浙江省宁波市镇海区蛟川书院2024-2025学年上学期期中八年级数学试题
1．（2024八上·镇海区期中）第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·镇海区期中）点到原点的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
3．（2024八上·镇海区期中）将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·镇海区期中）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
5．（2024八上·镇海区期中）如图，与关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·镇海区期中）将一幅三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·镇海区期中）如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形，若正方形③的面积为2，则正方形②的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．（2024八上·镇海区期中）若关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·镇海区期中）如图1，长方形地砖中有两个全等的正方形①和②，点E，F分别在上，且三点共线．点分别在上，，将两块完全相同的地砖如图2的方式拼接在一起，则阴影部分的面积为（ ）
A．62 B．52 C．97 D．87
10．（2024八上·镇海区期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024八上·镇海区期中）“减去大于”用不等式可表示为 ．
12．（2024八上·镇海区期中）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
13．（2024八上·镇海区期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
14．（2024八上·镇海区期中）若点到轴和轴的距离相等，则 ．
15．（2024八上·镇海区期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ．
16．（2024八上·镇海区期中）如图，在等腰中，于点，点和分别在线段和线段上，连结，则平分，且满足，若，则的面积为 ．
17．（2024八上·镇海区期中）解下列不等式．
（1）；
（2）．
18．（2024八上·镇海区期中）解下列不等式组．
（1）；
（2）．
19．（2024八上·镇海区期中）如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，图中为格点三角形，请按要求在给定网格中完成以下作图：
（1）在图1中，画出的中线；
（2）在图2中，找到格点，使得与全等（标出一个即可）；
（3）在图3中，仅用无刻度的直尺作出的高（保留作图痕迹）．
20．（2024八上·镇海区期中）已知关于的方程组．
（1）若方程组的解满足，求的取值范围．
（2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
21．（2024八上·镇海区期中）如图，在中，于点的中线的延长线交于点，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）若，求的值和的长度．
22．（2024八上·镇海区期中）“蛟蛟”、“川川”作为我校的吉祥物，深受广大同学们的喜爱．校运会筹备过程中，体育组老师计划以“蛟蛟”、“川川”的形象定制徽章作为纪念品．已知定制1件“蛟蛟”徽章与2件“川川”徽章共需要70元，定制2件“蛟蛟”徽章与3件“川川”徽章共需要120元．
（1）“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为多少元？
（2）体育组老师计划购买“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买“蛟蛟”徽章多少件？
23．（2024八上·镇海区期中）若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知．
（1）下列选项中，是的“系矩点”的有_____．
①；②；③；④．
（2）若点为的“系矩点”，则_____，_____．
（3）若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围．
24．（2024八上·镇海区期中）等边中，点分别在边上，连结，以点为中心将逆时针旋转得到，连结，设．
（1）当时，如图1，点在上．求证：；
（2）当时，如图2，连接，请求出的度数；
（3）当时，如图3，连接，当取得最小值时，_____．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，不是轴对称图形；B，不是轴对称图形；
C，是轴对称图形；
D，不是轴对称图形，
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”逐一判断即可．
2．【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即点到原点的距离为5．
故选：A．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集为，
在数轴上表示为：．
故答案为：C．
【分析】在数轴上直接表示两个不等式的解集即可．
4．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
B、，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
C、，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
D、，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】判断一个命题是假命题的反例，需要反例满足命题的条件，不满足命题的结论，据此可对各选项进行判断．
5．【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由题意可得，然后根据全等三角形的对应角相等得到即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的内角的和得到，再根据角的和差解题即可．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：⑤为等腰直角三角形，正方形③的面积为2，
腰直角三角形⑤的直角边长为，
腰直角三角形⑤的斜边长为，
①为正方形， ④为等腰直角三角形，
等腰直角三角形④的直角边长为2，
等腰直角三角形④的斜边长为，
正方形②的面积为，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理进行计算解题即可．
8．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点关于y轴的对称点为，且此点在第一象限，
∴
解得：．
故选：D．
【分析】先求出点关的对称点为，再利用第一象限内点的特点得到2a-1>0且a+1>0，解之即可．
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点M作，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∴，
根据题意可得：，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
则阴影部分的面积，
故答案为：A．
【分析】过点M作，利用AAS得到，算出，然后利用勾股定理求出，得出，根据阴影部分的面积解题即可．
10．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
又∵，
∴，故①正确；
若，
∵
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，则，
∴仅当时，有，故②不正确；
设，
∵
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴，故③正确
如图所示，延长交于点，连接，
∵平分，，
∴
又∵
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴
即，故④正确
故正确的有①③④
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和和外角的性质得到，进而判断①；根据等腰三角形的性质与判定即可判断②，根据等角的余角相等和三角形的外角判断③，延长交于点，连接，得到，即可得到，进而得到，根据平行线间的距离相等得到判断④即可求解．
11．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：．
故答案为：．
【分析】根据题意列不等式即可．
12．【答案】“面积相等的两个三角形全等”
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：根据逆命题的定义可知，“两个全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的两个三角形全等”
故答案为：面积相等的两个三角形全等.
