．抛掷一个均匀硬币，正面朝上
C．打开电视机，正在播广告
D．买一张电影票，座位号是奇数号
3．将y＝4x2的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝4（x+3）2+1 B．y＝4（x+1）2+3
C．y＝4（x﹣3）2+1 D．y＝4（x﹣1）2+3
4．若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D分别在两个半圆上，过点C的切线与AB的延长线交于E．∠D与∠E的关系是（ ）
A．∠D+∠E＝90° B．
C．2∠D﹣∠E＝90° D．2∠D+∠E＝180°
7．已知一个三角形的面积为4，一边长为x，这条边上的高为y，则y关于x的变化规律用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转到△EDC处，此时点D刚好落在AB边上，且DE⊥AC，若∠B＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．40° C．55° D．45°
10．如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C即停止运动，设点D的运动时间为t，AD的长为y，表示y与t的函数关系的图象如图2所示，则线段AB的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．点（﹣1，2）关于原点对称的坐标点是 ．
12．抛一枚质地均匀的硬币三次，三次全都正面朝上的概率为 ．
13．如图，点A在双曲线上，过点A作AB∥x轴，交y轴于点C，交双曲线于点B，若BC＝2AC．则k的值是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是矩形内部一动点，且满足∠BCP＝∠PDC，则线段BP的最小值是 ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣1＝4x； （2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
18．（9分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，6）、D（6，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．
19．（9分）已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣α，得到线段BE，连接DE，F为DE的中点，连接AF，BF．
（1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数；
（2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得成立，并证明．
20．（9分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
21．（10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．
22．（10分）如图所示，A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点在二次函数y1＝ax2+bx﹣3与一次函数y2＝﹣x+m图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y1＞y2时，自变量x的取值范围．
（3）二次函数交y轴于C，求△ABC的面积．
23．（11分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝2，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；
（3）如图3，C是函数y（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D B C C A A C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：由各选项图形可知，不是中心对称图形的是D选项．
选：D．
2．解：A、抛出的篮球会下落，是必然事件，此选项符合题意；
B、抛掷一个均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
C、打开电视机，正在播广告，是随机事件，不合题意；
D、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不合题意；
选：A．
3．解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，
∴所得图象的函数解析式是：y＝4（x﹣3）2+1．
选：C．
4．解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，
解得c＜4，
选：D．
5．解：∵点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，
∴y1＝6，y2＝﹣3，y3＝﹣2，
∴y1＞y3＞y2．
选：B．
6．解：连接BC，OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠D＝90°﹣∠BAC，
∵OA＝OC，∠COE＝∠BAC+∠ACO，
∴∠BAC＝∠ACO∠COE，
∴∠D＝90°﹣∠BAC＝90°∠COE，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠E，
∴∠D＝90°∠COE＝90°（90°﹣∠E），
∴2∠D﹣∠E＝90°．
选：C．
7．解：∵xy＝4，
∴y（x＞0，y＞0），
选：C．
8．解：由题意，∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
又∵对称轴是直线x1，
∴b＝﹣2a＞0．
∴abc＜0，2a+b＝0，A错误，D正确．
∵抛物线与x轴的有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，B正确．
由图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，C正确．
选：A．
9．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转到△EDC处，∠B＝70°，
∴∠B＝∠CDE，CB＝CD，∠E＝∠A，
∴∠BDC＝∠B＝∠CDE＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDC﹣∠CDE＝40°，
∵DE⊥AC，
∴∠A＝90°﹣∠ADE＝50°，
∴∠E＝50°．
选：A．
10．解：由图象可得：当t＝1与t＝7时，，
∴此时，CD＝6，BD＝1，
如图，过A作AH⊥BC于H，
∴DH＝CH＝3，
∴，
∴；
选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：点（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2），
答案为：（1，﹣2）．
12．解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三次全都正面朝上的结果有1种，
∴三次全都正面朝上的概率，
答案为：．
13．解：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∵AB∥x轴，
∴四边形ACOD是矩形，四边形BCOE是矩形，
∵点A在双曲线y上，
∴S矩形ACOD＝AC OC＝3，
同理S矩形BCOEF＝BC OC＝﹣k，
∵BC＝2AC，
∴S矩形BCOEF＝2S矩形ACOD＝6，
∴k＝﹣6，
选答案为：﹣6．
14．解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，
