(共73张PPT)
第一章
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§3 弧度制
1.了解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集之间的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.
学习目标
生活中在度量时，会用到不同的单位制，比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？
导 语
一、角度制与弧度制
二、角度制与弧度制的换算
随堂演练
三、用弧度制表示有关的角
四、扇形的弧长与面积公式
内容索引
课时对点练
一
角度制与弧度制
角度是怎么定义的？
问题1
提示 把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度做单位来度量角的制度称为角度制.
观察图(1)，图(2)，弧AB与弧A'B'都与什么有关？
问题2
提示 与圆心角和半径有关.
弧长与半径的比值有什么关系呢？
问题3
提示 弧长与半径的比值等于圆心角.
1.角度制和弧度制
角度制 以 作为单位来度量角的方法，称作角度制，用周角的____
作为一个单位，称为1度角
弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作 .以 作为单位来度量角的方法，称作弧度制
度
弧度
弧度
2.弧度数的计算
正
负
0
(1)弧度制是十进制，角度制是六十进制.
(2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
(3)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心的正角的弧度数.
注 意 点
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下列各命题中，真命题是
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
例 1
√
根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
反
思
感
悟
下列说法正确的是
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
跟踪训练 1
√
对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；
对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；
对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；
对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误.
二
角度制与弧度制的换算
1.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=_____
180°= rad π rad=_____
1°= rad≈ rad 1 rad=≈_________
2π
360°
π
180°
0.017 45
57°18'
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° _____ 60° _____
弧度 ___ ____ ___
度 120° _____ 150° 180° _____ 360°
弧度 ___ ___ π 2π
45°
90°
0
135°
270°
(1)牢记180°=π rad，充分利用1°=进行换算.
(2)角度化弧度时，将分、秒化成度，再化成弧度.
注 意 点
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把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
(1)72°；
例 2
72°=72× rad.
(2)-300°；
-300°=-300× rad.
(3)2；
2 rad=2×.
(4)-.
-=-40°.
反
思
感
悟
(1)角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到：度数×=弧度数，弧度数×=度数.
(2)通常“弧度”或“rad”省略不写.
已知α=15°，β=试比较α，β，γ，θ，φ的大小.
跟踪训练 2
α=15°=15×
θ=105°=105×
∵
∴α<β<γ<θ=φ.
三
用弧度制表示有关的角
将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角.
例 3
-1 125°=-1 125×
=--8π.
其中<2π，
所以是第四象限角，
所以-1 125°是第四象限角.
在本例的条件下，在[-4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
依题意，与α终边相同的角为+2kπ，k∈Z，
由-4π≤+2kπ≤4π，k∈Z，
得-k∈Z，
知k=-2，-1，0，1，
所以所求角的集合为.
延伸探究
反
思
感
悟
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性.
用弧度制表示终边相同的角的两个关键点
(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为
A.
B.
C.
D.
跟踪训练 3
√
150°=150×故用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为.
(2)用弧度制表示终边在如图所示阴影部分内的
角θ的集合.
终边在射线OA上的角为θ=135°+k·360°，k∈Z，
即θ=+2kπ，k∈Z.
终边在射线OB上的角为θ=-30°+k·360°，k∈Z，
即θ=-+2kπ，k∈Z，
故终边落在阴影部分内的角θ的集合为
.
四
扇形的弧长与面积公式
在初中所学习的角度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？
问题4
提示 l=.
n为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l= l=αr
扇形的面积 S= S=αr2
(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
例 4
设扇形弧长为l，
因为圆心角72°=72× rad，
所以扇形的弧长l=αr=×20=8π，
所以扇形的面积S=×8π×20=80π.
(2)已知扇形AOB的圆心角为α，周长为14.
①若这个扇形的面积为10，且α为锐角，求α的大小；
设扇形的半径为r，弧长为l，
则
因为0<α<所以圆心角(rad).
②求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小.
根据l+2r=14，得到l=14-2r，0
则S=
当r=
此时l=7，因为0<α<2π，则α==2(rad).
反
思
感
悟
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
扇形的弧长和面积的求解策略
若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积.
跟踪训练 4
设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
∵216°=216×
∴l=αr=r=30π，解得r=25，
∴S=×30π×25=375π.
1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：消元法.
3.常见误区：弧度与角度混用.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.下列说法中，错误的是
A.半圆所对的圆心角的大小是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
√
根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.