【分析】根据逆命题的定义即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式的解集为，
．
故答案为： ．
【分析】分别求出两个不等式的解集可以得到：、，根据不等式组的解集是同大取大得到a的解集即可．
14．【答案】或0
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得，
或
解得或
故答案为：或0．
【分析】根据题意列方程，计算解题即可．
15．【答案】
【知识点】全等图形的概念；正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，
∵，
可设，，
∴，
∴，
由全等三角形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设，则，即可得到，则，由全等图形的性质可得，即可得到，然后求出正方形ABCD的面积即可解题．
16．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，则，即，
如图所示，过点作，交与点，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
如图连接，交于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
延长交于点，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在等腰直角中，，
∴，
故答案为： ．
【分析】设，则可得，过点作，交与点，得到，即可得到，连接，交于点，然后证明，即可得到，延长交于点，则是等腰直角三角形，得到，设，则，求出，再运用勾股定理可得，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
17．【答案】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据移项，合并，系数化为1解一元一次不等式即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并，系数化为1解一元一次不等式即可．
（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
18．【答案】（1）解：解不等式：，得，，
解不等式：，
得，
∴原不等式组的解集是：
（2）解：解不等式：，得，，
解不等式：，
得，
∴原不等式组的解集是：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）（2）先分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”写出不等式组的解集即可.
（1）解：解不等式：，
得，，
解不等式：，
得，
∴原不等式组的解集是：．
（2）解：解不等式：，
得，，
解不等式：，
得，
∴原不等式组的解集是：．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
（3）解： 如图，即为所求，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）取格点E，然后谅解CE即可解题；
（2）取格点D，然后依次连接AD和BD解题；
（3）先作出AB和BC上的高交于一点，然后根据三角形的三条高相交于一点进行作图即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
（3）如图，即为所求，
20．【答案】（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）两方程相减得：，即可得到，然后解不等式组即可；
（2）利用加减消元法解方程得到，分类讨论若x或是等腰三角形的腰时，利用三角形的三边关系加以验证即可．
（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：
21．【答案】（1）证明：∵ ，∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形
（2）解：∵，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据， 得到，然后根据三角形内角和即可证明；
（2）根据直角三角形两锐角互余，结合三角形外角即可求出的度数；然后根据度角的直角三角形的性质，求出，然后利用勾股定理解题即可．
（1）证明：∵ ，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴．
22．【答案】（1）解：设“蛟蛟”徽章单价元，“川川”徽章单价元，
由题意得，
解得，
答：“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为30元，20元
（2）解：设购买“蛟蛟”徽章件，则能购买“川川”徽章件，由题意可得，解得，
最大值为，
答：最多能购买“蛟蛟”徽章件
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“蛟蛟”徽章单价元，“川川”徽章单价元，根据“定制1件“蛟蛟”徽章与2件“川川”徽章共需要70元，定制2件“蛟蛟”徽章与3件“川川”徽章共需要120元”列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）设最购买“蛟蛟”徽章件，根据“购买“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，总费用不超过5000元”列不等式求解即可得到答案．
（1）解：设“蛟蛟”徽章单价元，“川川”徽章单价元，
由题意得，解得，
答：“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为30元，20元；
（2）解：设最多能购买“蛟蛟”徽章件，则能购买“川川”徽章件，
由题意可得，解得，
最大值为，
答：最多能购买“蛟蛟”徽章件．
23．【答案】（1）②③④
（2）或；；
（3）解：∵点的纵坐标分别为，点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”，
∴，，
∴的取值范围为：
【知识点】一元一次方程的其他应用；坐标与图形性质；化简含绝对值有理数
24．【答案】（1）证明：以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：过点作交于、交于，如图所示：
是等边三角形，
，，
，
，，
在中，，则是等边三角形，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形，即，
，，
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
浙江省宁波市镇海区蛟川书院2024-2025学年上学期期中八年级数学试题
1．（2024八上·镇海区期中）第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，不是轴对称图形；B，不是轴对称图形；
C，是轴对称图形；
D，不是轴对称图形，
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”逐一判断即可．
2．（2024八上·镇海区期中）点到原点的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即点到原点的距离为5．
故选：A．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
3．（2024八上·镇海区期中）将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集为，
在数轴上表示为：．
故答案为：C．
【分析】在数轴上直接表示两个不等式的解集即可．
4．（2024八上·镇海区期中）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