∴AB＝AF＝2AC＝2，BC＝CE＝AC，
∴S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF
，
答案为：．
15．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCP+∠DCP＝90°，
∵∠BCP＝∠PDC，
∴∠PDC+∠PCD＝90°，
∴∠CPD＝90°，
以CD为直径作⊙O，⊙O经过点P，连接OB，交⊙O于P，此时PB长最小．
∵OB2＝BC2+CO2＝42+32，
∴OB＝5，
∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2，
（2）作OF∥BC交DE于F，
∵OC＝OD，
∴DF＝EF，
∴OFCE，
∵，
∴，
∴CE＝3．
答案为：2；3．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）整理得：2x2﹣4x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24，
∴，
∴；
（2）原方程可化为：2（x﹣3）2＝（x﹣3）（x+3），
2（x﹣3）2﹣（x﹣3）（x+3）＝0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，
（x﹣3）（x﹣9）＝0，
x1＝3，x2＝9．
17．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1 x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
18．解：（1）点C（1，6）在反比例函数图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y，
∵点D（6，m）在反比例函数图象上，
∴m＝1，
∵点C（1，6）和点D（6，1）都在一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+7．
（2）由一次函数解析式y＝﹣x+7可得：B（0，7），A（7，0），
∴S△OCD＝S△AOB﹣S△OBC﹣S△OAD．
19．解：（1）补全图形 如图：
延长AF，交BE的延长线于点G，
由题意：∠DAB＝α，∠ABE＝180°﹣α，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴AD∥BE，
∴∠DAF＝∠G．
在△ADF和△GEF中，
，
∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴AD＝GE，AF＝GF，
∵AD＝AC，
∴GE＝AC，
∵BC＝BE，
∴GE+BE＝AC+CB，
即BA＝BG．
∵AF＝GF，
∴BF⊥AG．
∴∠AFB＝90°；
（2）α＝60°时，使得成立，理由：
延长AF至点G使FG＝FA，连接BG，GE，延长GE交AB的延长线于点H，如图，
在△ADF和△GEF中，
，
∴△ADF≌△GEF（SAS），
∴AD＝GE，∠DAF＝∠EGF，
∴GH∥AD，
∴∠DAB+∠H＝180°．
∵AD＝AC，
∴AC＝GE．
∵∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA，
＝180°﹣（∠DAB﹣α）﹣（∠EBA﹣180°+α）
＝180°﹣∠DAB+α﹣∠EBA+180°﹣α
＝180°﹣∠DAB+180°﹣∠EBA
＝∠H+∠EBH
＝∠BEG．
在△ABC和△BGE中，
，
∴△ABC≌△BGE（SAS），
∴AB＝GB，∠ABC＝∠GBE，
∵FG＝FA，
∴BF⊥AG，∠ABG＝2∠ABF，∠ABG＝∠EBC，
∴∠AFB＝90°．
∵α＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠ABG＝120°，
∴∠ABF＝60°，
∴AF＝BF tan∠ABF＝BF tan60°BF．
20．解：（1）由题意得：y＝80+20，
∴y＝﹣40x+880（16≤x≤20）；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
21．解：（1）∵OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°，
∴OD OC，
∴AD＝OD﹣OA1；
（2）∵DC与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
即∠ACD+∠OCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠OAC+∠ACE＝90°，
∴∠AEC＝90°，
即CE⊥AB．
22．解：（1）∵A（﹣1，0）在一次函数y2＝﹣x+m图象上
∴0＝1+m
∴m＝﹣1；
∵A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点在二次函数y1＝ax2+bx﹣3图象上
∴，
解得：；
∴二次函数的解析式为y1＝x2﹣2x﹣3；
（2）由图象可得y1＞y2时，自变量x的取值范围为x＜﹣1或x＞2；
（3）∵二次函数y1＝x2﹣2x﹣3交y轴于C，
∴C（0，﹣3），
又∵B（2，﹣3），
∴BC⊥y轴，如图，
∴△ABC的面积为：2×3＝3．
∴△ABC的面积为3．
23．（1）证明：∵∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP∠MON＝45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，
∴∠OAP+∠APO＝135°，
∵∠APB＝135°，
∴∠APO+∠OPB＝135°，
∴∠OAP＝∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴，
∴OP2＝OA OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；
（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA OB＝OP2，
∴，
∵P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOPα，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∴∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180°α，
即∠APB＝180°α；
过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：
则S△AOBOB AHOB OAsinαOP2 sinα，
∵OP＝2，
∴S△AOB＝2sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝3，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝2CA不可能；
当点A在x轴的正半轴上时，如图2所示：
∵BC＝2CA，
∴，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴，
∴OB＝3b，OAa，
∴OA OBa 3b，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图3所示：
∵BC＝2CA，
∴AB＝CA，
在△ACH和△ABO中，
，
∴△ACH≌△ABO（AAS），
∴OB＝CH＝b，OA＝AHa，
∴OA OBa b，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，）；
综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）．
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