2.与60°终边相同的角可表示为
A.+k·360°(k∈Z) B.60°+2kπ(k∈Z)
C.60°+2k·360°(k∈Z) D.+2kπ(k∈Z)
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√
3.若α=-2 rad，则α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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√
4.周长为9 cm，圆心角为1 rad的扇形面积为 cm2.
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4
设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，
由题意可知
所以S=(cm2).
课时对点练
六
答案
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B CD C B B - 660° 9
题号 11 12 13 14 15
答案 ABC B C 2∶3 D
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9.
(1)因为α=1 200°=1 200×==+3×2π，所以角α与的终边相同，
又<<π，
所以角α是第二象限角.
答案
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9.
(2)因为与角α终边相同的角为
+2kπ，k∈Z，
所以由-4π≤+2kπ≤0，k∈Z，
得-≤k≤-，k∈Z.
因为k∈Z，所以k=-2或k=-1.
故在区间［-4π，0］上与角α终边相同的角是-，-.
答案
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10.
(1)如图，由题意得△OAB为等边三角形，所以∠AOB=，
则弦AB所对的劣弧长为.
(2)过点B作BD⊥OA于点D，
则BD=r·sin =r，
则S△AOB=·OA·BD=r2，
S扇形AOB=|α|r2=，所以S弓形=S扇形AOB-S△AOB=r2，
故这条弦和劣弧组成的弓形的面积为r2.
答案
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16.
如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，
则t·+t·=2π，
所以t=4，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒.
点P走过的弧长为×4=，
点Q走过的弧长为×4=.
答案
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1.下列命题中，假命题是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
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基础巩固
√
答案
根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题.
2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为
A.3 B.6
C.9 D.12
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√
设扇形的半径为R，由题意可得=3，
则R=2，扇形的面积S=×6×2=6.
答案
3.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是
A.45°+2kπ(k∈Z)
B.+k·360°(k∈Z)
C.-315°+k·360°(k∈Z)
D.+2kπ(k∈Z)
√
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答案
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A，B中弧度与角度混用，不正确；
的终边相同.-315°=45°-360°，
所以-315°也与45°终边相同，即与终边相同.
答案
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4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是
答案
√
k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).
5.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为
A.sin 2 B.
C.2sin 1 D.tan 1
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√
答案
由图可知，弦长AB=2，所以半径为
由弧长公式可得lAB=αr=.
6.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
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∵l=αR，∴α=.
当R，l均变为原来的2倍时，α不变.
扇形的面积S=αR2，
∵α不变，∴S变为原来的4倍.
答案
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7.-135°化为弧度为 rad化为角度为 .
-135°=-135× rad；
=660°.
答案
-
660°
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8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 m2.(精确到1 m2)
答案
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=120°，根据题意得
弦=2×4sin (m)，矢=4-2=2(m)，
因此弧田面积=+2≈9(m2).
答案
9.已知角α=1 200°.
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
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因为α=1 200°=1 200×的终边相同，
又<π，
所以角α是第二象限角.
答案
(2)在区间[-4π，0]上找出与α终边相同的角.
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因为与角α终边相同的角为+2kπ，k∈Z，
所以由-4π≤+2kπ≤0，k∈Z，
得-k∈Z.
因为k∈Z，所以k=-2或k=-1.
故在区间[-4π，0]上与角α终边相同的角是-.
答案
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10.圆中一条弦的长度等于半径r，求：
(1)这条弦所对的劣弧长；
答案
如图，由题意得△OAB为等边三角形，所以∠AOB=
则弦 所对的劣弧长为.
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(2)这条弦和劣弧组成的弓形的面积.
答案
过点B作BD⊥OA于点D，则BD=r·sin
所以S弓形=S扇形AOB-S△AOB=r2，
故这条弦和劣弧组成的弓形的面积为r2.
11.(多选)下列表示中正确的是
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线y=x上的角的集合是
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√
综合运用
答案
√
√
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A，B显然正确.
对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的
角的集合为
故C正确；
对于D，终边在直线y=x上的角的集合为故D
不正确.
答案
12.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮转过的弧度是
A. B.
C. D.
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√
答案
由题意，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮逆时针转过
.
13.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为
A. B. C. D.
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√
答案
如图，设圆的半径为R，
则正方形边长为R，
∴弧长l=R，
∴α=.