B、，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
C、，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
D、，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】判断一个命题是假命题的反例，需要反例满足命题的条件，不满足命题的结论，据此可对各选项进行判断．
5．（2024八上·镇海区期中）如图，与关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由题意可得，然后根据全等三角形的对应角相等得到即可．
6．（2024八上·镇海区期中）将一幅三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的内角的和得到，再根据角的和差解题即可．
7．（2024八上·镇海区期中）如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形，若正方形③的面积为2，则正方形②的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：⑤为等腰直角三角形，正方形③的面积为2，
腰直角三角形⑤的直角边长为，
腰直角三角形⑤的斜边长为，
①为正方形， ④为等腰直角三角形，
等腰直角三角形④的直角边长为2，
等腰直角三角形④的斜边长为，
正方形②的面积为，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理进行计算解题即可．
8．（2024八上·镇海区期中）若关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点关于y轴的对称点为，且此点在第一象限，
∴
解得：．
故选：D．
【分析】先求出点关的对称点为，再利用第一象限内点的特点得到2a-1>0且a+1>0，解之即可．
9．（2024八上·镇海区期中）如图1，长方形地砖中有两个全等的正方形①和②，点E，F分别在上，且三点共线．点分别在上，，将两块完全相同的地砖如图2的方式拼接在一起，则阴影部分的面积为（ ）
A．62 B．52 C．97 D．87
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点M作，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∴，
根据题意可得：，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
则阴影部分的面积，
故答案为：A．
【分析】过点M作，利用AAS得到，算出，然后利用勾股定理求出，得出，根据阴影部分的面积解题即可．
10．（2024八上·镇海区期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
又∵，
∴，故①正确；
若，
∵
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，则，
∴仅当时，有，故②不正确；
设，
∵
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴，故③正确
如图所示，延长交于点，连接，
∵平分，，
∴
又∵
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴
即，故④正确
故正确的有①③④
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和和外角的性质得到，进而判断①；根据等腰三角形的性质与判定即可判断②，根据等角的余角相等和三角形的外角判断③，延长交于点，连接，得到，即可得到，进而得到，根据平行线间的距离相等得到判断④即可求解．
11．（2024八上·镇海区期中）“减去大于”用不等式可表示为 ．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：．
故答案为：．
【分析】根据题意列不等式即可．
12．（2024八上·镇海区期中）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
【答案】“面积相等的两个三角形全等”
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：根据逆命题的定义可知，“两个全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的两个三角形全等”
故答案为：面积相等的两个三角形全等.
【分析】根据逆命题的定义即可得到答案.
13．（2024八上·镇海区期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式的解集为，
．
故答案为： ．
【分析】分别求出两个不等式的解集可以得到：、，根据不等式组的解集是同大取大得到a的解集即可．
14．（2024八上·镇海区期中）若点到轴和轴的距离相等，则 ．
【答案】或0
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得，
或
解得或
故答案为：或0．
【分析】根据题意列方程，计算解题即可．
15．（2024八上·镇海区期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ．
【答案】
【知识点】全等图形的概念；正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，
∵，
可设，，
∴，
∴，
由全等三角形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设，则，即可得到，则，由全等图形的性质可得，即可得到，然后求出正方形ABCD的面积即可解题．
16．（2024八上·镇海区期中）如图，在等腰中，于点，点和分别在线段和线段上，连结，则平分，且满足，若，则的面积为 ．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，则，即，
如图所示，过点作，交与点，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
如图连接，交于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
延长交于点，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在等腰直角中，，
∴，
故答案为： ．
【分析】设，则可得，过点作，交与点，得到，即可得到，连接，交于点，然后证明，即可得到，延长交于点，则是等腰直角三角形，得到，设，则，求出，再运用勾股定理可得，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
17．（2024八上·镇海区期中）解下列不等式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据移项，合并，系数化为1解一元一次不等式即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并，系数化为1解一元一次不等式即可．
（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
18．（2024八上·镇海区期中）解下列不等式组．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：解不等式：，得，，
解不等式：，
得，
∴原不等式组的解集是：
（2）解：解不等式：，得，，
解不等式：，
得，
∴原不等式组的解集是：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）（2）先分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”写出不等式组的解集即可.