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14.扇形圆心角为半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为
.
如图，设内切圆半径为r，
则r=
所以S圆=π×
S扇=
所以S圆∶S扇=2∶3.
答案
2∶3
15.若角α与角x+有相同的终边，那么α与β间的关系为
A.α+β=0 B.α-β=0
C.α+β=2kπ(k∈Z) D.α-β=+2kπ(k∈Z)
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拓广探究
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由题可知α=x++2k1π(k1∈Z)，
β=x-+2k2π(k2∈Z)，
所以α-β=+2(k1-k2)π(k1∈Z，k2∈Z).
因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1-k2∈Z.
所以α-β=+2kπ(k∈Z).
答案
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16.如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及点P，Q各自走过的弧长.
答案
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如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，
则t·=2π，
所以t=4，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒.
点P走过的弧长为
点Q走过的弧长为.
答案［学习目标］ 1.了解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集之间的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.
一、角度制与弧度制
问题1 角度是怎么定义的？
问题2 观察图(1)，图(2)，弧AB与弧A'B'都与什么有关？
问题3 弧长与半径的比值有什么关系呢？
知识梳理
1.角度制和弧度制
角度制 以 作为单位来度量角的方法，称作角度制，用周角的 作为一个单位，称为1度角
弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作 .以 作为单位来度量角的方法，称作弧度制
2.弧度数的计算
例1 下列各命题中，真命题是( )
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
反思感悟 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
跟踪训练1 下列说法正确的是( )
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
二、角度制与弧度制的换算
知识梳理
1.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=
180°= rad π rad=
1°= rad≈ rad 1 rad=≈
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 60°
弧度
度 120° 150° 180° 360°
弧度 π 2π
例2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)-.
反思感悟 (1)角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到：度数×=弧度数，弧度数×=度数.
(2)通常“弧度”或“rad”省略不写.
跟踪训练2 已知α=15°，β=，γ=1，θ=105°，φ=，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.
三、用弧度制表示有关的角
例3 将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角.
延伸探究 在本例的条件下，在［-4π，4π］范围内找出与α终边相同的角的集合.
反思感悟 用弧度制表示终边相同的角的两个关键点
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性.
跟踪训练3 (1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为( )
A.
B.
C.
D.
(2)用弧度制表示终边在如图所示阴影部分内的角θ的集合.
四、扇形的弧长与面积公式
问题4 在初中所学习的角度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？
知识梳理
n为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l= l=αr
扇形的面积 S= S=lr=αr2
例4 (1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
(2)已知扇形AOB的圆心角为α，周长为14.
①若这个扇形的面积为10，且α为锐角，求α的大小；
②求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小.
反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=lR=αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练4 若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积.
1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：消元法.
3.常见误区：弧度与角度混用.
1.下列说法中，错误的是( )
A.半圆所对的圆心角的大小是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2.与60°终边相同的角可表示为( )
A.+k·360°(k∈Z) B.60°+2kπ(k∈Z)
C.60°+2k·360°(k∈Z) D.+2kπ(k∈Z)
3.若α=-2 rad，则α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.周长为9 cm，圆心角为1 rad的扇形面积为 cm2.
答案精析
问题1 把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度做单位来度量角的制度称为角度制.
问题2 与圆心角和半径有关.
问题3 弧长与半径的比值等于圆心角.
知识梳理
1.度 弧度 弧度
2.正 负 0
例1 D ［根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.］
跟踪训练1 A ［对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误.］
知识梳理
1.2π 360° π 180° 0.017 45 57°18'
2.45° 90° 0 135° 270°
例2 (1)解 (1)72°=72× rad= rad.
(2)-300°=-300× rad=- rad.
(3)2 rad=2×=.
(4)- rad=-×=-40°.
跟踪训练2 解 α=15°=15×=，
θ=105°=105×=，
∵<<1<，
∴α<β<γ<θ=φ.
例3 解 -1 125°=-1 125×
=-=-8π.
其中<<2π，
所以是第四象限角，
所以-1 125°是第四象限角.
延伸探究 解 依题意，与α终边相同的角为+2kπ，k∈Z，
由-4π≤+2kπ≤4π，k∈Z，
得-≤k≤，k∈Z，
知k=-2，-1，0，1，
所以所求角的集合为
.