（1）解：解不等式：，
得，，
解不等式：，
得，
∴原不等式组的解集是：．
（2）解：解不等式：，
得，，
解不等式：，
得，
∴原不等式组的解集是：．
19．（2024八上·镇海区期中）如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，图中为格点三角形，请按要求在给定网格中完成以下作图：
（1）在图1中，画出的中线；
（2）在图2中，找到格点，使得与全等（标出一个即可）；
（3）在图3中，仅用无刻度的直尺作出的高（保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
（3）解： 如图，即为所求，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）取格点E，然后谅解CE即可解题；
（2）取格点D，然后依次连接AD和BD解题；
（3）先作出AB和BC上的高交于一点，然后根据三角形的三条高相交于一点进行作图即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
（3）如图，即为所求，
20．（2024八上·镇海区期中）已知关于的方程组．
（1）若方程组的解满足，求的取值范围．
（2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
【答案】（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）两方程相减得：，即可得到，然后解不等式组即可；
（2）利用加减消元法解方程得到，分类讨论若x或是等腰三角形的腰时，利用三角形的三边关系加以验证即可．
（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：
21．（2024八上·镇海区期中）如图，在中，于点的中线的延长线交于点，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）若，求的值和的长度．
【答案】（1）证明：∵ ，∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形
（2）解：∵，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据， 得到，然后根据三角形内角和即可证明；
（2）根据直角三角形两锐角互余，结合三角形外角即可求出的度数；然后根据度角的直角三角形的性质，求出，然后利用勾股定理解题即可．
（1）证明：∵ ，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴．
22．（2024八上·镇海区期中）“蛟蛟”、“川川”作为我校的吉祥物，深受广大同学们的喜爱．校运会筹备过程中，体育组老师计划以“蛟蛟”、“川川”的形象定制徽章作为纪念品．已知定制1件“蛟蛟”徽章与2件“川川”徽章共需要70元，定制2件“蛟蛟”徽章与3件“川川”徽章共需要120元．
（1）“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为多少元？
（2）体育组老师计划购买“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买“蛟蛟”徽章多少件？
【答案】（1）解：设“蛟蛟”徽章单价元，“川川”徽章单价元，
由题意得，
解得，
答：“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为30元，20元
（2）解：设购买“蛟蛟”徽章件，则能购买“川川”徽章件，由题意可得，解得，
最大值为，
答：最多能购买“蛟蛟”徽章件
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“蛟蛟”徽章单价元，“川川”徽章单价元，根据“定制1件“蛟蛟”徽章与2件“川川”徽章共需要70元，定制2件“蛟蛟”徽章与3件“川川”徽章共需要120元”列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）设最购买“蛟蛟”徽章件，根据“购买“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，总费用不超过5000元”列不等式求解即可得到答案．
（1）解：设“蛟蛟”徽章单价元，“川川”徽章单价元，
由题意得，解得，
答：“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为30元，20元；
（2）解：设最多能购买“蛟蛟”徽章件，则能购买“川川”徽章件，
由题意可得，解得，
最大值为，
答：最多能购买“蛟蛟”徽章件．
23．（2024八上·镇海区期中）若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知．
（1）下列选项中，是的“系矩点”的有_____．
①；②；③；④．
（2）若点为的“系矩点”，则_____，_____．
（3）若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围．
【答案】（1）②③④
（2）或；；
（3）解：∵点的纵坐标分别为，点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”，
∴，，
∴的取值范围为：
【知识点】一元一次方程的其他应用；坐标与图形性质；化简含绝对值有理数
24．（2024八上·镇海区期中）等边中，点分别在边上，连结，以点为中心将逆时针旋转得到，连结，设．
（1）当时，如图1，点在上．求证：；
（2）当时，如图2，连接，请求出的度数；
（3）当时，如图3，连接，当取得最小值时，_____．
【答案】（1）证明：以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：过点作交于、交于，如图所示：
是等边三角形，
，，
，
，，
在中，，则是等边三角形，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形，即，
，，
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