跟踪训练3 (1)D ［150°=150×=，故用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为
.］
(2)解 终边在射线OA上的角为θ=135°+k·360°，k∈Z，
即θ=+2kπ，k∈Z.
终边在射线OB上的角为θ=-30°+k·360°，k∈Z，
即θ=-+2kπ，k∈Z，
故终边落在阴影部分内的角θ的集合为
.
问题4 l=，S=.
例4 (1)解 设扇形弧长为l，
因为圆心角72°=72×= rad，
所以扇形的弧长l=αr=×20=8π，
所以扇形的面积S=lr=×8π×20=80π.
(2)解 ①设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
因为0<α<，
所以圆心角α==(rad).
②根据l+2r=14，得到l=14-2r，0
则S=lr=r(14-2r)=-r2+7r=-+，
当r=时，Smax=，
此时l=7，因为0<α<2π，则α==2(rad).
跟踪训练4 解 设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
∵216°=216×=，
∴l=αr=r=30π，解得r=25，
∴S=lr=×30π×25=375π.
随堂演练
1.D 2.D 3.C 4.作业2 弧度制
(分值：100分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.下列命题中，假命题是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为( )
A.3 B.6
C.9 D.12
3.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A.45°+2kπ(k∈Z)
B.+k·360°(k∈Z)
C.-315°+k·360°(k∈Z)
D.+2kπ(k∈Z)
4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
5.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A.sin 2 B.
C.2sin 1 D.tan 1
6.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
7.(5分)-135°化为弧度为 rad化为角度为 .
8.(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=
半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 m2.(精确到1 m2)
9.(10分)已知角α=1 200°.
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(4分)
(2)在区间[-4π，0]上找出与α终边相同的角.(6分)
10.(11分)圆中一条弦的长度等于半径r，求：
(1)这条弦所对的劣弧长；(5分)
(2)这条弦和劣弧组成的弓形的面积.(6分)
11.(多选)下列表示中正确的是( )
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线y=x上的角的集合是
12.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮转过的弧度是( )
A. B.
C. D.
13.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )
A. B.
C. D.
14.(5分)扇形圆心角为半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为 .
15.若角α与角x+有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A.α+β=0 B.α-β=0
C.α+β=2kπ(k∈Z) D.α-β=+2kπ(k∈Z)
16.(12分)如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转
弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及点P，Q各自走过的弧长.
答案精析
1.D 2.B 3.CD 4.C 5.B
6.B ［∵l=αR，∴α=.
当R，l均变为原来的2倍时，α不变.
扇形的面积S=αR2，
∵α不变，∴S变为原来的4倍.］
7.- 660°
8.9
解析 =120°，根据题意得
弦=2×4sin=4(m)，
矢=4-2=2(m)，
因此弧田面积=(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2≈9(m2).
9.解 (1)因为α=1 200°=1 200×==+3×2π，所以角α与的终边相同，
又<<π，
所以角α是第二象限角.
(2)因为与角α终边相同的角为
+2kπ，k∈Z，
所以由-4π≤+2kπ≤0，k∈Z，
得-≤k≤-，k∈Z.
因为k∈Z，所以k=-2或k=-1.
故在区间［-4π，0］上与角α终边相同的角是-，-.
10.解 (1)如图，由题意得△OAB为等边三角形，所以∠AOB=，
则弦AB所对的劣弧长为.
(2)过点B作BD⊥OA于点D，
则BD=r·sin =r，
则S△AOB=·OA·BD=r2，
S扇形AOB=|α|r2=，所以S弓形=S扇形AOB-S△AOB=r2，
故这条弦和劣弧组成的弓形的面积为r2.
11.ABC 12.B
13.C ［如图，设圆的半径为R，
则正方形边长为R，
∴弧长l=R，
∴α===.］
14.2∶3
解析 如图，设内切圆半径为r，
则r=，
所以S圆=π×
=，
S扇=a2×=，
所以S圆∶S扇=2∶3.
15.D ［由题可知
α=x++2k1π(k1∈Z)，
β=x-+2k2π(k2∈Z)，
所以α-β=+2(k1-k2)π(k1∈Z，k2∈Z).
因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1-k2∈Z.
所以α-β=+2kπ(k∈Z).］
16.解 如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，
则t·+t·=2π，
所以t=4，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒.
点P走过的弧长为×4=，
点Q走过的弧长为×4=.
